Análisis armónico -Harmonic analysis
El análisis armónico es una rama de las matemáticas que se ocupa de investigar las conexiones entre una función y su representación en frecuencia . La representación de frecuencia se encuentra utilizando la transformada de Fourier para funciones en la línea real, o mediante series de Fourier para funciones periódicas. La generalización de estas transformadas a otros dominios generalmente se denomina análisis de Fourier , aunque el término a veces se usa indistintamente con el análisis armónico. El análisis armónico se ha convertido en un tema muy amplio con aplicaciones en áreas tan diversas como la teoría de números , la teoría de representaciones , el procesamiento de señales , la mecánica cuántica , el análisis de mareas y la neurociencia .
El término " armónicos " se originó como la palabra griega antigua harmonikos , que significa "experto en música". En problemas de valores propios físicos , comenzó a significar ondas cuyas frecuencias son múltiplos enteros entre sí, como lo son las frecuencias de los armónicos de las notas musicales , pero el término se ha generalizado más allá de su significado original.
La transformada clásica de Fourier en R n sigue siendo un área de investigación en curso, particularmente en lo que respecta a la transformación de Fourier en objetos más generales, como las distribuciones temperadas . Por ejemplo, si imponemos algunos requisitos a una distribución f , podemos intentar traducir estos requisitos en términos de la transformada de Fourier de f . El teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de esto. El teorema de Paley-Wiener implica inmediatamente que si f es una distribución distinta de cero de soporte compacto (estas incluyen funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier nunca se admite de forma compacta (es decir, si una señal está limitada en un dominio, es ilimitada en el otro). otro). Esta es una forma muy elemental de un principio de incertidumbre en un entorno de análisis armónico.
Las series de Fourier se pueden estudiar convenientemente en el contexto de los espacios de Hilbert , lo que proporciona una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional . Hay cuatro versiones de la transformada de Fourier, dependiendo de los espacios mapeados por la transformación:
- discreta/periódica–discreta/periódica: transformada de Fourier discreta ,
- continuo/periódico-discreto/aperiódico: serie de Fourier ,
- discreta/aperiódica–continua/periódica: transformada de Fourier en tiempo discreto ,
- continua/aperiódica–continua/aperiódica: transformada de Fourier .
Análisis armónico abstracto
Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis de grupos topológicos . Las ideas motivadoras centrales son las diversas transformadas de Fourier , que pueden generalizarse a una transformada de funciones definidas en grupos topológicos localmente compactos de Hausdorff .
La teoría para grupos abelianos localmente compactos se llama dualidad de Pontryagin .
El análisis armónico estudia las propiedades de esa dualidad y la transformada de Fourier e intenta extender esas características a diferentes escenarios, por ejemplo, al caso de los grupos de Lie no abelianos .
Para grupos generales localmente compactos no abelianos, el análisis armónico está estrechamente relacionado con la teoría de las representaciones de grupos unitarios. Para grupos compactos, el teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden obtener armónicos eligiendo una representación irreducible de cada clase de representaciones de equivalencia. Esta elección de armónicos disfruta de algunas de las propiedades útiles de la transformada de Fourier clásica en términos de llevar convoluciones a productos puntuales o, de lo contrario, mostrar una cierta comprensión de la estructura del grupo subyacente . Ver también: Análisis armónico no conmutativo .
Si el grupo no es abeliano ni compacto, actualmente no se conoce ninguna teoría satisfactoria general ("satisfactorio" significa al menos tan fuerte como el teorema de Plancherel ). Sin embargo, se han analizado muchos casos concretos, por ejemplo SL n . En este caso, las representaciones en infinitas dimensiones juegan un papel crucial.
Otras sucursales
- El estudio de los valores y vectores propios del laplaciano en dominios , variedades y (en menor medida) gráficos también se considera una rama del análisis armónico. Véase, por ejemplo, escuchar la forma de un tambor .
