Número Pisot – Vijayaraghavan - Pisot–Vijayaraghavan number
En matemáticas , un número de Pisot-Vijayaraghavan , también llamado simplemente un número de Pisot o un número de PV , es un entero algebraico real mayor que 1, todos cuyos conjugados de Galois son menores que 1 en valor absoluto . Estos números fueron descubiertos por Axel Thue en 1912 y redescubiertos por GH Hardy en 1919 en el contexto de la aproximación diofántica . Se hicieron ampliamente conocidos después de la publicación de la disertación de Charles Pisot en 1938. También ocurren en el problema de la unicidad de las series de Fourier . Tirukkannapuram Vijayaraghavan y Raphael Salem continuaron sus estudios en la década de 1940. Los números de Salem son un conjunto de números estrechamente relacionado.
Una propiedad característica de los números PV es que sus potencias se acercan a los números enteros a una tasa exponencial. Pisot demostró una inversa notable: si α > 1 es un número real tal que la secuencia
medir la distancia desde sus potencias consecutivas al entero más cercano es sumable al cuadrado , o ℓ 2 , entonces α es un número de Pisot (y, en particular, algebraico). Sobre la base de esta caracterización de los números de PV, Salem mostró que el conjunto S de todos los números de PV está cerrado . Su elemento mínimo es una irracionalidad cúbica conocida como número plástico . Se sabe mucho sobre los puntos de acumulación de S . El más pequeño de ellos es la proporción áurea .
Definición y propiedades
Un entero algebraico de grado n es una raíz α de un polinomio monico irreducible P ( x ) de grado n con coeficientes enteros, su polinomio mínimo . Las otras raíces de P ( x ) se denominan conjugados de α . Si α > 1 pero todas las demás raíces de P ( x ) son números reales o complejos de valor absoluto menor que 1, de modo que se encuentran estrictamente dentro del círculo | x | = 1 en el plano complejo , entonces α se llama un número de Pisot , un número de Pisot-Vijayaraghavan o simplemente un número de PV . Por ejemplo, el cociente de oro , φ ≈ 1.618, es un verdadero número entero cuadrática que es mayor que 1, mientras que el valor absoluto de su conjugado, - φ -1 ≈ -0,618, es menor que 1. Por lo tanto, φ es un número Pisot . Su polinomio mínimo es x 2 - x - 1.
Propiedades elementales
- Todo entero mayor que 1 es un número PV. Por el contrario, todo número PV racional es un número entero mayor que 1.
- Si α es un número PV irracional cuyo polinomio mínimo termina en k, entonces α es mayor que | k |. En consecuencia, todos los números de PV menores que 2 son unidades algebraicas.
- Si α es un número PV, entonces también lo son sus potencias α k , para todos los exponentes de números naturales k .
- Todo campo numérico algebraico real K de grado n contiene un número PV de grado n . Este número es un generador de campo. El conjunto de todos los números de PV de grado n en K se cierra mediante multiplicación.
- Teniendo en cuenta un límite superior M y el grado n , sólo hay un número finito de números de PV de grado n que son menos que M .
- Cada número de PV es un número de Perron (un número algebraico real mayor que uno cuyos conjugados tienen un valor absoluto menor).
Propiedades diofánticas
El principal interés en los números de PV se debe al hecho de que sus poderes tienen una distribución muy "sesgada" (mod 1). Si α es un número PV y λ es cualquier entero algebraico en el campo, entonces la secuencia
donde || x || denota la distancia desde el número real x al entero más cercano, se acerca a 0 a una tasa exponencial. En particular, es una secuencia sumable al cuadrado y sus términos convergen a 0.
Se conocen dos declaraciones recíprocas: caracterizan los números PV entre todos los números reales y entre los números algebraicos (pero bajo una suposición diofántica más débil).
- Suponga que α es un número real mayor que 1 y λ es un número real distinto de cero tal que
- Entonces α es un número de Pisot y λ es un número algebraico en el campo ( teorema de Pisot ).
- Suponga que α es un número algebraico mayor que 1 y λ es un número real distinto de cero tal que
- Entonces α es un número de Pisot y λ es un número algebraico en el campo .
Un problema de Pisot-Vijayaraghavan de larga data pregunta si la suposición de que α es algebraica se puede eliminar de la última declaración. Si la respuesta es afirmativa, los números de Pisot se caracterizarían entre todos los números reales por la simple convergencia de || λα n || a 0 para alguna λ real auxiliar . Se sabe que sólo hay un número numerable de α con esta propiedad. El problema es decidir si alguno de ellos es trascendental.
Propiedades topologicas
El conjunto de todos los números Pisot se denota S . Dado que los números de Pisot son algebraicos, el conjunto S es contable. Raphael Salem demostró que este conjunto es cerrado : contiene todos sus puntos límite . Su demostración utiliza una versión constructiva de la propiedad diofántica principal de los números de Pisot: dado un número de Pisot α , se puede elegir un número real λ de modo que 0 < λ ≤ α y
Por lo tanto, la norma ℓ 2 de la secuencia || λα n || puede estar acotada por una constante uniforme independiente de α . En el último paso de la demostración, se invoca la caracterización de Pisot para concluir que el límite de una secuencia de números de Pisot es en sí mismo un número de Pisot.
