Hipótesis del continuo - Continuum hypothesis

En matemáticas , la hipótesis del continuo (abreviado CH ) es una hipótesis sobre los posibles tamaños de conjuntos infinitos . Afirma:

No existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los enteros y la de los números reales .

En la teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), esto es equivalente a la siguiente ecuación en aleph números : . ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}}$

La hipótesis del continuo fue propuesta por Georg Cantor en 1878, y establecer su verdad o falsedad es el primero de los 23 problemas de Hilbert presentados en 1900. La respuesta a este problema es independiente de ZFC, por lo que se puede agregar la hipótesis del continuo o su negación. como un axioma de la teoría de conjuntos ZFC, con la teoría resultante siendo consistente si y solo si ZFC es consistente. Esta independencia fue probada en 1963 por Paul Cohen , complementando el trabajo anterior de Kurt Gödel en 1940.

El nombre de la hipótesis proviene del término el continuo para los números reales.

Historia

Cantor creía que la hipótesis del continuo era cierta y durante muchos años intentó en vano probarla. Se convirtió en la primera en la lista de importantes cuestiones abiertas de David Hilbert que se presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos en el año 1900 en París. La teoría de conjuntos axiomáticos todavía no estaba formulada. Kurt Gödel demostró en 1940 que la negación de la hipótesis del continuo, es decir, la existencia de un conjunto con cardinalidad intermedia, no podía demostrarse en la teoría de conjuntos estándar. La segunda mitad de la hipótesis de la independencia del continuo, es decir, la imposibilidad de demostrar la inexistencia de un conjunto de tamaño intermedio, fue probada en 1963 por Paul Cohen .

Cardinalidad de conjuntos infinitos

Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad o número cardinal si existe una biyección (una correspondencia uno a uno) entre ellos. Intuitivamente, que dos conjuntos S y T tengan la misma cardinalidad significa que es posible "emparejar" elementos de S con elementos de T de tal manera que cada elemento de S esté emparejado con exactamente un elemento de T y viceversa. al revés. Por tanto, el conjunto {banana, apple, pear} tiene la misma cardinalidad que {yellow, red, green}.

Con conjuntos infinitos como el conjunto de enteros o números racionales , la existencia de una biyección entre dos conjuntos se vuelve más difícil de demostrar. Los números racionales aparentemente forman un contraejemplo de la hipótesis del continuo: los números enteros forman un subconjunto adecuado de los racionales, que a su vez forman un subconjunto adecuado de los reales, por lo que, intuitivamente, hay más números racionales que enteros y más números reales que números racionales. Sin embargo, este análisis intuitivo es defectuoso; no tiene debidamente en cuenta el hecho de que los tres conjuntos son infinitos . Resulta que los números racionales se pueden colocar en correspondencia uno a uno con los números enteros y, por lo tanto, el conjunto de números racionales tiene el mismo tamaño ( cardinalidad ) que el conjunto de números enteros: ambos son conjuntos contables .

Cantor dio dos pruebas de que la cardinalidad del conjunto de números enteros es estrictamente menor que la del conjunto de números reales (ver la primera prueba de incontables de Cantor y el argumento diagonal de Cantor ). Sin embargo, sus demostraciones no dan ninguna indicación de hasta qué punto la cardinalidad de los números enteros es menor que la de los números reales. Cantor propuso la hipótesis del continuo como una posible solución a esta cuestión.

La hipótesis del continuo establece que el conjunto de números reales tiene una cardinalidad mínima posible que es mayor que la cardinalidad del conjunto de números enteros. Es decir, cada conjunto, S , de los números reales o bien se puede asignar uno a uno en los enteros o los números reales se pueden asignar uno-a-uno en S . Como los números reales son equinumeros con el conjunto de potencias de los enteros, y la hipótesis del continuo dice que no hay un conjunto para el cual . ${\ Displaystyle | \ mathbb {R} | = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ aleph _ {0} <| S | <2 ^ {\ aleph _ {0}}}$

Suponiendo el axioma de elección , hay un número cardinal más pequeño mayor que , y la hipótesis del continuo es a su vez equivalente a la igualdad . ${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}}$

Independencia de ZFC

La independencia de la hipótesis del continuo (CH) de la teoría de conjuntos (ZF ) de Zermelo-Fraenkel se deriva del trabajo combinado de Kurt Gödel y Paul Cohen .

