Momento apropiado - Proper time

En relatividad , el tiempo adecuado (del latín, que significa tiempo propio ) a lo largo de una línea temporal del mundo se define como el tiempo medido por un reloj que sigue esa línea. Por tanto, es independiente de las coordenadas y es un escalar de Lorentz . El intervalo de tiempo adecuado entre dos eventos en una línea mundial es el cambio en el tiempo adecuado. Este intervalo es la cantidad de interés, ya que el tiempo propio se fija solo hasta una constante aditiva arbitraria, es decir, el ajuste del reloj en algún evento a lo largo de la línea mundial.

El intervalo de tiempo adecuado entre dos eventos depende no solo de los eventos, sino también de la línea del mundo que los conecta y, por lo tanto, del movimiento del reloj entre los eventos. Se expresa como una integral sobre la línea del mundo (análoga a la longitud del arco en el espacio euclidiano ). Un reloj acelerado medirá un tiempo transcurrido menor entre dos eventos que el medido por un reloj no acelerado ( inercial ) entre los mismos dos eventos. La paradoja de los gemelos es un ejemplo de este efecto.

La línea vertical azul oscuro representa un observador inercial que mide un intervalo de tiempo de coordenadas t entre los eventos E ₁ y E ₂ . La curva roja representa un reloj que mide su intervalo de tiempo adecuado τ entre los mismos dos eventos.

Por convención, el tiempo adecuado generalmente se representa con la letra griega τ ( tau ) para distinguirlo del tiempo coordinado representado por t . El tiempo coordinado es el tiempo entre dos eventos medido por un observador utilizando el propio método de ese observador para asignar un tiempo a un evento. En el caso especial de un observador inercial en relatividad especial , el tiempo se mide utilizando el reloj del observador y la definición de simultaneidad del observador.

El concepto de tiempo adecuado fue introducido por Hermann Minkowski en 1908 y es una característica importante de los diagramas de Minkowski .

Formalismo matemático

La definición formal de tiempo adecuado implica describir el camino a través del espacio-tiempo que representa un reloj, un observador o una partícula de prueba, y la estructura métrica de ese espacio-tiempo. El tiempo adecuado es la longitud del arco pseudo-Riemanniano de las líneas del mundo en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Desde el punto de vista matemático, se supone que el tiempo de coordenadas está predefinido y se requiere una expresión para el tiempo adecuado en función del tiempo de coordenadas. Por otro lado, el tiempo adecuado se mide experimentalmente y el tiempo coordinado se calcula a partir del tiempo adecuado de los relojes inerciales.

El tiempo adecuado solo puede definirse para trayectos temporales a través del espacio-tiempo que permitan la construcción de un conjunto de reglas y relojes físicos que lo acompañen. El mismo formalismo para trayectos espaciales conduce a una medición de la distancia adecuada en lugar del tiempo adecuado. Para trayectos parecidos a la luz, no existe un concepto de tiempo adecuado y no está definido ya que el intervalo de espacio-tiempo es cero. En su lugar, debe introducirse un parámetro afín arbitrario y físicamente irrelevante que no esté relacionado con el tiempo.

En relatividad especial

La métrica de Minkowski está definida por

{\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}},}

y las coordenadas por

{\ Displaystyle (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (ct, x, y, z)}

para tramas de Lorentz arbitrarias.

En cualquier marco de este tipo, un intervalo infinitesimal, aquí asumido como temporal , entre dos eventos se expresa como

{\ Displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = \ eta _ {\ mu \ nu} dx ^ { \ mu} dx ^ {\ nu},}

(1)

y separa puntos en la trayectoria de una partícula (piense en el reloj). El mismo intervalo se puede expresar en coordenadas de modo que en cada momento la partícula esté en reposo . Tal marco se llama un marco de reposo instantáneo, denotado aquí por las coordenadas para cada instante. Debido a la invariancia del intervalo (los fotogramas de reposo instantáneos tomados en diferentes momentos están relacionados por transformaciones de Lorentz) se puede escribir ${\ Displaystyle (c \ tau, x _ {\ tau}, y _ {\ tau}, z _ {\ tau})}$

