Problema de dos cuerpos en la relatividad general - Two-body problem in general relativity

Relatividad general
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ sobre c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introducción Historia Formulación matemática Pruebas
Conceptos fundamentales Principio de equivalencia Relatividad especial Línea mundial Variedad pseudo-riemanniana
Fenómenos Problema de Kepler Lente gravitacional Ondas gravitacionales Arrastrar fotogramas Efecto geodésico Horizonte de eventos Singularidad Calabozo Tiempo espacial Diagramas de espacio-tiempo Espacio-tiempo de Minkowski Puente Einstein-Rosen
Ecuaciones Formalismos Ecuaciones Gravedad linealizada Ecuaciones de campo de Einstein Friedmann Geodésicas Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Formalismos ADM BSSN Post-Newtoniano Teoría avanzada Teoría de Kaluza-Klein Gravedad cuántica
Soluciones Schwarzschild ( interior ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker onda de pp polvo de van Stockum Weyl-Lewis-Papapetrou
Científicos Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Rodador Robertson Bardeen Caminante Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Hombre nuevo Yau Thorne otros
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El problema de los dos cuerpos en la relatividad general es la determinación del movimiento y el campo gravitacional de dos cuerpos como se describe en las ecuaciones de campo de la relatividad general . Resolver el problema de Kepler es fundamental para calcular la curvatura de la luz por gravedad y el movimiento de un planeta que orbita alrededor de su sol. Las soluciones también se utilizan para describir el movimiento de estrellas binarias entre sí y estimar su pérdida gradual de energía a través de la radiación gravitacional .

La relatividad general describe el campo gravitacional mediante un espacio-tiempo curvo; las ecuaciones de campo que gobiernan esta curvatura no son lineales y, por lo tanto, difíciles de resolver en forma cerrada . No se han encontrado soluciones exactas al problema de Kepler, pero sí una solución aproximada: la solución de Schwarzschild . Esta solución se aplica cuando la masa M de un cuerpo es abrumadoramente mayor que la masa m del otro. Si es así, la masa más grande puede tomarse como estacionaria y el único contribuyente al campo gravitacional. Ésta es una buena aproximación para un fotón que pasa por una estrella y para un planeta que orbita alrededor de su sol. El movimiento del cuerpo más ligero (llamado la "partícula" a continuación) se puede determinar a partir de la solución de Schwarzschild; el movimiento es geodésico ("camino más corto entre dos puntos") en el espacio-tiempo curvo. Tales soluciones geodésicas explican la precesión anómala del planeta Mercurio , que es una pieza clave de evidencia que respalda la teoría de la relatividad general. También describen la curvatura de la luz en un campo gravitacional, otra predicción famosa utilizada como evidencia de la relatividad general.

Si se considera que ambas masas contribuyen al campo gravitacional, como en las estrellas binarias, el problema de Kepler sólo puede resolverse aproximadamente. El primer método de aproximación que se desarrolló fue la expansión post-Newtoniana , un método iterativo en el que una solución inicial se corrige gradualmente. Más recientemente, ha sido posible resolver la ecuación de campo de Einstein usando una computadora en lugar de fórmulas matemáticas. A medida que los dos cuerpos orbitan entre sí, emitirán radiación gravitacional ; esto hace que pierdan energía y momento angular gradualmente, como lo ilustra el púlsar binario PSR B1913 + 16 .

Para los agujeros negros binarios, la solución numérica del problema de los dos cuerpos se logró después de cuatro décadas de investigación, en 2005, cuando tres grupos idearon las técnicas innovadoras.

Contexto histórico

Problema clásico de Kepler

Figura 1. Trayectoria elíptica típica de una masa más pequeña m orbitando una masa M mucho mayor . La masa más grande también se mueve en una órbita elíptica, pero es demasiado pequeña para ser vista porque M es mucho mayor que m . Los extremos del diámetro indican los ábsides , los puntos de distancia más cercana y más lejana.

El problema de Kepler deriva su nombre de Johannes Kepler , quien trabajó como asistente del astrónomo danés Tycho Brahe . Brahe tomó medidas extraordinariamente precisas del movimiento de los planetas del Sistema Solar. A partir de estas mediciones, Kepler pudo formular las leyes de Kepler , la primera descripción moderna del movimiento planetario:

1. La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de los dos focos .
2. Una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.
3. El cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.

Kepler publicó las dos primeras leyes en 1609 y la tercera ley en 1619. Suplantaron modelos anteriores del Sistema Solar, como los de Ptolomeo y Copérnico . Las leyes de Kepler se aplican solo en el caso limitado del problema de los dos cuerpos. Voltaire y Émilie du Châtelet fueron los primeros en llamarlos "leyes de Kepler".