La cerrazón de S implica que tiene un elemento mínimo . Carl Ludwig Siegel demostró que es la raíz positiva de la ecuación x 3 - x - 1 = 0 ( constante de plástico ) y se aísla en S . Se construyó dos secuencias de números Pisot convergentes a la proporción de oro φ desde abajo y preguntó si φ es el punto límite más pequeño de S . Esto fue probado más tarde por Dufresnoy y Pisot, quienes también determinaron todos los elementos de S que son menores que φ ; no todos pertenecen a las dos secuencias de Siegel. Vijayaraghavan demostró que S tiene infinitos puntos límite; de hecho, la secuencia de conjuntos derivados
no termina. Por otro lado, la intersección de estos conjuntos está vacía, lo que significa que el rango de Cantor-Bendixson de S es ω . Incluso con mayor precisión, se ha determinado el tipo de orden de S.
El conjunto de números de Salem , denotada por T , está íntimamente relacionado con S . Se ha demostrado que S está contenido en el conjunto T' de los puntos límite de T . Se ha conjeturado que la unión de S y T es cerrada.
Irracionales cuadráticos
Si es un irracional cuadrático, solo hay otro conjugado:, obtenido cambiando el signo de la raíz cuadrada de
o de
Aquí a y D son números enteros y en el segundo caso a es impar y D es congruente con 1 módulo 4.
Las condiciones requeridas son α > 1 y −1 < α '<1. Estas se satisfacen en el primer caso exactamente cuando a > 0 y o . Estos se satisfacen en el segundo caso exactamente cuando y o bien .
Por lo tanto, los primeros irracionales cuadráticos que son números PV son:
Valor | Raíz de... | Valor numérico |
---|---|---|
1.618033 ... OEIS : A001622 (la proporción áurea ) | ||
2.414213 ... OEIS : A014176 (la proporción de plata ) | ||
2.618033 ... OEIS : A104457 | ||
2.732050 ... OEIS : A090388 | ||
3.302775 ... OEIS : A098316 (el tercer medio metálico ) | ||
3.414213 ... | ||
3.561552 .. OEIS : A178255 . | ||
3.732050 ... OEIS : A019973 | ||
3.791287 ... OEIS : A090458 | ||
4.236067 ... OEIS : A098317 (el cuarto medio metálico) |
Potencias de los números PV
Números Pisot-Vijayaraghavan se pueden utilizar para generar casi enteros : el n º potencia de un número Pisot se acerca enteros como n crece. Por ejemplo,
Dado que y difieren solo por
está extremadamente cerca de
En efecto
Las potencias superiores dan aproximaciones racionales correspondientemente mejores.
Esta propiedad se deriva del hecho de que para cada n , la suma de las n- ésimas potencias de un entero algebraico x y sus conjugados es exactamente un número entero; esto se sigue de una aplicación de las identidades de Newton . Cuando x es un número de Pisot, las n- ésimas potencias de los otros conjugados tienden a 0 mientras que n tiende a infinito. Dado que la suma es un número entero, la distancia de x n al número entero más cercano tiende a 0 a una tasa exponencial.
Pequeños números de Pisot
Todos los números de Pisot que no superan la proporción áurea φ han sido determinados por Dufresnoy y Pisot. La siguiente tabla enumera diez números Pisot más pequeños en orden creciente.
Valor | Raíz de... | Raíz de... | |
---|---|---|---|
1 | 1.3247179572447460260 OEIS : A060006 ( número de plástico ) | ||
2 | 1.3802775690976141157 OEIS : A086106 | ||
3 | 1.4432687912703731076 OEIS : A228777 | ||
4 | 1.4655712318767680267 OEIS : A092526 ( relación superdorada ) | ||
5 | 1.5015948035390873664 OEIS : A293508 | ||
6 | 1.5341577449142669154 OEIS : A293509 | ||
7 | 1.5452156497327552432 OEIS : A293557 | ||
8 | 1.5617520677202972947 | ||
9 | 1.5701473121960543629 OEIS : A293506 | ||
10 | 1.5736789683935169887 |
Dado que estos números de PV son menores que 2, todos son unidades: sus polinomios mínimos terminan en 1 o −1. Los polinomios de esta tabla, con la excepción de
son factores de cualquiera
o
El primer polinomio es divisible por x 2 - 1 cuando n es impar y por x - 1 cuando n es par. Tiene otro cero real, que es un número de PV. Dividir cualquiera de los polinomios entre x n da expresiones que se acercan a x 2 - x - 1 a medida que n crece mucho y tienen ceros que convergen en φ . Un par complementario de polinomios,
y
produce números de Pisot que se acercan a φ desde arriba.
Referencias
- MJ Bertin; A. Decomps-Guilloux; M. Grandet-Hugot; M. Pathiaux-Delefosse; JP Schreiber (1992). Números de Pisot y Salem . Birkhäuser. ISBN 3-7643-2648-4.
- Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . Libros CMS en Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001 .Cap. 3.
- Boyd, David W. (1978). "Números de Pisot y Salem en intervalos de la línea real" . Matemáticas. Comp . 32 : 1244-1260. doi : 10.2307 / 2006349 . ISSN 0025-5718 . Zbl 0395.12004 .
- Cassels, JWS (1957). Una introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 133-144.
- Hardy, GH (1919). "Un problema de aproximación diofántica". J. Indian Math. Soc . 11 : 205–243.
- Pisot, Charles (1938). "La répartition modulo 1 et nombres algébriques". Ana. Carolina del Sur. Norma. Súper. Pisa II . Ser. 7 (en francés): 205–248. Zbl 0019.15502 .
- Salem, Raphaël (1963). Números algebraicos y análisis de Fourier . Heath monografías matemáticas. Boston, MA: DC Heath and Company . Zbl 0126.07802 .
- Thue, Axel (1912). "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann". Christiania Vidensk. selsk. Skrifter . 2 (20): 1-15. JFM 44.0480.04 .
enlaces externos
- Número de Pisot , Enciclopedia de Matemáticas
- Terr, David y Weisstein, Eric W. "Número de Pisot" . MathWorld .