Número de Salem - Salem number

Gráfica de las raíces del polinomio de Lehmer, con el número de Salem correspondiente cerca de x = 1,17628 en oro.

En matemáticas , un número de Salem es un entero algebraico real α  > 1 cuyas raíces conjugadas tienen todas un valor absoluto no mayor que 1, y al menos una de las cuales tiene un valor absoluto exactamente 1. Los números de Salem son de interés en la aproximación diofántica y el análisis armónico . Llevan el nombre de Raphaël Salem .

Propiedades

Debido a que tiene una raíz de valor absoluto 1, el polinomio mínimo para un número de Salem debe ser recíproco . Esto implica que 1 / α también es una raíz, y que todas las demás raíces tienen un valor absoluto exactamente uno. Como consecuencia α debe ser una unidad en el anillo de los enteros algebraicos , siendo de norma  1.

Cada número de Salem es un número de Perron (un número algebraico real mayor que uno cuyos conjugados tienen un valor absoluto menor).

Relación con los números de Pisot-Vijayaraghavan

El número de Salem más pequeño conocido es la raíz real más grande del polinomio de Lehmer (llamado así por Derrick Henry Lehmer )

${\ Displaystyle P (x) = x ^ {10} + x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x + 1,}$

que es aproximadamente x = 1,17628: se conjetura que de hecho es el número de Salem más pequeño, y la medida de Mahler más pequeña posible de un polinomio no ciclotómico irreducible.

El polinomio de Lehmer es un factor del polinomio de grado 12 más corto,

${\ Displaystyle Q (x) = x ^ {12} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} +1,}$

cuyas doce raíces satisfacen la relación

${\ displaystyle x ^ {630} -1 = {\ frac {(x ^ {315} -1) (x ^ {210} -1) (x ^ {126} -1) ^ {2} (x ^ { 90} -1) (x ^ {3} -1) ^ {3} (x ^ {2} -1) ^ {5} (x-1) ^ {3}} {(x ^ {35} -1 ) (x ^ {15} -1) ^ {2} (x ^ {14} -1) ^ {2} (x ^ {5} -1) ^ {6} \, x ^ {68}}}}$

Los números de Salem se pueden construir a partir de los números de Pisot-Vijayaraghavan . Para recordar, el más pequeño de estos últimos es la raíz real única del polinomio cúbico,

${\ Displaystyle x ^ {3} -x-1,}$

conocido como el número plástico y aproximadamente igual a 1,324718. Esto se puede utilizar para generar una familia de números de Salem, incluido el más pequeño encontrado hasta ahora. El enfoque general es tomar el polinomio mínimo P ( x ) de un número de Pisot-Vijayaraghavan y su polinomio recíproco , P * ( x ), y resolver la ecuación,

${\ Displaystyle x ^ {n} P (x) = \ pm P ^ {*} (x) \,}$

para la integral n por encima de un límite. Restar un lado del otro, factorizar y descartar factores triviales producirá el polinomio mínimo de ciertos números de Salem. Por ejemplo, usando el caso negativo de lo anterior,

${\ Displaystyle x ^ {n} (x ^ {3} -x-1) = - (x ^ {3} + x ^ {2} -1)}$

entonces para n = 8, esto se factoriza como,

${\ Displaystyle (x-1) (x ^ {10} + x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x + 1) = 0}$

donde el decic es el polinomio de Lehmer. El uso de una n más alta producirá una familia con una raíz cercana al número plástico . Esto se puede entender mejor tomando n th raíces de ambos lados,

${\ Displaystyle x (x ^ {3} -x-1) ^ {1 / n} = \ pm (x ^ {3} + x ^ {2} -1) ^ {1 / n}}$

así que a medida que n sube, x se acercará a la solución de x ³  -  x  - 1 = 0. Si se usa el caso positivo, entonces x se acerca al número plástico desde la dirección opuesta. Usando el polinomio mínimo del siguiente número más pequeño de Pisot-Vijayaraghavan da,

${\ Displaystyle x ^ {n} (x ^ {4} -x ^ {3} -1) = - (x ^ {4} + x-1)}$

que para n = 7 factores como,

${\ Displaystyle (x-1) (x ^ {10} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} +1) = 0}$

un decic no generado en el anterior y tiene la raíz x  = 1.216391 ... que es el quinto número de Salem más pequeño conocido. Cuando n  → infinito, esta familia tiende a su vez hacia la raíz real más grande de  x ⁴  -  x ³  - 1 = 0.

Referencias

• Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . Libros CMS en Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95444-9. Zbl  1020.12001 .Cap. 3.
• Boyd, David (2001) [1994], "Número de Salem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• MJ Mossinghoff. "Pequeños números de Salem" . Consultado el 7 de enero de 2016 .
• Salem, R. (1963). Números algebraicos y análisis de Fourier . Heath monografías matemáticas. Boston, MA: DC Heath and Company . Zbl  0126.07802 .