Casi un siglo después, Isaac Newton había formulado sus tres leyes del movimiento . En particular, la segunda ley de Newton establece que una fuerza F aplicada a una masa m produce una aceleración a dada por la ecuación F = ma . Newton entonces planteó la pregunta: ¿cuál debe ser la fuerza que produce las órbitas elípticas vistas por Kepler? Su respuesta vino en su ley de gravitación universal , que establece que la fuerza entre una masa M y otra masa m viene dada por la fórmula

${\ Displaystyle F = G {\ frac {Mm} {r ^ {2}}},}$

donde r es la distancia entre las masas y G es la constante gravitacional . Dada esta ley de la fuerza y ​​sus ecuaciones de movimiento, Newton pudo demostrar que dos masas puntuales que se atraen entre sí seguirían cada una órbitas perfectamente elípticas. La proporción de tamaños de estas elipses es m / M , con la masa más grande moviéndose en una elipse más pequeña. Si M es mucho más grande que m , entonces la masa más grande parecerá estar estacionaria en el foco de la órbita elíptica de la masa m más ligera . Este modelo se puede aplicar aproximadamente al Sistema Solar. Dado que la masa del Sol es mucho mayor que la de los planetas, la fuerza que actúa sobre cada planeta se debe principalmente al Sol; la gravedad de los planetas entre sí puede despreciarse en una primera aproximación.

Precesión apsidal

En ausencia de otras fuerzas, una partícula que orbita a otra bajo la influencia de la gravedad newtoniana sigue eternamente la misma elipse perfecta . La presencia de otras fuerzas (como la gravitación de otros planetas), hace que esta elipse gire gradualmente. La velocidad de esta rotación (llamada precesión orbital) se puede medir con mucha precisión. La tasa también se puede predecir conociendo las magnitudes y direcciones de las otras fuerzas. Sin embargo, las predicciones de la gravedad newtoniana no coinciden con las observaciones, como se descubrió en 1859 a partir de observaciones de Mercurio.

Si la energía potencial entre los dos cuerpos no es exactamente el potencial 1 / r de la ley gravitacional de Newton, pero difiere solo ligeramente, entonces la elipse de la órbita rota gradualmente (entre otros efectos posibles). Esta precesión absidal se observa para todos los planetas que orbitan alrededor del Sol, principalmente debido a la achatamiento del Sol (no es perfectamente esférico) y las atracciones de los otros planetas entre sí. Los ábsides son los dos puntos de distancia más cercana y más lejana de la órbita (la periapsis y la apoapsis, respectivamente); La precesión absidal corresponde a la rotación de la línea que une los ábsides. También corresponde a la rotación del vector Laplace-Runge-Lenz , que apunta a lo largo de la línea de los ábsides.

La ley de gravitación de Newton pronto se aceptó porque proporcionaba predicciones muy precisas del movimiento de todos los planetas. Estos cálculos fueron realizados inicialmente por Pierre-Simon Laplace a finales del siglo XVIII y refinados por Félix Tisserand a finales del siglo XIX. Por el contrario, si la ley de gravitación de Newton no predecía con precisión las precesiones absidales de los planetas, tendría que descartarse como teoría de la gravitación. Una precesión tan anómala se observó en la segunda mitad del siglo XIX.

Precesión anómala de Mercurio

En 1859, Urbain Le Verrier descubrió que la precesión orbital del planeta Mercurio no era exactamente lo que debería ser; la elipse de su órbita estaba rotando (precesando) ligeramente más rápido de lo que predijo la teoría tradicional de la gravedad newtoniana, incluso después de que se hubieran tenido en cuenta todos los efectos de los otros planetas. El efecto es pequeño (aproximadamente 43 segundos de arco de rotación por siglo), pero muy por encima del error de medición (aproximadamente 0,1 segundos de arco por siglo). Le Verrier se dio cuenta de la importancia de su descubrimiento de inmediato y desafió a astrónomos y físicos por igual a que lo explicaran. Se propusieron varias explicaciones clásicas, como el polvo interplanetario, la oblación no observada del Sol , una luna de Mercurio no detectada o un nuevo planeta llamado Vulcano . Después de descartar estas explicaciones, algunos físicos fueron llevados a la hipótesis más radical de que la ley de gravitación del inverso del cuadrado de Newton era incorrecta. Por ejemplo, algunos físicos propusieron una ley de potencia con un exponente que era ligeramente diferente de 2.

Otros argumentaron que la ley de Newton debería complementarse con un potencial dependiente de la velocidad. Sin embargo, esto implicó un conflicto con la dinámica celeste newtoniana. En su tratado sobre mecánica celeste, Laplace había demostrado que si la influencia gravitacional no actúa instantáneamente, entonces los movimientos de los planetas mismos no conservarán exactamente el momento (y, en consecuencia, parte del momento tendría que atribuirse al mediador de la gravedad gravitacional). interacción, análoga a atribuir impulso al mediador de la interacción electromagnética.) Como se ve desde un punto de vista newtoniano, si la influencia gravitacional se propaga a una velocidad finita, entonces en todos los puntos en el tiempo un planeta es atraído a un punto donde el Sol fue algún tiempo antes, y no hacia la posición instantánea del Sol. Partiendo del supuesto de los fundamentos clásicos, Laplace había demostrado que si la gravedad se propagara a una velocidad del orden de la velocidad de la luz, el sistema solar sería inestable y no existiría durante mucho tiempo. La observación de que el sistema solar tiene la edad suficiente le permitió poner un límite inferior a la velocidad de la gravedad que resultó ser muchos órdenes de magnitud más rápida que la velocidad de la luz.

