Superficie cónica - Conical surface

Una superficie cónica circular

En geometría , una superficie cónica ( general ) es la superficie ilimitada formada por la unión de todas las líneas rectas que pasan por un punto fijo - el ápice o vértice - y cualquier punto de alguna curva de espacio fijo - la directriz - que no contiene el ápice. Cada una de esas líneas se llama generatriz de la superficie.

Cada superficie cónica está reglada y desarrollada . En general, una superficie cónica consta de dos mitades congruentes ilimitadas unidas por el ápice. Cada mitad se llama napa , y es la unión de todos los rayos que comienzan en el ápice y pasan por un punto de alguna curva espacial fija. (En algunos casos, sin embargo, las dos napas pueden cruzarse, o incluso coincidir con la superficie completa). A veces, el término "superficie cónica" se utiliza para referirse a una sola napa.

Si la directriz es un círculo y el vértice se encuentra en el eje del círculo (la línea que contiene el centro de y es perpendicular a su plano), se obtiene la superficie cónica circular derecha . Este caso especial a menudo se llama cono , porque es una de las dos superficies distintas que unen el sólido geométrico de ese nombre. Este objeto geométrico también se puede describir como el conjunto de todos los puntos barridos por una línea que intercepta el eje y gira alrededor de él; o la unión de todas las líneas que cortan el eje en un punto fijo y en un ángulo fijo . La apertura del cono es el ángulo .

De manera más general, cuando la directriz es una elipse , o cualquier sección cónica , y el vértice es un punto arbitrario que no está en el plano de , se obtiene un cono elíptico o un cuádrico cónico , que es un caso especial de una superficie cuádrica .

Una superficie cilíndrica puede verse como un caso límite de una superficie cónica cuyo vértice se desplaza hacia el infinito en una dirección particular. De hecho, en geometría proyectiva, una superficie cilíndrica es solo un caso especial de una superficie cónica.

Ecuaciones

Una superficie cónica se puede describir paramétricamente como

,

donde está el ápice y es la directriz.

Una superficie de apertura cónica circular derecha , cuyo eje es el eje de coordenadas, y cuyo vértice es el origen, se describe paramétricamente como

donde y rango sobre y , respectivamente. En forma implícita , la misma superficie se describe por donde

De manera más general, una superficie cónica circular derecha con vértice en el origen, eje paralelo al vector y apertura viene dada por la ecuación vectorial implícita donde

o

donde , y denota el producto escalar .

En tres coordenadas, x, y y z, una superficie cónica con directriz elíptica, con vértice en el origen, viene dada por esta ecuación homogénea de grado 2:

Ver también