Cuadratriz de Hipias - Quadratrix of Hippias

Quadratrix (rojo); instantánea de E y F habiendo completado el 60% de sus movimientos

La quadratrix o trisectrix de Hippias (también quadratrix de Dinostratus ) es una curva que se crea mediante un movimiento uniforme. Es uno de los ejemplos más antiguos de curva cinemática (una curva creada a través del movimiento). Su descubrimiento se atribuye al sofista griego Hipias de Elis , quien lo utilizó alrededor del 420 a. C. en un intento de resolver el problema de la trisección del ángulo (de ahí la trisectriz ). Más tarde, alrededor del 350 a. C., Dinostratus lo usó en un intento de resolver el problema de cuadrar el círculo (por lo tanto, cuadratriz ).

Definición

Cuadratriz como curva plana ( a = 1)

Cuadratriz como función ( a = 1)

Considere un cuadrado ABCD con un cuarto de círculo inscrito centrado en A , de modo que el lado del cuadrado es el radio del círculo. Deje que E sea un punto que se desplaza con una constante de velocidad angular en el cuarto de círculo de arco de D a B . Además, el punto F viaja con una constante de velocidad de D a A en el segmento de línea AD , de tal manera que E y F comienzan al mismo tiempo en D y llegan al mismo tiempo en B y A . Ahora la cuadratriz se define como el lugar geométrico de la intersección del paralelo a AB a través de F y el segmento de línea AE .

Si uno coloca un cuadrado ABCD con una longitud de lado a en un sistema de coordenadas (cartesiano) con el lado AB en el eje x y el vértice A en el origen, entonces la cuadrática se describe mediante una curva plana con: ${\ Displaystyle \ gamma: (0, {\ tfrac {\ pi} {2}}] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {2a} {\ pi}} t \ cot (t) \\ {\ frac {2a} {\ pi}} t \ end {pmatrix}}}$

Esta descripción también se puede utilizar para dar una definición analítica en lugar de geométrica de la cuadratriz y para extenderla más allá del intervalo . Sin embargo, permanece indefinido en las singularidades de excepto en el caso de donde la singularidad es removible debido a y por lo tanto produce una curva plana continua en el intervalo . ${\ displaystyle (0, {\ tfrac {\ pi} {2}}]}$ ${\ Displaystyle \ cot (t)}$${\ Displaystyle t = 0}$${\ Displaystyle \ lim _ {t \ to 0} t \ cot (t) = 1}$${\ Displaystyle (- \ pi, \ pi)}$

Para describir la cuadratriz tan simple función de lugar de curva plana, es ventajoso para cambiar el y eje x y el x eje x, que es colocar el lado AB en y eje x en lugar de en la x eje y. Entonces la cuadratriz viene dada por la siguiente función:

${\ Displaystyle f (x) = x \ cdot \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {2a}} \ cdot x \ right)}$

Trisección de ángulo

Brújula Quadratrix

Trisección de ángulo

La trisección de un ángulo arbitrario utilizando solo regla y brújula es imposible. Sin embargo, si se permite la cuadrícula como herramienta adicional, es posible dividir un ángulo arbitrario en n segmentos iguales y, por lo tanto , se hace posible una trisección ( n  = 3). En términos prácticos, la cuadrícula se puede dibujar con la ayuda de una plantilla o una brújula cuadrática (ver dibujo).

Dado que, según la definición de la cuadrícula, el ángulo atravesado es proporcional al segmento atravesado del lado de los cuadrados asociados, dividiendo ese segmento del lado en n partes iguales, también se obtiene una partición del ángulo asociado. Es posible dividir el segmento de línea en n partes iguales con regla y compás debido al teorema de la intersección .

Para un ángulo BAE dado (≤ 90 °) construya un cuadrado ABCD sobre su cateto AB . La otra pata del ángulo intersecta el cuadratriz de la plaza en un punto G y la línea paralela a la pierna AB a través de G intersecta el lado AD de la plaza en F . Ahora el segmento AF corresponde al ángulo BAE y, debido a la definición de la cuadratriz, cualquier división del segmento AF en n partes equidistantes produce una división correspondiente del ángulo BAE en n partes de igual tamaño. Para dividir el segmento AF en n partes equidistantes, proceda de la siguiente manera. Dibuja un rayo a con origen en A y luego dibuja n segmentos equidistantes (de longitud arbitraria) en él. Conecte el punto final O del último segmento con F y dibuje líneas paralelas a OF a través de todos los puntos finales de los n  - 1 segmentos restantes en AO , estas líneas paralelas dividen el segmento AF en AD en n segmentos equidistantes. Ahora dibuje líneas paralelas a AB a través de los puntos finales de esos segmentos en AF , estas líneas paralelas se cruzan con la trisectriz. Conectar esos puntos de intersección con A produce una partición del ángulo BAE en n partes de igual tamaño.