La estimación de Laplace para la velocidad de la gravedad no es correcta en una teoría de campo que respeta el principio de relatividad. Dado que los campos eléctricos y magnéticos se combinan, la atracción de una carga puntual que se mueve a una velocidad constante es hacia la posición instantánea extrapolada, no hacia la posición aparente que parece ocupar cuando se mira. Para evitar esos problemas, entre 1870 y 1900 muchos científicos utilizaron las leyes electrodinámicas de Wilhelm Eduard Weber , Carl Friedrich Gauss , Bernhard Riemann para producir órbitas estables y explicar el desplazamiento del perihelio de la órbita de Mercurio. En 1890, Maurice Lévy logró hacerlo combinando las leyes de Weber y Riemann, según las cuales la velocidad de la gravedad es igual a la velocidad de la luz en su teoría. Y en otro intento, Paul Gerber (1898) incluso logró derivar la fórmula correcta para el desplazamiento del perihelio (que era idéntica a la fórmula utilizada más tarde por Einstein). Sin embargo, debido a que las leyes básicas de Weber y otros estaban equivocadas (por ejemplo, la ley de Weber fue reemplazada por la teoría de Maxwell), esas hipótesis fueron rechazadas. Otro intento de Hendrik Lorentz (1900), que ya utilizó la teoría de Maxwell, produjo un desplazamiento del perihelio demasiado bajo.

Teoría de la relatividad general de Einstein

Eddington 's 1919 mediciones de la curvatura de la estrella -luz por el sol ' s gravedad llevado a la aceptación de la relatividad general en todo el mundo.

Alrededor de 1904-1905, los trabajos de Hendrik Lorentz , Henri Poincaré y finalmente la teoría de la relatividad especial de Albert Einstein , excluyen la posibilidad de propagación de cualquier efecto más rápido que la velocidad de la luz . De ello se deduce que la ley de gravitación de Newton tendría que ser reemplazada por otra ley, compatible con el principio de relatividad, mientras se sigue obteniendo el límite newtoniano para circunstancias en las que los efectos relativistas son insignificantes. Estos intentos fueron realizados por Henri Poincaré (1905), Hermann Minkowski (1907) y Arnold Sommerfeld (1910). En 1907, Einstein llegó a la conclusión de que para lograrlo se necesitaba un sucesor de la relatividad especial. De 1907 a 1915, Einstein trabajó hacia una nueva teoría, utilizando su principio de equivalencia como concepto clave para guiar su camino. De acuerdo con este principio, un campo gravitacional uniforme actúa por igual sobre todo lo que está dentro de él y, por lo tanto, no puede ser detectado por un observador en caída libre. A la inversa, todos los efectos gravitacionales locales deben ser reproducibles en un marco de referencia de aceleración lineal y viceversa. Así, la gravedad actúa como una fuerza ficticia como la fuerza centrífuga o la fuerza de Coriolis , que resultan de estar en un marco de referencia acelerado; todas las fuerzas ficticias son proporcionales a la masa inercial , al igual que la gravedad. Para lograr la reconciliación de la gravedad y la relatividad especial e incorporar el principio de equivalencia, había que sacrificar algo; que algo era la suposición clásica de larga data de que nuestro espacio obedece a las leyes de la geometría euclidiana , por ejemplo, que el teorema de Pitágoras es cierto experimentalmente. Einstein utilizó una geometría más general, la geometría pseudo-riemanniana , para permitir la curvatura del espacio y el tiempo que era necesaria para la reconciliación; después de ocho años de trabajo (1907-1915), logró descubrir la forma precisa en que el espacio-tiempo debe curvarse para reproducir las leyes físicas observadas en la naturaleza, particularmente la gravitación. La gravedad es distinta de las fuerzas ficticias fuerza centrífuga y fuerza de coriolis en el sentido de que la curvatura del espacio-tiempo se considera físicamente real, mientras que las fuerzas ficticias no se consideran fuerzas. Las primeras soluciones de sus ecuaciones de campo explicaron la precesión anómala de Mercurio y predijeron una curvatura inusual de la luz, que se confirmó después de la publicación de su teoría. Estas soluciones se explican a continuación.

Relatividad general, relatividad especial y geometría

En la geometría euclidiana normal , los triángulos obedecen al teorema de Pitágoras , que establece que la distancia al cuadrado ds ² entre dos puntos en el espacio es la suma de los cuadrados de sus componentes perpendiculares.