{\ Displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} d \ tau ^ {2} -dx _ {\ tau} ^ {2} -dy _ {\ tau} ^ {2} -dz _ {\ tau} ^ {2 } = c ^ {2} d \ tau ^ {2},}

ya que en el sistema en reposo instantáneo, la partícula o el propio marco está en reposo, es decir, . Dado que se supone que el intervalo es similar al tiempo (es decir ), sacar la raíz cuadrada de los resultados anteriores

{\ Displaystyle dx _ {\ tau} = dy _ {\ tau} = dz _ {\ tau} = 0}

{\ displaystyle ds ^ {2}> 0}

{\ Displaystyle ds = cd \ tau,}

o

{\ Displaystyle d \ tau = {\ frac {ds} {c}}.}

Dada esta expresión diferencial para

τ

, el intervalo de tiempo adecuado se define como

${\ Displaystyle \ Delta \ tau = \ int _ {P} d \ tau = \ int {\ frac {ds} {c}}.}$ (2)

Aquí $P$ es la línea del mundo desde algún evento inicial hasta algún evento final con el orden de los eventos fijado por el requisito de que el evento final ocurra más tarde según el reloj que el evento inicial.

Usando (1) y nuevamente la invariancia del intervalo, se puede escribir

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta \ tau & = \ int _ {P} {\ frac {1} {c}} {\ sqrt {\ eta _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}} \\ & = \ int _ {P} {\ sqrt {dt ^ {2} - {dx ^ {2} \ over c ^ {2}} - {dy ^ {2} \ sobre c ^ {2}} - {dz ^ {2} \ sobre c ^ {2}}}} \\ & = \ int {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left [\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dz} {dt}} \ right) ^ {2} \ right]}} dt \\ & = \ int {\ sqrt {1 - {\ frac {v (t) ^ {2}} {c ^ { 2}}}}} dt = \ int {\ frac {dt} {\ gamma (t)}}, \ end {alineado}}}$ (3)

donde $v (t)$ es la velocidad de coordenadas en la coordenada de tiempo $t$ , y $x (t)$ , $y (t)$ , y $z (t)$ son las coordenadas espaciales. La primera expresión es manifiestamente invariante de Lorentz. Todos son invariantes de Lorentz, ya que el tiempo adecuado y los intervalos de tiempo adecuados son independientes de las coordenadas por definición.

Si $t, x, y, z$ , están parametrizados por un parámetro $λ$ , esto se puede escribir como

{\ Displaystyle \ Delta \ tau = \ int {\ sqrt {\ left ({\ frac {dt} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}} } \ left [\ left ({\ frac {dx} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dz} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} \ right]}} \, d \ lambda.}

Si el movimiento de la partícula es constante, la expresión se simplifica a

{\ Displaystyle \ Delta \ tau = {\ sqrt {\ left (\ Delta t \ right) ^ {2} - {\ frac {\ left (\ Delta x \ right) ^ {2}} {c ^ {2} }} - {\ frac {\ left (\ Delta y \ right) ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {\ left (\ Delta z \ right) ^ {2}} {c ^ {2}}}}},}

donde Δ significa el cambio de coordenadas entre los eventos inicial y final. La definición en relatividad especial se generaliza directamente a la relatividad general como sigue a continuación.

En relatividad general

El tiempo adecuado se define en la relatividad general de la siguiente manera: Dada una variedad pseudo-Riemanniana con coordenadas locales $x μ$ y equipada con un tensor métrico $g μν$ , el intervalo de tiempo adecuado $Δ τ$ entre dos eventos a lo largo de una trayectoria temporal $P$ viene dado por la línea integral

{\ Displaystyle \ Delta \ tau = \ int _ {P} \, d \ tau = \ int _ {P} {\ frac {1} {c}} {\ sqrt {g _ {\ mu \ nu} \; dx ^ {\ mu} \; dx ^ {\ nu}}}.}

(4)

Esta expresión es, como debería ser, invariante bajo cambios de coordenadas. Se reduce (en coordenadas apropiadas) a la expresión de la relatividad especial en el espacio-tiempo plano .

