Polinomio recíproco - Reciprocal polynomial

En álgebra , dado un polinomio

{\ Displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x ^ {n},}

con coeficientes de un campo arbitrario , su polinomio recíproco o polinomio reflejado , denotado por $p *$ o $p R$ , es el polinomio

{\ Displaystyle p ^ {*} (x) = a_ {n} + a_ {n-1} x + \ cdots + a_ {0} x ^ {n} = x ^ {n} p (x ^ {- 1} ).}

Es decir, los coeficientes de $p *$ son los coeficientes de $p$ en orden inverso. Surgen naturalmente en álgebra lineal como el polinomio característico de la inversa de una matriz .

En el caso especial donde el campo son los números complejos , cuando

{\ Displaystyle p (z) = a_ {0} + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} + \ cdots + a_ {n} z ^ {n},}

el polinomio recíproco conjugado , denotado $p †$ , se define por,

{\ Displaystyle p ^ {\ dagger} (z) = {\ overline {a_ {n}}} + {\ overline {a_ {n-1}}} z + \ cdots + {\ overline {a_ {0}}} z ^ {n} = z ^ {n} {\ overline {p ({\ bar {z}} ^ {- 1})}},}

donde denota el complejo conjugado de , y también se llama polinomio recíproco cuando no puede surgir confusión. ${\ Displaystyle {\ overline {a_ {i}}}}$ ${\ Displaystyle a_ {i}}$

Un polinomio $p$ se llama auto-recíproco o palindrómico si $p (x) = p * (x)$ . Los coeficientes de un polinomio auto-recíproco satisfacen $a i = a n - i$ para todo $i$ . En el caso recíproco conjugado, los coeficientes deben ser reales para satisfacer la condición.

Propiedades

Los polinomios recíprocos tienen varias conexiones con sus polinomios originales, que incluyen:

$grados p = grados p *$
$p (x) = x norte p * (x -1)$
$α$ es una raíz de un polinomio $p$ si y solo si $α -1$ es una raíz de $p *$ .
Si $p (x) \neq x$ entonces $p$ es irreducible si y solo si $p *$ es irreducible.
$p$ es primitivo si y solo si $p *$ es primitivo.

Se pueden obtener otras propiedades de polinomios recíprocos, por ejemplo:

Un polinomio auto-recíproco de grado impar es divisible por x + 1, por lo tanto, no es irreducible si su grado es> 1.

Polinomios palindrómicos y antipalindrómicos

Un polinomio auto-recíproco también se llama palindrómico porque sus coeficientes, cuando el polinomio se escribe en el orden de potencias ascendentes o descendentes, forman un palíndromo . Es decir, si

{\ Displaystyle P (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}}

es un polinomio de grado $n$ , entonces $P$ es palindrómico si $a i = a n - i$ para $i = 0, 1, ..., n$ . Algunos autores usan los términos palindrómico y recíproco de manera intercambiable.

De manera similar, un polinomio $P$ de grado $n$ se llama antipalindrómico si $a i = - a n - i$ para $i = 0, 1, ..., n$ . Es decir, un polinomio $P$ es antipalindrómico si $P (x) = - P * (x)$ .

Ejemplos de

De las propiedades de los coeficientes binomiales , se deduce que los polinomios $P (x) = (x + 1) n$ son palindrómicos para todos los enteros positivos $n$ , mientras que los polinomios $Q (x) = (x - 1) n$ son palindrómicos cuando $n$ es par y antipalindrómico cuando $n$ es impar .

Otros ejemplos de polinomios palindrómicos incluyen polinomios ciclotómicos y polinomios eulerianos .

Propiedades

Si $a$ es una raíz de un polinomio que es palindrómico o antipalindrómico, entonces 1/ $a$ también es una raíz y tiene la misma multiplicidad .
Lo contrario es cierto: si un polinomio es tal que si $a$ es una raíz, entonces1/ $a$ es también una raíz de la misma multiplicidad, entonces el polinomio es palindrómico o antipalindrómico.
Para cualquier polinomio $q$ , el polinomio $q + q *$ es palindrómico y el polinomio $q - q *$ es antipalindrómico.
De ello se deduce que cualquier polinomio $q$ se puede escribir como la suma de un polinomio palindrómico y antipalindrómico, ya que $q = (q + q *) / 2 + (q - q *) / 2$ .
El producto de dos polinomios palindrómicos o antipalindrómicos es palindrómico.
El producto de un polinomio palindrómico y un polinomio antipalindrómico es antipalindrómico.
Un polinomio palindrómico de grado impar es un múltiplo de $x + 1$ (tiene –1 como raíz) y su cociente por $x + 1$ también es palindrómico.
Un polinomio antipalindrómico es un múltiplo de $x - 1$ (tiene 1 como raíz) y su cociente por $x - 1$ es palindrómico.
Un polinomio antipalindrómico de grado par es un múltiplo de $x 2 - 1$ (tiene −1 y 1 como raíces) y su cociente por $x 2 - 1$ es palindrómico.
Si $p (x)$ es un polinomio palindrómico de grado par 2 $d$ , entonces hay un polinomio $q$ de grado $d$ tal que $p (x) = x d q (x + 1 / X)$ (Durand 1961).
Si $p (x)$ es un mónico polinomio antipalindromic de grado par 2 $d$ sobre un campo $k$ con impar característico , entonces se puede escribir de manera única como $p (x) = x d (Q (x) - Q (1 / X))$ , donde $Q$ es un polinomio mónico de grado $d$ sin término constante.
Si un polinomio antipalindrómico $P$ tiene un grado par $2 n$ , entonces su coeficiente "medio" (de potencia $n$ ) es 0 ya que $a n = - a 2 n - n$ .