${\ Displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} \, \!}$

donde dx , dy y dz representan las diferencias infinitesimales entre las coordenadas x , y y z de dos puntos en un sistema de coordenadas cartesianas (agregue la figura aquí). Ahora imagina un mundo en el que esto no sea del todo cierto; un mundo donde la distancia viene dada por

${\ Displaystyle ds ^ {2} = F (x, y, z) \, dx ^ {2} + G (x, y, z) \, dy ^ {2} + H (x, y, z) \ , dz ^ {2} \, \!}$

donde F , G y H son funciones arbitrarias de posición. No es difícil imaginar un mundo así; vivimos en uno. La superficie de la tierra es curva, por lo que es imposible hacer un mapa plano perfectamente preciso de la tierra. Los sistemas de coordenadas no cartesianos ilustran bien esto; por ejemplo, en las coordenadas esféricas ( r , θ , φ ), la distancia euclidiana se puede escribir

${\ Displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ { 2} \, \!}$

Otro ejemplo sería un mundo en el que los gobernantes que solían medir la longitud no eran dignos de confianza, gobernantes que cambiaban su longitud con su posición e incluso su orientación. En el caso más general, se deben tener en cuenta los términos cruzados al calcular la distancia ds

${\ Displaystyle ds ^ {2} = g_ {xx} \, dx ^ {2} + g_ {xy} \, dx \, dy + g_ {xz} \, dx \, dz + \ cdots + g_ {zy} \ , dz \, dy + g_ {zz} \, dz ^ {2} \, \!}$

donde las nueve funciones g _xx , g _xy ,…, g _zz constituyen el tensor métrico , que define la geometría del espacio en la geometría riemanniana . En el ejemplo de coordenadas esféricas anterior, no hay términos cruzados; los únicos componentes del tensor métrico distintos de cero son g _rr = 1, g _θθ = r ² y g _φφ = r ² sin ² θ.

En su teoría especial de la relatividad , Albert Einstein demostró que la distancia ds entre dos puntos espaciales no es constante, sino que depende del movimiento del observador. Sin embargo, existe una medida de separación entre dos puntos en el espacio-tiempo - llamada "tiempo propio" y denotada con el símbolo dτ - que es invariante; en otras palabras, no depende del movimiento del observador.

${\ Displaystyle c ^ {2} \, d \ tau ^ {2} = c ^ {2} \, dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} \, \!}$

que puede escribirse en coordenadas esféricas como

${\ Displaystyle c ^ {2} \, d \ tau ^ {2} = c ^ {2} \, dt ^ {2} -dr ^ {2} -r ^ {2} \, d \ theta ^ {2 } -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2} \, \!}$

Esta fórmula es la extensión natural del teorema de Pitágoras y de manera similar se mantiene solo cuando no hay curvatura en el espacio-tiempo. En la relatividad general , sin embargo, el espacio y el tiempo pueden tener curvatura, por lo que esta fórmula de distancia debe modificarse a una forma más general

${\ Displaystyle c ^ {2} \, d \ tau ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \, \!}$

al igual que generalizamos la fórmula para medir la distancia en la superficie de la Tierra. La forma exacta de la métrica g _μν depende de la masa gravitante, el momento y la energía, como se describe en las ecuaciones de campo de Einstein . Einstein desarrolló esas ecuaciones de campo para que coincidieran con las leyes de la naturaleza conocidas en ese momento; sin embargo, predijeron fenómenos nunca antes vistos (como la curvatura de la luz por la gravedad) que se confirmaron más tarde.

Ecuación geodésica

Según la teoría de la relatividad general de Einstein, las partículas de masa insignificante viajan a lo largo de las geodésicas en el espacio-tiempo. En el espacio-tiempo sin curvas, lejos de una fuente de gravedad, estas geodésicas corresponden a líneas rectas; sin embargo, pueden desviarse de las líneas rectas cuando el espacio-tiempo es curvo. La ecuación de las líneas geodésicas es

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {dq ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ mu} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {dq}} {\ frac {dx ^ {\ lambda}} {dq}} = 0}$

donde Γ representa el símbolo de Christoffel y la variable q parametriza el camino de la partícula a través del espacio-tiempo , su llamada línea del mundo . El símbolo de Christoffel depende solo del tensor métrico g _μν , o más bien de cómo cambia con la posición. La variable q es un múltiplo constante del tiempo adecuado τ para órbitas temporales (que son recorridas por partículas masivas), y generalmente se considera que es igual a ella. Para órbitas similares a la luz (o nulas) (que viajan por partículas sin masa como el fotón ), el tiempo adecuado es cero y, estrictamente hablando, no se puede usar como la variable q . Sin embargo, las órbitas similares a la luz pueden derivarse como el límite ultrarelativista de las órbitas temporales, es decir, el límite cuando la masa de partículas m llega a cero mientras mantiene fija su energía total .

Solución de Schwarzschild

Una solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein es la métrica de Schwarzschild , que corresponde al campo gravitacional externo de un cuerpo de masa M estacionario, sin carga, no giratorio y esféricamente simétrico . Se caracteriza por una escala de longitud r _s , conocida como radio de Schwarzschild , que se define mediante la fórmula

${\ Displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}$

donde G es la constante gravitacional . La teoría clásica newtoniana de la gravedad se recupera en el límite cuando la relación r _s / r llega a cero. En ese límite, la métrica vuelve a la definida por la relatividad especial .