De la misma manera que se pueden elegir coordenadas tales que $x 1, x 2, x 3 = constante$ en relatividad especial, esto también se puede hacer en relatividad general. Entonces, en estas coordenadas,

{\ Displaystyle \ Delta \ tau = \ int _ {P} d \ tau = \ int _ {P} {\ frac {1} {c}} {\ sqrt {g_ {00}}} dx ^ {0}. }

Esta expresión generaliza la definición (2) y puede tomarse como definición. Luego, usando la invariancia del intervalo, la ecuación (4) se sigue de la misma manera que (3) se sigue de (2) , excepto que aquí se permiten cambios arbitrarios de coordenadas.

Ejemplos en relatividad especial

Ejemplo 1: La "paradoja" gemela

Para un escenario de paradoja gemela , supongamos que hay un observador A que se mueve entre las coordenadas A (0,0,0,0) y (10 años, 0, 0, 0) inercialmente. Esto significa que A estancias en durante 10 años de un tiempo de coordenada. El intervalo de tiempo adecuado para A entre los dos eventos es entonces ${\ Displaystyle x = y = z = 0}$

{\ Displaystyle \ Delta \ tau _ {A} = {\ sqrt {(10 {\ text {años}}) ^ {2}}} = 10 {\ text {años}}.}

Entonces, estar "en reposo" en un sistema de coordenadas de relatividad especial significa que el tiempo apropiado y el tiempo de coordenadas son los mismos.

Sea ahora otro observador B que viaje en la dirección x desde (0,0,0,0) durante 5 años de tiempo coordenado A a 0.866 ca (5 años, 4.33 años luz, 0, 0). Una vez allí, B acelera y viaja en la otra dirección espacial durante otros 5 años de tiempo coordinado A (10 años, 0, 0, 0). Para cada tramo del viaje, el intervalo de tiempo adecuado se puede calcular utilizando las coordenadas A , y viene dado por

{\ Displaystyle \ Delta \ tau _ {leg} = {\ sqrt {({\ text {5 años}}) ^ {2} - ({\ text {4.33 años}}) ^ {2}}} = {\ sqrt {6.25 \; \ mathrm {años} ^ {2}}} = {\ text {2.5 años}}.}

Entonces, el tiempo total apropiado para que el observador B pase de (0,0,0,0) a (5 años, 4,33 años luz, 0, 0) y luego a (10 años, 0, 0, 0) es

{\ Displaystyle \ Delta \ tau _ {B} = 2 \ Delta \ tau _ {leg} = {\ text {5 años}}.}

Por tanto, se muestra que la ecuación de tiempo adecuada incorpora el efecto de dilatación del tiempo. De hecho, para un objeto en un espacio-tiempo SR (relatividad especial) que viaja con una velocidad de v durante un tiempo , el intervalo de tiempo adecuado experimentado es ${\ Displaystyle \ Delta T}$

{\ Displaystyle \ Delta \ tau = {\ sqrt {\ Delta T ^ {2} - \ left ({\ frac {v_ {x} \ Delta T} {c}} \ right) ^ {2} - \ left ( {\ frac {v_ {y} \ Delta T} {c}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {v_ {z} \ Delta T} {c}} \ right) ^ {2} }} = \ Delta T {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}},}

que es la fórmula de dilatación del tiempo SR.

Ejemplo 2: el disco giratorio

Un observador que gira alrededor de otro observador inercial se encuentra en un marco de referencia acelerado. Para tal observador, se necesita la forma incremental ( ) de la ecuación de tiempo adecuada, junto con una descripción parametrizada de la ruta que se está tomando, como se muestra a continuación. ${\ Displaystyle d \ tau}$

Supongamos que hay un observador C en un disco que gira en el plano xy a una velocidad angular coordinada de y que está a una distancia r del centro del disco con el centro del disco en $x$ $=$ $y$ $=$ $z$ $= 0$ . La trayectoria del observador C viene dada por , donde es la coordenada de tiempo actual. Cuando r y son constantes y . La fórmula del tiempo apropiado incremental se convierte en ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle (T, \, r \ cos (\ omega T), \, r \ sin (\ omega T), \, 0)}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle dx = -r \ omega \ sin (\ omega T) \, dT}$ ${\ Displaystyle dy = r \ omega \ cos (\ omega T) \, dT}$