- El análisis armónico en espacios euclidianos se ocupa de las propiedades de la transformada de Fourier en R n que no tienen análogo en los grupos generales. Por ejemplo, el hecho de que la transformada de Fourier sea invariante en rotación. La descomposición de la transformada de Fourier en sus componentes radial y esférico conduce a temas como las funciones de Bessel y los armónicos esféricos .
- El análisis armónico en dominios de tubos se ocupa de generalizar las propiedades de los espacios de Hardy a dimensiones superiores.
Análisis armónico aplicado
Muchas aplicaciones del análisis armónico en ciencia e ingeniería comienzan con la idea o hipótesis de que un fenómeno o señal se compone de una suma de componentes oscilatorios individuales. Las mareas oceánicas y las cuerdas vibrantes son ejemplos comunes y sencillos. El enfoque teórico suele tratar de describir el sistema mediante una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones para predecir las características esenciales, incluidas la amplitud, la frecuencia y las fases de los componentes oscilatorios. Las ecuaciones específicas dependen del campo, pero las teorías generalmente intentan seleccionar ecuaciones que representen principios importantes que sean aplicables.
El enfoque experimental suele ser adquirir datos que cuantifiquen con precisión el fenómeno. Por ejemplo, en un estudio de las mareas, el experimentador adquiriría muestras de la profundidad del agua en función del tiempo a intervalos lo suficientemente espaciados para ver cada oscilación y durante una duración lo suficientemente larga como para incluir múltiples períodos de oscilación. En un estudio sobre cuerdas vibrantes, es común que el experimentador adquiera una forma de onda de sonido muestreada a una velocidad de al menos el doble de la frecuencia más alta esperada y con una duración muchas veces mayor que el período de la frecuencia más baja esperada.
Por ejemplo, la señal superior a la derecha es una forma de onda de sonido de un bajo tocando una cuerda al aire correspondiente a una nota A con una frecuencia fundamental de 55 Hz. La forma de onda parece oscilatoria, pero es más compleja que una simple onda sinusoidal, lo que indica la presencia de ondas adicionales. Los diferentes componentes de onda que contribuyen al sonido pueden revelarse aplicando una técnica de análisis matemático conocida como transformada de Fourier , cuyo resultado se muestra en la figura inferior. Tenga en cuenta que hay un pico prominente a 55 Hz, pero que hay otros picos a 110 Hz, 165 Hz y otras frecuencias que corresponden a múltiplos enteros de 55 Hz. En este caso, 55 Hz se identifica como la frecuencia fundamental de la vibración de la cuerda, y los múltiplos enteros se conocen como armónicos .
Ver también
- Convergencia de la serie de Fourier
- Análisis de Fourier para calcular la periodicidad en datos espaciados uniformemente
- Armónico (matemáticas)
- Análisis espectral de mínimos cuadrados para calcular la periodicidad en datos espaciados irregularmente
- Estimación de densidad espectral
- la tesis de tate
Referencias
Bibliografía
- Elias Stein y Guido Weiss , Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton University Press , 1971. ISBN 0-691-08078-X
- Elias Stein con Timothy S. Murphy, Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias , Princeton University Press, 1993.
- Elias Stein , Temas de análisis armónico relacionados con la teoría de Littlewood-Paley , Princeton University Press, 1970.
- Yitzhak Katznelson , Introducción al análisis armónico , Tercera edición. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2004. ISBN 0-521-83829-0 ; 0-521-54359-2
- Terence Tao , Transformada de Fourier . (Introduce la descomposición de funciones en partes pares e impares como una descomposición armónica sobre ℤ₂).
- Yurii I. Lyubich. Introducción a la Teoría de las Representaciones de Grupos de Banach . Traducido de la edición en ruso de 1985 (Kharkov, Ucrania). Birkhäuser Verlag. 1988.
- George W. Mackey , Análisis armónico como explotación de la simetría: un estudio histórico , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 3 (1980), 543–698.
- M. Bujosa, A. Bujosa and A. Garcıa-Ferrer. Marco matemático para pseudoespectros de ecuaciones diferenciales estocásticas lineales , Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales, vol. 63 (2015), 6498-6509.