En la práctica, esta relación es casi siempre extremadamente pequeña. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild r _s de la Tierra es aproximadamente de 9  mm ( 3 ⁄ 8  pulgadas ); en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son solo una parte en mil millones. El radio de Schwarzschild del Sol es mucho más grande, aproximadamente 2953 metros, pero en su superficie, la relación r _s / r es de aproximadamente 4 partes en un millón. Una estrella enana blanca es mucho más densa, pero incluso aquí la proporción en su superficie es de aproximadamente 250 partes en un millón. La proporción solo se vuelve grande cerca de los objetos ultra densos como las estrellas de neutrones (donde la proporción es aproximadamente del 50%) y los agujeros negros .

Órbitas sobre la masa central

Comparación entre la órbita de una partícula de prueba en el espacio-tiempo newtoniano (izquierda) y Schwarzschild (derecha). Haga clic para obtener gráficos animados de alta resolución.

Las órbitas de una partícula de prueba de masa infinitesimal alrededor de la masa central están dadas por la ecuación de movimiento ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} = {\ frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} - \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) \ left (c ^ {2} + {\ frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right ).}$

donde es el momento angular relativa específica , y es la masa reducida . Esto se puede convertir en una ecuación para la órbita. ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle h = r \ times v = {L \ over \ mu}}$${\ Displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {dr} {d \ varphi}} \ right) ^ {2} = {\ frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}} - \ left (1- {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) \ left ({\ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}}} + r ^ {2} \ right),}$

donde, por brevedad , se han introducido dos escalas de longitud, y . Son constantes del movimiento y dependen de las condiciones iniciales (posición y velocidad) de la partícula de prueba. Por tanto, la solución de la ecuación de la órbita es ${\ Displaystyle a = {\ frac {h} {c}}}$${\ Displaystyle b = {\ frac {Lc} {E}}}$

${\ Displaystyle \ varphi = \ int {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ left [{\ frac {1} {b ^ {2}}} - \ left (1 - {\ frac {r_ {\ mathrm {s}}} {r}} \ right) \ left ({\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ right) \ right] ^ {- 1/2} \, dr.}$

Energía potencial radial efectiva

La ecuación de movimiento para la partícula derivada arriba

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} = {\ frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} - c ^ {2} + {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} {r}} - {\ frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} + {\ frac {r_ { s} h ^ {2}} {r ^ {3}}}}$

se puede reescribir usando la definición del radio de Schwarzschild r _s como

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} = \ left [{\ frac {E ^ {2}} {2mc ^ {2}}} - {\ frac {1} {2}} mc ^ {2} \ right] + {\ frac {GMm} {r}} - {\ frac {L ^ {2}} { 2 \ mu r ^ {2}}} + {\ frac {G (M + m) L ^ {2}} {c ^ {2} \ mu r ^ {3}}}}$

que es equivalente a una partícula que se mueve en un potencial efectivo unidimensional

${\ Displaystyle V (r) = - {\ frac {GMm} {r}} + {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {G (M + m) L ^ {2}} {c ^ {2} \ mu r ^ {3}}}}$

Los dos primeros términos son energías clásicas bien conocidas, siendo el primero la energía potencial gravitacional atractiva newtoniana y el segundo correspondiente a la energía potencial "centrífuga" repulsiva ; sin embargo, el tercer término es una energía atractiva exclusiva de la relatividad general . Como se muestra a continuación y en otros lugares , esta energía cúbica inversa hace que las órbitas elípticas precesen gradualmente en un ángulo δφ por revolución

${\ Displaystyle \ delta \ varphi \ approx {\ frac {6 \ pi G (M + m)} {c ^ {2} A \ left (1-e ^ {2} \ right)}}}$

donde A es el semieje mayor ye es la excentricidad. Aquí δφ no es el cambio en la coordenada φ en las coordenadas ( t , r , θ , φ ) sino el cambio en el argumento de periapsis de la órbita cerrada clásica.

El tercer término es atractivo y domina a valores pequeños de r , lo que da un radio interno crítico r _interno en el que una partícula es arrastrada inexorablemente hacia adentro para r = 0; este radio interior es una función del momento angular de la partícula por unidad de masa o, equivalentemente, la una escala de longitud se ha definido anteriormente.

Órbitas circulares y su estabilidad.

Potencial radial efectivo para varios momentos angulares. En radios pequeños, la energía cae precipitadamente, lo que hace que la partícula sea empujada inexorablemente hacia adentro hasta r = 0. Sin embargo, cuando el momento angular normalizado a / r _s = L / mcr _s es igual a la raíz cuadrada de tres, se produce una órbita circular metaestable. posible en el radio resaltado con un círculo verde. En momentos angulares más altos, hay una barrera centrífuga significativa (curva naranja) y un radio interior inestable, resaltado en rojo.