{\ Displaystyle d \ tau = {\ sqrt {dT ^ {2} - \ left ({\ frac {r \ omega} {c}} \ right) ^ {2} \ sin ^ {2} (\ omega T) \; dT ^ {2} - \ left ({\ frac {r \ omega} {c}} \ right) ^ {2} \ cos ^ {2} (\ omega T) \; dT ^ {2}}} = dT {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {r \ omega} {c}} \ right) ^ {2}}}.}

Entonces, para un observador que gira a una distancia constante de r desde un punto dado en el espacio-tiempo a una tasa angular constante de ω entre los tiempos de coordenadas y , el tiempo apropiado experimentado será ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle T_ {2}}$

{\ Displaystyle \ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} d \ tau = (T_ {2} -T_ {1}) {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {r \ omega } {c}} \ right) ^ {2}}} = \ Delta T {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}},}

como

v = rω

para un observador rotatorio. Este resultado es el mismo que para el ejemplo de movimiento lineal y muestra la aplicación general de la forma integral de la fórmula del tiempo adecuado.

Ejemplos en relatividad general

La diferencia entre SR y la relatividad general (GR) es que en GR uno puede usar cualquier métrica que sea una solución de las ecuaciones de campo de Einstein , no solo la métrica de Minkowski. Debido a que el movimiento inercial en los espaciotiempos curvos carece de la expresión simple que tiene en SR, siempre se debe usar la forma integral de línea de la ecuación de tiempo adecuada.

Ejemplo 3: El disco giratorio (nuevamente)

Una conversión de coordenadas apropiada realizada contra la métrica de Minkowski crea coordenadas donde un objeto en un disco giratorio permanece en la misma posición de coordenadas espaciales. Las nuevas coordenadas son

{\ Displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

y

{\ Displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) - \ omega t.}

Las coordenadas t y z permanecen sin cambios. En este nuevo sistema de coordenadas, la ecuación de tiempo propio incremental es

{\ Displaystyle d \ tau = {\ sqrt {\ left [1- \ left ({\ frac {r \ omega} {c}} \ right) ^ {2} \ right] dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {r ^ {2} \, d \ theta ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {dz ^ {2}} {c ^ {2}}} - 2 {\ frac {r ^ {2} \ omega \, dt \, d \ theta} {c ^ {2}}}}}.}

Con r , θ , y z ser constante en el tiempo, esto simplifica a

{\ Displaystyle d \ tau = dt {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {r \ omega} {c}} \ right) ^ {2}}},}

que es lo mismo que en el Ejemplo 2.

Ahora deje que haya un objeto fuera del disco giratorio y en reposo inercial con respecto al centro del disco y a una distancia R de él. Este objeto tiene un movimiento de coordenadas descrito por $dθ = - ω dt$ , que describe el objeto inercialmente en reposo de contrarrotación en la vista del observador en rotación. Ahora la ecuación de tiempo adecuada se convierte en

{\ Displaystyle d \ tau = {\ sqrt {\ left [1- \ left ({\ frac {R \ omega} {c}} \ right) ^ {2} \ right] dt ^ {2} - \ left ( {\ frac {R \ omega} {c}} \ right) ^ {2} \, dt ^ {2} +2 \ left ({\ frac {R \ omega} {c}} \ right) ^ {2} \, dt ^ {2}}} = dt.}

Entonces, para el observador inercial en reposo, el tiempo coordinado y el tiempo adecuado pasan una vez más al mismo ritmo, como se esperaba y requería para la autoconsistencia interna de la teoría de la relatividad.

Ejemplo 4: La solución de Schwarzschild: tiempo en la Tierra

La solución de Schwarzschild tiene una ecuación de tiempo propio incremental de

{\ Displaystyle d \ tau = {\ sqrt {\ left (1 - {\ frac {2m} {r}} \ right) dt ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ izquierda (1 - {\ frac {2m} {r}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} - {\ frac {r ^ {2}} {c ^ {2}}} d \ phi ^ {2} - {\ frac {r ^ {2}} {c ^ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi) \, d \ theta ^ {2}}},}

dónde

t es el tiempo calibrado con un reloj distante y en reposo inercial con respecto a la Tierra,
r es una coordenada radial (que es efectivamente la distancia desde el centro de la Tierra),
ɸ es una coordenada co-latitudinal, la separación angular del polo norte en radianes .
θ es una coordenada longitudinal, análoga a la longitud en la superficie de la Tierra pero independiente de la rotación de la Tierra . Esto también se expresa en radianes.
m es la masa geometrizada de la Tierra, m = GM / c ² ,
- M es la masa de la Tierra,
- G es la constante gravitacional .