Gödel demostró que CH no se puede refutar de ZF, incluso si se adopta el axioma de elección (AC) (haciendo ZFC). La prueba de Gödel muestra que CH y AC se mantienen en el universo construible L, un modelo interno de la teoría de conjuntos ZF, asumiendo solo los axiomas de ZF. La existencia de un modelo interno de ZF en el que se mantienen axiomas adicionales muestra que los axiomas adicionales son consistentes con ZF, siempre que la propia ZF sea consistente. La última condición no se puede probar en ZF en sí, debido a los teoremas de incompletitud de Gödel , pero se cree ampliamente que es cierta y se puede probar en teorías de conjuntos más fuertes.

Cohen demostró que CH no se puede probar a partir de los axiomas de ZFC, completando la prueba de independencia general. Para probar su resultado, Cohen desarrolló el método de forzamiento , que se ha convertido en una herramienta estándar en la teoría de conjuntos. Esencialmente, este método comienza con un modelo de ZF en el que CH se mantiene, y construye otro modelo que contiene más conjuntos que el original, de una manera que CH no se mantiene en el nuevo modelo. Cohen fue galardonado con la Medalla Fields en 1966 por su prueba.

La prueba de independencia que se acaba de describir muestra que CH es independiente de ZFC. Investigaciones posteriores han demostrado que CH es independiente de todos los grandes axiomas cardinales conocidos en el contexto de ZFC. Además, se ha demostrado que la cardinalidad del continuo puede ser cualquier cardinal consistente con el teorema de König . Un resultado de Solovay, probado poco después del resultado de Cohen sobre la hipótesis de la independencia del continuo, muestra que en cualquier modelo de ZFC, si es un cardinal de cofinalidad incontable , entonces hay una extensión forzada en la que . Sin embargo, por el teorema de König, no es coherente suponer es o o cualquier cardenal con cofinality . ${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ kappa}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ omega _ {1} + \ omega}}$${\ Displaystyle \ omega}$

La hipótesis del continuo está estrechamente relacionada con muchas afirmaciones en el análisis , la topología de conjuntos de puntos y la teoría de la medida . Como resultado de su independencia, muchas conjeturas sustanciales en esos campos también han demostrado ser independientes.

La independencia de ZFC significa que es imposible probar o refutar el CH dentro de ZFC. Sin embargo, los resultados negativos de Gödel y Cohen no se aceptan universalmente como una eliminación de todo interés en la hipótesis del continuo. El problema de Hilbert sigue siendo un tema activo de investigación; consulte Woodin y Peter Koellner para obtener una descripción general del estado actual de la investigación.

La hipótesis del continuo no fue la primera afirmación que se mostró independiente de ZFC. Una consecuencia inmediata del teorema de incompletitud de Gödel , que se publicó en 1931, es que hay una declaración formal (una para cada esquema de numeración de Gödel apropiado ) que expresa la consistencia de ZFC que es independiente de ZFC, asumiendo que ZFC es consistente. La hipótesis del continuo y el axioma de elección estuvieron entre los primeros enunciados matemáticos que se demostró que eran independientes de la teoría de conjuntos ZF.

Argumentos a favor y en contra de la hipótesis del continuo

Gödel creía que CH es falso, y que su prueba de que CH es consistente con ZFC solo muestra que los axiomas de Zermelo-Fraenkel no caracterizan adecuadamente el universo de conjuntos. Gödel era un platónico y, por lo tanto, no tuvo problemas para afirmar la verdad y la falsedad de las declaraciones independientemente de su demostrabilidad. Cohen, aunque formalista , también tendió a rechazar a CH.

Históricamente, los matemáticos que favorecían un universo de conjuntos "rico" y "grande" estaban en contra de CH, mientras que los que estaban a favor de un universo "ordenado" y "controlable" favorecían a CH. Se hicieron argumentos paralelos a favor y en contra del axioma de constructibilidad , que implica CH. Más recientemente, Matthew Foreman ha señalado que el maximalismo ontológico en realidad puede usarse para argumentar a favor de CH, porque entre los modelos que tienen los mismos reales, los modelos con "más" conjuntos de reales tienen más posibilidades de satisfacer CH.

Otro punto de vista es que la concepción de conjunto no es lo suficientemente específica para determinar si CH es verdadero o falso. Este punto de vista fue propuesto ya en 1923 por Skolem , incluso antes del primer teorema de incompletitud de Gödel. Skolem argumentó sobre la base de lo que ahora se conoce como la paradoja de Skolem , y luego fue respaldada por la independencia de CH de los axiomas de ZFC, ya que estos axiomas son suficientes para establecer las propiedades elementales de conjuntos y cardinalidades. Para argumentar en contra de este punto de vista, bastaría con demostrar nuevos axiomas que se apoyan en la intuición y resuelven CH en una u otra dirección. Aunque el axioma de la constructibilidad resuelve CH, generalmente no se considera que sea intuitivamente verdadero más de lo que CH se considera generalmente falso.