El potencial efectivo V se puede reescribir en términos de la longitud a = h / c :

${\ Displaystyle V (r) = {\ frac {mc ^ {2}} {2}} \ left [- {\ frac {r_ {s}} {r}} + {\ frac {a ^ {2}} {r ^ {2}}} - {\ frac {r_ {s} a ^ {2}} {r ^ {3}}} \ right].}$

Las órbitas circulares son posibles cuando la fuerza efectiva es cero:

${\ Displaystyle F = - {\ frac {dV} {dr}} = - {\ frac {mc ^ {2}} {2r ^ {4}}} \ left [r_ {s} r ^ {2} -2a ^ {2} r + 3r_ {s} a ^ {2} \ right] = 0;}$

es decir, cuando las dos fuerzas atractivas, la gravedad newtoniana (primer término) y la atracción única de la relatividad general (tercer término), están exactamente equilibradas por la fuerza centrífuga repulsiva (segundo término). Hay dos radios en los que puede ocurrir este equilibrio, denotados aquí como r _interior y r _exterior :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} r _ {\ mathrm {exterior}} & = {\ frac {a ^ {2}} {r_ {s}}} \ left (1 + {\ sqrt {1 - {\ frac {3r_ {s} ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ right) \\ r _ {\ mathrm {inner}} & = {\ frac {a ^ {2}} {r_ {s} }} \ left (1 - {\ sqrt {1 - {\ frac {3r_ {s} ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ right) = {\ frac {3a ^ {2}} {r _ {\ mathrm {externo}}}}, \ end {alineado}}}$

que se obtienen utilizando la fórmula cuadrática . El radio interior r _interior es inestable, porque la tercera fuerza de atracción se fortalece mucho más rápido que las otras dos fuerzas cuando r se vuelve pequeño; si la partícula se desliza ligeramente hacia adentro desde r _interno (donde las tres fuerzas están en equilibrio), la tercera fuerza domina a las otras dos y atrae la partícula inexorablemente hacia adentro hasta r  = 0. En el radio externo, sin embargo, las órbitas circulares son estables; el tercer término es menos importante y el sistema se comporta más como el problema de Kepler no relativista .

Cuando a es mucho mayor que r _s (el caso clásico), estas fórmulas se vuelven aproximadamente

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} r _ {\ mathrm {exterior}} y \ approx {\ frac {2a ^ {2}} {r_ {s}}} \\ r _ {\ mathrm {interior}} & \ approx {\ frac {3} {2}} r_ {s} \ end {alineado}}}$

Los radios estable e inestable se representan frente al momento angular normalizado a / r _s = L / mcr _s en azul y rojo, respectivamente. Estas curvas se encuentran en una órbita circular única (círculo verde) cuando el momento angular normalizado es igual a la raíz cuadrada de tres. A modo de comparación, el radio clásico predicho a partir de la aceleración centrípeta y la ley de gravedad de Newton se traza en negro.

Sustituyendo las definiciones de una y r _s en r _exteriores rendimientos la fórmula clásica para una partícula de masa m en órbita un cuerpo de masa M .

La siguiente ecuación

${\ Displaystyle r _ {\ mathrm {exterior}} ^ {3} = {\ frac {G (M + m)} {\ omega _ {\ varphi} ^ {2}}}}$

donde ω _φ es la velocidad angular orbital de la partícula, se obtiene en mecánica no relativista estableciendo la fuerza centrífuga igual a la fuerza gravitacional newtoniana:

${\ Displaystyle {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} = \ mu \ omega _ {\ varphi} ^ {2} r}$

¿Dónde está la masa reducida ? ${\ Displaystyle \ mu}$

En nuestra notación, la velocidad angular orbital clásica es igual a

${\ Displaystyle \ omega _ {\ varphi} ^ {2} \ approx {\ frac {GM} {r _ {\ mathrm {exterior}} ^ {3}}} = \ left ({\ frac {r_ {s} c ^ {2}} {2r _ {\ mathrm {exterior}} ^ {3}}} \ right) = \ left ({\ frac {r_ {s} c ^ {2}} {2}} \ right) \ left ({\ frac {r_ {s} ^ {3}} {8a ^ {6}}} \ right) = {\ frac {c ^ {2} r_ {s} ^ {4}} {16a ^ {6} }}}$

En el otro extremo, cuando a ^{2 se} acerca a 3 r _s ² desde arriba, los dos radios convergen en un solo valor

${\ Displaystyle r _ {\ mathrm {externo}} \ approx r _ {\ mathrm {interno}} \ approx 3r_ {s}}$

Las soluciones cuadráticas anteriores aseguran que r _exterior sea ​​siempre mayor que 3 r _s , mientras que r _{interior se} encuentre entre 3 ⁄ 2  r _sy 3 r _s . No son posibles órbitas circulares menores de 3 ⁄ 2  r _s . Para partículas sin masa, a va al infinito, lo que implica que hay una órbita circular para los fotones en r _interno = 3 ⁄ 2  r _s . La esfera de este radio a veces se conoce como esfera de fotones .