Dado que no todos los puntos de la trisectriz se pueden construir solo con el círculo y la brújula, realmente se requiere como una herramienta adicional al lado de la brújula y el círculo. Sin embargo, es posible construir un subconjunto denso de la trisectriz por círculo y brújula, por lo que si bien no puede asegurar una división exacta de un ángulo en n partes sin una trisectriz dada, puede construir una aproximación arbitrariamente cercana por círculo y brújula solamente.

Cuadrado del círculo

Cuadrado de un cuarto de círculo con radio 1

Cuadrar el círculo solo con la regla y el compás es imposible. Sin embargo, si se permite la cuadratriz de Hipias como una herramienta de construcción adicional, la cuadratura del círculo se vuelve posible debido al teorema de Dinostratus . Permite convertir un cuarto de círculo en un cuadrado de la misma área , por lo tanto, un cuadrado con el doble de longitud lateral tiene la misma área que el círculo completo.

Según el teorema de Dinostratus, la cuadrícula divide uno de los lados del cuadrado asociado en una proporción de . Para un cuarto de círculo dado con radio r, se construye el cuadrado asociado ABCD con longitud de lado r . La cuadratriz interseca el lado AB en J con . Ahora uno construye una línea segmento JK de longitud r siendo perpendicular a AB . Luego, la línea que pasa por A y K interseca la extensión del lado BC en L y del teorema de la intersección se sigue . Al extender AB hacia la derecha por un nuevo segmento de línea se obtiene el rectángulo BLNO con lados BL y BO cuyo área coincide con el área del cuarto de círculo. Este rectángulo se puede transformar en un cuadrado de la misma área con la ayuda del teorema de la media geométrica de Euclides . Uno extiende el lado ON por un segmento de línea y dibuja un semicírculo a la derecha de NQ , que tiene NQ como diámetro. La extensión de BO se encuentra con el semicírculo en R y, debido al teorema de Thales, el segmento de línea OR es la altitud del triángulo rectángulo QNR . Por lo tanto, se puede aplicar el teorema de la media geométrica, lo que significa que OR forma el lado de un OUSR cuadrado con la misma área que el rectángulo BLNO y, por lo tanto, como el cuarto de círculo. ${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {\ pi}}}$${\ Displaystyle \ left | {\ overline {AJ}} \ right | = {\ tfrac {2} {\ pi}} r}$${\ Displaystyle \ left | {\ overline {BL}} \ right | = {\ tfrac {\ pi} {2}} r}$${\ Displaystyle \ left | {\ overline {BO}} \ right | = {\ tfrac {r} {2}}}$${\ Displaystyle \ left | {\ overline {OQ}} \ right | = \ left | {\ overline {BO}} \ right | = {\ tfrac {r} {2}}}$

Tenga en cuenta que el punto J , donde la cuadrícula se encuentra con el lado AB del cuadrado asociado, es uno de los puntos de la cuadrícula que no se puede construir solo con la regla y el compás y ni siquiera con la ayuda del compás cuadrático basado en la geometría original. definición (ver dibujo). Esto se debe al hecho de que las dos líneas que se mueven uniformemente coinciden y, por lo tanto, no existe un punto de intersección único. Sin embargo, confiar en la definición generalizada de la cuadrícula como una función o curva plana permite que J sea ​​un punto en la cuadratriz.

Fuentes historicas

La cuadratriz se menciona en las obras de Proclo (412–485), Pappus de Alejandría (siglos III y IV) y Iamblichus (c. 240 - c. 325). Proclus nombra a Hippias como el inventor de una curva llamada quadratrix y describe en otro lugar cómo Hippias ha aplicado la curva al problema de la trisección. Pappus solo menciona cómo Dinostratus, Nicomedes y otros utilizaron una curva llamada quadratrix para cuadrar el círculo. No menciona a Hipias ni atribuye la invención de la cuadratriz a una persona en particular. Iamblichus simplemente escribe en una sola línea que Nicomedes usó una curva llamada cuadratriz para cuadrar el círculo.

Aunque basándose en el nombre de Proclus para la curva es concebible que el propio Hipias lo usara para cuadrar el círculo o alguna otra figura curvilínea, la mayoría de los historiadores de las matemáticas asumen que Hipias inventó la curva, pero la usó solo para la trisección de ángulos. Su uso para cuadrar el círculo solo ocurrió décadas después y se debió a matemáticos como Dinostratus y Nicomedes. Esta interpretación de las fuentes históricas se remonta al matemático e historiador alemán Moritz Cantor .

Ver también

• Matemáticas griegas

Referencias

Otras lecturas

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Pruebas encantadoras: Un viaje hacia las matemáticas elegantes . MAA 2010, ISBN  9780883853481 , págs. 146–147 ( extracto , pág. 146, en Google Books )
• Felix Klein : Problemas famosos de la geometría elemental . Cosimo 2007 (Nachdruck), ISBN  9781602064171 , págs. 57–58 ( extracto , pág. 57, en Google Books ) ( copia completa en línea en archive.org )

enlaces externos

• Michael D. Huberty, Ko Hayashi, Chia Vang: Cuadratriz de Hippias
• Weisstein, Eric W. , "Quadratrix of Hippias" , MathWorld
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Quadratrix of Hippias" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews , p. canalla