Se han propuesto al menos otros dos axiomas que tienen implicaciones para la hipótesis del continuo, aunque estos axiomas no han encontrado actualmente una amplia aceptación en la comunidad matemática. En 1986, Chris Freiling presentó un argumento en contra de CH mostrando que la negación de CH es equivalente al axioma de simetría de Freiling , un enunciado derivado de la argumentación de intuiciones particulares sobre probabilidades . Freiling cree que este axioma es "intuitivamente cierto", pero otros no están de acuerdo. Un argumento difícil en contra de CH desarrollado por W. Hugh Woodin ha atraído una atención considerable desde el año 2000. Foreman no rechaza el argumento de Woodin rotundamente, pero insta a la cautela.

Solomon Feferman ha argumentado que CH no es un problema matemático definido. Propone una teoría de la "definición" utilizando un subsistema semi-intuicionista de ZF que acepta la lógica clásica para los cuantificadores acotados pero utiliza la lógica intuicionista para los ilimitados, y sugiere que una proposición es matemáticamente "definida" si la teoría semi-intuicionista puede probarlo . Conjetura que CH no es definido de acuerdo con esta noción, y propone que, por tanto, debería considerarse que CH no tiene un valor de verdad. Peter Koellner escribió un comentario crítico sobre el artículo de Feferman. ${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle (\ phi \ lor \ neg \ phi)}$

Joel David Hamkins propone un enfoque de multiverso para la teoría de conjuntos y argumenta que "la hipótesis del continuo se basa en el punto de vista del multiverso por nuestro amplio conocimiento sobre cómo se comporta en el multiverso y, como resultado, ya no puede resolverse de la manera antes esperado ". En una línea relacionada, Saharon Shelah escribió que él "no está de acuerdo con la visión platónica pura de que los problemas interesantes en la teoría de conjuntos pueden resolverse, que solo tenemos que descubrir el axioma adicional. Mi imagen mental es que tenemos muchos conjuntos posibles teorías, todas conforme a ZFC ".

La hipótesis del continuo generalizado

La hipótesis del continuo generalizado (GCH) establece que si la cardinalidad de un conjunto infinito se encuentra entre la de un conjunto infinito S y la del conjunto de potencias de S , entonces tiene la misma cardinalidad que S o . Es decir, para cualquier cardenal infinito no hay cardenal tal que . GCH es equivalente a: ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ lambda <\ kappa <2 ^ {\ lambda}}$

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha +1} = 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}}}$para cada ordinal (ocasionalmente llamado hipótesis aleph de Cantor ).${\ Displaystyle \ alpha}$

Los números beth proporcionan una notación alternativa para esta condición: para cada ordinal . La hipótesis del continuo es el caso especial del ordinal . GCH fue sugerido por primera vez por Philip Jourdain . Para conocer la historia temprana de GCH, consulte Moore. ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha} = \ beth _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha = 1}$

Como CH, GCH también es independiente de ZFC, pero Sierpiński demostró que ZF + GCH implica el axioma de elección (AC) (y por lo tanto la negación del axioma de determinación , AD), por lo que la elección y GCH no son independientes en ZF; no hay modelos de ZF en los que GCH se mantenga y la CA falle. Para probar esto, Sierpiński mostró que GCH implica que cada cardinalidad n es menor que algún número aleph y, por lo tanto, se puede ordenar. Esto se hace mostrando que n es más pequeño que lo que es más pequeño que su propio número de Hartogs ; esto usa la igualdad ; para la prueba completa, vea Gillman. ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0} + n}}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0} + n} \, = \, 2 \ cdot \, 2 ^ {\ aleph _ {0} + n}}$

Kurt Gödel mostró que GCH es una consecuencia de ZF + V = L (el axioma de que todo conjunto es construible en relación con los ordinales) y, por lo tanto, es consistente con ZFC. Como GCH implica CH, el modelo de Cohen en el que CH falla es un modelo en el que GCH falla y, por lo tanto, GCH no se puede demostrar a partir de ZFC. W. B. Easton usó el método de forzamiento desarrollado por Cohen para probar el teorema de Easton , que muestra que es consistente con ZFC que los cardinales arbitrariamente grandes no puedan satisfacer . Mucho más tarde, Foreman y Woodin demostraron que (asumiendo la consistencia de cardenales muy grandes) es consistente lo que vale para cada cardenal infinito . Posteriormente, Woodin amplió esto mostrando la consistencia de for every . Carmi Merimovich mostró que, para cada n  ≥ 1, es consistente con ZFC que para cada κ, 2 ^κ es el n- ésimo sucesor de κ. Por otro lado, László Patai demostró que si γ es un ordinal y para cada κ cardinal infinito, 2 ^κ es el γ-ésimo sucesor de κ, entonces γ es finito. ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {\ alpha +1}}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ kappa}> \ kappa ^ {+}}$${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {++}}$${\ Displaystyle \ kappa}$