Precesión de órbitas elípticas

En el problema de Kepler no relativista , una partícula sigue eternamente la misma elipse perfecta (órbita roja). La relatividad general introduce una tercera fuerza que atrae a la partícula con un poco más de fuerza que la gravedad newtoniana, especialmente en radios pequeños. Esta tercera fuerza hace que la órbita elíptica de la partícula precese (órbita cian) en la dirección de su rotación; este efecto se ha medido en Mercurio , Venus y la Tierra. El punto amarillo dentro de las órbitas representa el centro de atracción, como el Sol .

La tasa de precesión orbital se puede derivar usando este radial potencial efectivo V . Una pequeña desviación radial de una órbita circular de radio r _exterior oscilará de manera estable con una frecuencia angular

${\ Displaystyle \ omega _ {r} ^ {2} = {\ frac {1} {m}} \ left [{\ frac {d ^ {2} V} {dr ^ {2}}} \ right] _ {r = r _ {\ mathrm {exterior}}}}$

que es igual

${\ Displaystyle \ omega _ {r} ^ {2} = \ left ({\ frac {c ^ {2} r_ {s}} {2r _ {\ mathrm {exterior}} ^ {4}}} \ right) \ izquierda (r _ {\ mathrm {exterior}} -r _ {\ mathrm {interior}} \ derecha) = \ omega _ {\ varphi} ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {3r_ {s} ^ { 2}} {a ^ {2}}}}}}$

Sacar la raíz cuadrada de ambos lados y expandir usando el teorema del binomio da como resultado la fórmula

${\ Displaystyle \ omega _ {r} = \ omega _ {\ varphi} \ left (1 - {\ frac {3r_ {s} ^ {2}} {4a ^ {2}}} + \ cdots \ right)}$

Multiplicar por el período T de una revolución da la precesión de la órbita por revolución

${\ Displaystyle \ delta \ varphi = T (\ omega _ {\ varphi} - \ omega _ {r}) \ approx 2 \ pi \ left ({\ frac {3r_ {s} ^ {2}} {4a ^ { 2}}} \ right) = {\ frac {3 \ pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}}} r_ {s} ^ {2}}$

donde hemos utilizado ω _φ T = 2 π y la definición de la escala de tallas a . Sustituyendo la definición del radio de Schwarzschild r _{s se} obtiene

${\ Displaystyle \ delta \ varphi \ approx {\ frac {3 \ pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}}} \ left ({\ frac {4G ^ {2} M ^ { 2}} {c ^ {4}}} \ right) = {\ frac {6 \ pi G ^ {2} M ^ {2} m ^ {2}} {c ^ {2} L ^ {2}} }}$

Esto se puede simplificar usando el semi-eje mayor A de la órbita elíptica y la excentricidad e relacionada por la fórmula

${\ Displaystyle {\ frac {h ^ {2}} {G (M + m)}} = A (1-e ^ {2})}$

para dar el ángulo de precesión

${\ Displaystyle \ delta \ varphi \ approx {\ frac {6 \ pi G (M + m)} {c ^ {2} A (1-e ^ {2})}}}$

Dado que la órbita clásica cerrada es una elipse en general, la cantidad A (1 - e ² ) es el recto semilato l de la elipse.

Por tanto, la fórmula final de la precesión absidal angular para una revolución unitaria completa es

${\ Displaystyle \ delta \ varphi \ approx {\ frac {6 \ pi G (M + m)} {c ^ {2} l}}}$

Más allá de la solución de Schwarzschild

Diagrama del espacio de parámetros de binarios compactos con los distintos esquemas de aproximación y sus regiones de validez.

Expansión post-newtoniana

En la solución de Schwarzschild, se supone que la masa más grande M es estacionaria y solo ella determina el campo gravitacional (es decir, la geometría del espacio-tiempo) y, por lo tanto, la masa menor m sigue una trayectoria geodésica a través de ese espacio-tiempo fijo. . Esta es una aproximación razonable para los fotones y la órbita de Mercurio, que es aproximadamente 6 millones de veces más ligera que el Sol. Sin embargo, es inadecuado para estrellas binarias , en las que las masas pueden ser de magnitud similar.

La métrica para el caso de dos masas comparables no se puede resolver en forma cerrada y por tanto hay que recurrir a técnicas de aproximación como la aproximación post-Newtoniana o aproximaciones numéricas. De paso, mencionamos una excepción particular en dimensiones inferiores (ver modelo R  =  T para más detalles). En las dimensiones (1 + 1), es decir, un espacio formado por una dimensión espacial y una dimensión temporal, la métrica para dos cuerpos de masas iguales se puede resolver analíticamente en términos de la función W de Lambert . Sin embargo, la energía gravitacional entre los dos cuerpos se intercambia a través de dilatons en lugar de gravitones que requieren tres espacios en los que propagarse.