Coeficientes reales

Un polinomio con coeficientes reales cuyas raíces complejas se encuentran en el círculo unitario en el plano complejo (es decir, todas las raíces tienen módulo 1) es palindrómico o antipalindrómico.

Polinomios recíprocos conjugados

Un polinomio es recíproco conjugado si y autoinverso si para un factor de escala $ω$ en el círculo unitario . ${\ Displaystyle p (x) \ equiv p ^ {\ dagger} (x)}$ ${\ Displaystyle p (x) = \ omega p ^ {\ dagger} (x)}$

Si $p (z)$ es el polinomio mínimo de $z 0$ con $| z 0 | = 1, z 0 \neq 1$ , y $p (z)$ tiene coeficientes reales , entonces $p (z)$ es auto-recíproco. Esto sigue porque

{\ Displaystyle z_ {0} ^ {n} {\ overline {p (1 / {\ bar {z_ {0}}})}} = z_ {0} ^ {n} {\ overline {p (z_ {0 })}} = z_ {0} ^ {n} {\ bar {0}} = 0.}

Entonces $z 0$ es una raíz del polinomio que tiene grado $n$ . Pero, el polinomio mínimo es único, por lo tanto ${\ Displaystyle z ^ {n} {\ overline {p ({\ bar {z}} ^ {- 1})}}}$

{\ Displaystyle cp (z) = z ^ {n} {\ overline {p ({\ bar {z}} ^ {- 1})}}}

para alguna constante $c$ , es decir . Suma de $i$ $= 0$ a $N$ y observe que 1 no es una raíz de $p$ . Concluimos que $c$ $= 1$ . ${\ Displaystyle ca_ {i} = {\ overline {a_ {ni}}} = a_ {ni}}$

Una consecuencia es que los polinomios ciclotómicos $Φ n$ son auto-recíprocos para $n > 1$ . Esto se utiliza en el tamiz especial campo de número para permitir que números de la forma $x 11 \pm 1, x 13 \pm 1, x 15 \pm 1$ y $x 21 \pm 1$ para ser factorizada toma ventaja de los factores algebraicos mediante el uso de polinomios de grado 5, 6, 4 y 6 respectivamente - tenga en cuenta que $φ$ ( función totient de Euler ) de los exponentes son 10, 12, 8 y 12.

Aplicación en la teoría de la codificación

El polinomio recíproco encuentra un uso en la teoría de los códigos de corrección de errores cíclicos . Suponga que $x n - 1$ se puede factorizar en el producto de dos polinomios, digamos que $x n - 1 = g (x) p (x)$ . Cuando $g (x)$ genera un código cíclico $C$ , entonces el recíproco polinomio $p *$ genera $C ⊥$ , el complemento ortogonal de $C$ . Además, $C$ es auto-ortogonal (es decir, $C \subseteq C ⊥)$ , si y solo si $p *$ divide $g (x)$ .

Ver también

Teorema de cohn

Notas

Referencias

Pless, Vera (1990), Introducción a la teoría de los códigos de corrección de errores (2a ed.), Nueva York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-61884-5
Roman, Steven (1995), Field Theory , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94408-7
Émile Durand (1961) Solutions numériques des équations algrébriques I, Masson et Cie: XV - polynômes dont les coefficients sont symétriques ou antisymétriques, p. 140-141.

enlaces externos

"El teorema fundamental de polinomios palindrómicos" . MathPages.com .
Polinomio recíproco (en MathWorld )

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Contenido

Propiedades

Polinomios palindrómicos y antipalindrómicos

Ejemplos de

Propiedades

Coeficientes reales

Polinomios recíprocos conjugados

Aplicación en la teoría de la codificación

Ver también

Notas

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