Axioma de constructibilidad - Axiom of constructibility

El axioma de constructibilidad es un axioma posible para la teoría de conjuntos en matemáticas que afirma que todo conjunto es construible . El axioma generalmente se escribe como V = L , donde V y L denotan el universo de von Neumann y el universo construible , respectivamente. El axioma, investigado por primera vez por Kurt Gödel , es inconsistente con la proposición de que existe cero agudo y axiomas cardinales grandes más fuertes (ver lista de propiedades cardinales grandes ). Las generalizaciones de este axioma se exploran en la teoría del modelo interno .

Trascendencia

El axioma de constructibilidad implica el axioma de elección (AC), dada la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (ZF). También resuelve muchas cuestiones matemáticas naturales que son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC); por ejemplo, el axioma de constructibilidad implica la hipótesis del continuo generalizado , la negación de la hipótesis de Suslin y la existencia de un conjunto analítico (de hecho, ) no medible de números reales , todos los cuales son independientes de ZFC. ${\ Displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}}$

El axioma de constructibilidad implica la inexistencia de aquellos grandes cardenales con fuerza de consistencia mayor o igual a 0 ^# , que incluye algunos cardenales grandes "relativamente pequeños". Por lo tanto, no cardinal puede ser ω ₁ - Erdős en L . Si bien L contiene los ordinales iniciales de esos grandes cardinales (cuando existen en un supermodelo de L ), y todavía son ordinales iniciales en L , excluye las estructuras auxiliares (por ejemplo, medidas ) que dotan a esos cardinales con sus grandes propiedades cardinales.

Aunque el axioma de la constructibilidad resuelve muchas cuestiones de la teoría de conjuntos, no suele aceptarse como un axioma para la teoría de conjuntos de la misma forma que los axiomas ZFC. Entre los teóricos establecidos de tendencia realista , que creen que el axioma de la constructibilidad es verdadero o falso, la mayoría cree que es falso. Esto se debe en parte a que parece innecesariamente "restrictivo", ya que solo permite ciertos subconjuntos de un conjunto dado, sin una razón clara para creer que estos son todos. En parte se debe a que el axioma se contradice con axiomas cardinales grandes y suficientemente fuertes . Este punto de vista está especialmente asociado con el Cabal , o la "escuela de California", como lo diría Saharon Shelah .

Significado

El significado principal del axioma de constructibilidad está en la prueba de Kurt Gödel de la consistencia relativa del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado a la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel . (La prueba se traslada a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , que se ha vuelto más frecuente en los últimos años).

Es decir, Gödel demostró que es relativamente consistente (es decir, si puede probar una contradicción, entonces también puede ), y que en${\ Displaystyle V = L}$${\ Displaystyle ZFC + (V = L)}$${\ Displaystyle ZF}$${\ Displaystyle ZF}$

${\ Displaystyle V = L \ implica AC \ land GCH,}$

estableciendo así que AC y GCH también son relativamente consistentes.

La demostración de Gödel se complementó en años posteriores con el resultado de Paul Cohen de que tanto AC como GCH son independientes , es decir, que las negaciones de estos axiomas ( y ) también son relativamente consistentes con la teoría de conjuntos ZF. ${\ Displaystyle \ lnot AC}$${\ Displaystyle \ lnot GCH}$

Declaraciones verdaderas en L

Aquí hay una lista de proposiciones que se mantienen en el universo construible (denotado por L ):

• La hipótesis del continuo generalizado y como consecuencia
  • El axioma de la elección
• Traje de diamantes
  • Clubsuit
• Plaza global
• La existencia de morasses
• La negación de la hipótesis de Suslin
• La inexistencia de 0 ^# y como consecuencia
  • La no existencia de todos los grandes cardenales que implican la existencia de un cardinal mensurable
• La verdad de la conjetura de Whitehead de que todo grupo abeliano A con Ext ¹ ( A , Z ) = 0 es un grupo abeliano libre .
• La existencia de un orden bien definible de todos los conjuntos (cuya fórmula se puede dar explícitamente). En particular, L satisface V = HOD .

Aceptando el axioma de constructibilidad (que afirma que todo conjunto es construible ), estas proposiciones también son válidas en el universo de von Neumann , resolviendo muchas proposiciones en la teoría de conjuntos y algunas cuestiones interesantes en el análisis.

Referencias

• Devlin, Keith (1984). Constructibilidad . Springer-Verlag . ISBN 3-540-13258-9.

enlaces externos

• ¿Cuántos números reales hay? , Keith Devlin, Asociación Matemática de América , junio de 2001