Para cualquier conjunto infinito A y B, si hay una inyección de A a B, entonces hay una inyección de subconjuntos de A a subconjuntos de B. Por lo tanto, para cualquier cardinal infinito A y B ,. Si A y B son finitos, se mantiene la desigualdad más fuerte . GCH implica que esta desigualdad estricta y más fuerte se aplica tanto a los cardenales infinitos como a los cardenales finitos. ${\ Displaystyle A <B \ to 2 ^ {A} \ leq 2 ^ {B}}$${\ Displaystyle A <B \ a 2 ^ {A} <2 ^ {B}}$

Implicaciones de GCH para la exponenciación cardinal

Aunque la hipótesis del continuo generalizado se refiere directamente solo a la exponenciación cardinal con 2 como base, se pueden deducir de ella los valores de la exponenciación cardinal en todos los casos. GCH implica que: ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}}}$

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} = \ aleph _ {\ beta +1}}$cuando α ≤ β +1;

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} = \ aleph _ {\ alpha}}$cuando β +1 < α y , donde cf es la operación de cofinalidad ; y${\ Displaystyle \ aleph _ {\ beta} <\ operatorname {cf} (\ aleph _ {\ alpha})}$

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} = \ aleph _ {\ alpha +1}}$cuando β +1 < α y .${\ Displaystyle \ aleph _ {\ beta} \ geq \ operatorname {cf} (\ aleph _ {\ alpha})}$

La primera igualdad (cuando α ≤ β +1) se deriva de:

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} \ leq \ aleph _ {\ beta +1} ^ {\ aleph _ {\ beta}} = (2 ^ {\ aleph _ { \ beta}}) ^ {\ aleph _ {\ beta}} = 2 ^ {\ aleph _ {\ beta} \ cdot \ aleph _ {\ beta}} = 2 ^ {\ aleph _ {\ beta}} = \ aleph _ {\ beta +1}}$ , tiempo:

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ beta +1} = 2 ^ {\ aleph _ {\ beta}} \ leq \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}}}$ ;

La tercera igualdad (cuando β +1 < α y ) se deriva de: ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ beta} \ geq \ operatorname {cf} (\ aleph _ {\ alpha})}$

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} \ geq \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ operatorname {cf} (\ aleph _ {\ alpha})}> \ aleph _ {\ alpha}}$, por el teorema de König , mientras que:

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} \ leq \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ alpha}} \ leq (2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}}) ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha} \ cdot \ aleph _ {\ alpha}} = 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {\ alpha +1}}$

Donde, para cada γ, se usa GCH para igualar y ; se utiliza como equivalente al axioma de elección . ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ gamma}}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ gamma +1}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ gamma} ^ {2} = \ aleph _ {\ gamma}}$

Ver también

• Beth número
• Cardinalidad
• Ω-lógica
• El problema de Wetzel

Referencias

• Maddy, Penelope (junio de 1988). "Creer en los axiomas, [parte I]". Revista de lógica simbólica . Asociación de Lógica Simbólica. 53 (2): 481–511. doi : 10.2307 / 2274520 . JSTOR  2274520 .

Fuentes

• Este artículo incorpora material de la hipótesis del continuo generalizado en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License . Archivado el 8 de febrero de 2017 en la Wayback Machine.

Otras lecturas

• Cohen, Paul Joseph (2008) [1966]. Teoría de conjuntos e hipótesis del continuo . Mineola, Ciudad de Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Dales, HG; Woodin, WH (1987). Introducción a la independencia para analistas . Cambridge.
• Enderton, Herbert (1977). Elementos de la teoría de conjuntos . Prensa académica.
• Gödel, K .: ¿Qué es el problema continuo de Cantor? , reimpreso en la colección de Benacerraf y Putnam Philosophy of Mathematics , 2ª ed., Cambridge University Press, 1983. Un esbozo de los argumentos de Gödel contra CH.
• Martin, D. (1976). "El primer problema de Hilbert: la hipótesis del continuo", en Mathematical Developments Arising from Hilbert's Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, editor. American Mathematical Society, 1976, págs. 81–92. ISBN  0-8218-1428-1
• McGough, Nancy. "La hipótesis del continuo" .
• Wolchover, Natalie. "¿Cuántos números existen? Infinity Proof acerca las matemáticas a una respuesta" .

enlaces externos

• Szudzik, Matthew y Weisstein, Eric W. "Hipótesis del continuo" . MathWorld .