Para demostrar el uso de la relación de tiempo adecuada, aquí se utilizarán varios subejemplos que involucran a la Tierra.

Para la Tierra , $M = 5.9742 \times 1024 kg$ , lo que significa que $m = 4,4354 \times 10 -3 m$ . Cuando nos paramos en el polo norte, podemos asumir(lo que significa que no nos estamos moviendo ni hacia arriba ni hacia abajo ni a lo largo de la superficie de la Tierra). En este caso, la ecuación de tiempo propia de la solución de Schwarzschild se convierte en. Luego, usando el radio polar de la Tierra como coordenada radial (o), encontramos que ${\ displaystyle dr = d \ theta = d \ phi = 0}$ ${\ textstyle d \ tau = dt \, {\ sqrt {1-2m / r}}}$ ${\ displaystyle r = {\ text {6.356.752 metros}}}$

{\ Displaystyle d \ tau = {\ sqrt {\ left (1-1.3908 \ times 10 ^ {- 9} \ right) \; dt ^ {2}}} = \ left (1-6.9540 \ times 10 ^ {- 10} \ derecha) \, dt.}

En el ecuador , el radio de la Tierra es $r = 6378137 m$ . Además, se debe tener en cuenta la rotación de la Tierra. Esto imparte a un observador una velocidad angularde 2 π dividido por el período sidéreo de la rotación de la Tierra, 86162,4 segundos. Entonces. La ecuación de tiempo adecuada produce ${\ Displaystyle d \ theta / dt}$ ${\ Displaystyle d \ theta = 7.2923 \ times 10 ^ {- 5} \, dt}$

{\ Displaystyle d \ tau = {\ sqrt {\ left (1-1,3908 \ times 10 ^ {- 9} \ right) dt ^ {2} -2,4069 \ times 10 ^ {- 12} \, dt ^ {2} }} = \ left (1-6.9660 \ times 10 ^ {- 10} \ right) \, dt.}

Desde un punto de vista no relativista, esto debería haber sido el mismo que el resultado anterior. Este ejemplo demuestra cómo se usa la ecuación de tiempo adecuada, a pesar de que la Tierra gira y, por lo tanto, no es esféricamente simétrica como se supone en la solución de Schwarzschild. Para describir los efectos de la rotación con mayor precisión, se puede utilizar la métrica de Kerr .

Ver también

Notas al pie

Referencias

Cook, RJ (2004). "Tiempo físico y espacio físico en la relatividad general" . Soy. J. Phys . 72 (2): 214–219. Código bibliográfico : 2004AmJPh..72..214C . doi : 10.1119 / 1.1607338 . ISSN 0002-9505 .
Foster, J .; Nightingale, JD (1978). Un curso corto de relatividad general . Essex: Longman Scientific and Technical . ISBN 0-582-44194-3.
Kleppner, D .; Kolenkow, RJ (1978). Introducción a la mecánica . McGraw – Hill . ISBN 0-07-035048-5.
Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011). Mecánica celeste relativista del sistema solar . John Wiley e hijos. ISBN 978-3-527-40856-6.
Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). La teoría clásica de campos . Curso de física teórica. 2 (4ª ed.). Oxford: Butterworth-Heinemann . ISBN 0-7506-2768-9.
Lawden, Derek F. (2012). Introducción al cálculo tensorial: relatividad y cosmología . Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-13214-3.
Lovelock, David ; Rund, Hanno (1989), Tensores, formas diferenciales y principios de variación , Nueva York: Publicaciones de Dover , ISBN 0-486-65840-6
Minkowski, Hermann (1908), "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge en bewegten Körpern" , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften Königlichen und der Georg-August-Universität zu Göttingen , Göttingen, Archivado desde el original en 2012-07-08
Poisson, Eric (2004), Kit de herramientas de un relativista: Las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros , Cambridge University Press , ISBN 978-0521537803
Weinberg, Steven (1972), Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5
Zwiebach, Barton (2004). Un primer curso en teoría de cuerdas (primera ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-83143-1.

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