La expansión post-newtoniana es un método de cálculo que proporciona una serie de soluciones cada vez más precisas a un problema dado. El método es iterativo; se utiliza una solución inicial para los movimientos de partículas para calcular los campos gravitacionales; a partir de estos campos derivados, se pueden calcular nuevos movimientos de partículas, a partir de los cuales se pueden calcular estimaciones aún más precisas de los campos, etc. Este enfoque se denomina "post-newtoniano" porque la solución newtoniana para las órbitas de las partículas se utiliza a menudo como solución inicial.

Cuando este método se aplica al problema de los dos cuerpos sin restricción en sus masas, el resultado es notablemente simple. En el orden más bajo, el movimiento relativo de las dos partículas es equivalente al movimiento de una partícula infinitesimal en el campo de sus masas combinadas. En otras palabras, se puede aplicar la solución de Schwarzschild, siempre que se utilice M + m en lugar de M en las fórmulas para el radio de Schwarzschild r _sy el ángulo de precesión por revolución δφ.

Enfoques computacionales modernos

Las ecuaciones de Einstein también se pueden resolver en una computadora utilizando sofisticados métodos numéricos. Con suficiente potencia informática, tales soluciones pueden ser más precisas que las soluciones post-Newtonianas. Sin embargo, tales cálculos son exigentes porque las ecuaciones generalmente deben resolverse en un espacio de cuatro dimensiones. Sin embargo, a partir de finales de la década de 1990, fue posible resolver problemas difíciles como la fusión de dos agujeros negros, que es una versión muy difícil del problema de Kepler en la relatividad general.

Radiación gravitacional

Si no hay radiación gravitacional entrante, según la relatividad general , dos cuerpos que orbitan entre sí emitirán radiación gravitacional , haciendo que las órbitas pierdan energía gradualmente.

Se han calculado las fórmulas que describen la pérdida de energía y momento angular debido a la radiación gravitacional de los dos cuerpos del problema de Kepler. La tasa de pérdida de energía (promediada sobre una órbita completa) viene dada por

${\ Displaystyle - \ left \ langle {\ frac {dE} {dt}} \ right \ rangle = {\ frac {32G ^ {4} m_ {1} ^ {2} m_ {2} ^ {2} (m_ {1} + m_ {2})} {5c ^ {5} a ^ {5} (1-e ^ {2}) ^ {7/2}}} \ left (1 + {\ frac {73} { 24}} e ^ {2} + {\ frac {37} {96}} e ^ {4} \ right)}$

donde e es la excentricidad orbital y a es el semieje mayor de la órbita elíptica . Los corchetes angulares en el lado izquierdo de la ecuación representan el promedio sobre una sola órbita. De manera similar, la tasa promedio de pérdida de momento angular es igual a

${\ Displaystyle - \ left \ langle {\ frac {dL_ {z}} {dt}} \ right \ rangle = {\ frac {32G ^ {7/2} m_ {1} ^ {2} m_ {2} ^ {2} {\ sqrt {m_ {1} + m_ {2}}}} {5c ^ {5} a ^ {7/2} (1-e ^ {2}) ^ {2}}} \ left ( 1 + {\ frac {7} {8}} e ^ {2} \ right)}$

La tasa de disminución del período viene dada por

${\ Displaystyle - \ left \ langle {\ frac {dP_ {b}} {dt}} \ right \ rangle = {\ frac {192 \ pi G ^ {5/3} m_ {1} m_ {2} (m_ {1} + m_ {2}) ^ {- 1/3}} {5c ^ {5} (1-e ^ {2}) ^ {7/2}}} \ left (1 + {\ frac {73 } {24}} e ^ {2} + {\ frac {37} {96}} e ^ {4} \ right) \ left ({\ frac {P_ {b}} {2 \ pi}} \ right) ^ {- {5/3}}}$

donde P _b es el período orbital.

Las pérdidas de energía y momento angular aumentan significativamente a medida que la excentricidad se acerca a uno, es decir, a medida que la elipse de la órbita se alarga cada vez más. Las pérdidas por radiación también aumentan significativamente al disminuir el tamaño a de la órbita.

• 

  Las disminuciones observadas experimentalmente del período orbital del púlsar binario PSR B1913 + 16 (puntos azules) coinciden casi exactamente con las predicciones de la relatividad general (curva negra).

• 

  Dos estrellas de neutrones que giran rápidamente una alrededor de la otra pierden energía gradualmente al emitir radiación gravitacional. A medida que pierden energía, se orbitan entre sí de forma más rápida y cercana entre sí.

Ver también

• Ecuación de Binet
• Centro de masa (relativista)
• Problema gravitacional de dos cuerpos
• Problema de Kepler
• Teorema de Newton de las órbitas giratorias
• Geodésicas de Schwarzschild

Notas

Referencias

Bibliografía

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enlaces externos

• Animación que muestra la precesión relativista de estrellas alrededor del agujero negro supermasivo de la Vía Láctea
• Extracto de Reflexiones sobre la relatividad de Kevin Brown.