Teorema de König (teoría de conjuntos) - König's theorem (set theory)

En la teoría de conjuntos , el teorema de König estados que si el axioma de elección se mantiene, que es un conjunto , y son números cardinales para cada i en I , y para cada i en I , a continuación, ${\ Displaystyle \ kappa _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ kappa _ {i} <\ lambda _ {i}}$

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ kappa _ {i} <\ prod _ {i \ in I} \ lambda _ {i}.}

La suma aquí es la cardinalidad de la unión disjunta de los conjuntos m _i , y el producto es la cardinalidad del producto cartesiano . Sin embargo, sin el uso del axioma de elección, la suma y el producto no pueden definirse como números cardinales y sería necesario aclarar el significado del signo de desigualdad.

El teorema de König fue introducido por König ( 1904 ) en la forma ligeramente más débil de que la suma de una secuencia estrictamente creciente de números cardinales distintos de cero es menor que su producto.

Detalles

La declaración precisa del resultado: si I es un conjunto , A _i y B _i son conjuntos para cada i en I , y para cada i en I , entonces ${\ Displaystyle A_ {i} <B_ {i}}$

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} A_ {i} <\ prod _ {i \ in I} B_ {i},}

donde < significa estrictamente menor que en cardinalidad , es decir, hay una función inyectiva de A _i a B _i , pero ninguna va en sentido contrario. La unión involucrada no necesita ser disjunta (una unión no disjunta no puede ser más grande que la versión disjunta, asumiendo también el axioma de elección ). En esta formulación, el teorema de König es equivalente al axioma de elección .

(Por supuesto, el teorema de König es trivial si los números cardinales m _i y n _i son finitos y el conjunto de índices I es finito. Si I está vacío , entonces la suma de la izquierda es la suma vacía y por lo tanto 0, mientras que el producto de la derecha es el producto vacío y por lo tanto 1).

El teorema de König es notable debido a la estricta desigualdad en la conclusión. Hay muchas reglas fáciles para la aritmética de sumas infinitas y productos de cardinales en las que solo se puede concluir una desigualdad débil ≤, por ejemplo: si para todo i en I , entonces solo se puede concluir ${\ Displaystyle m_ {i} <n_ {i}}$

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} m_ {i} \ leq \ sum _ {i \ in I} n_ {i},}

ya que, por ejemplo, establecer y , donde el conjunto de índices I son los números naturales, produce la suma para ambos lados y tenemos una igualdad. ${\ Displaystyle m_ {i} = 1}$ ${\ Displaystyle n_ {i} = 2}$ ${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$

Corolarios del teorema de König

Si es cardenal, entonces . ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ kappa <2 ^ {\ kappa}}$

Si tomamos m _i = 1 y n _i = 2 para cada i en κ, entonces el lado izquierdo de la desigualdad anterior es solo κ, mientras que el lado derecho es 2 ^κ , la cardinalidad de las funciones de κ a {0, 1 }, es decir, la cardinalidad del conjunto de potencias de κ. Por tanto, el teorema de König nos da una prueba alternativa del teorema de Cantor . (Históricamente, por supuesto, el teorema de Cantor se demostró mucho antes).

Axioma de elección

Una forma de enunciar el axioma de elección es "un producto cartesiano arbitrario de conjuntos no vacíos no es vacío". Deja B _i ser un conjunto no vacío para cada i en I . Deja un _i = {} para cada i en I . Así, según el teorema de König, tenemos:

Si , entonces . ${\ Displaystyle \ forall i \ in I (\ {\} <B_ {i})}$ ${\ Displaystyle \ {\} <\ prod _ {i \ in I} B_ {i}}$

Es decir, el producto cartesiano de los conjuntos no vacíos dados B _i tiene una cardinalidad mayor que la suma de conjuntos vacíos. Por lo tanto, no está vacío, que es precisamente lo que establece el axioma de elección. Dado que el axioma de elección se deriva del teorema de König, usaremos el axioma de elección libre e implícitamente al discutir las consecuencias del teorema.

Teorema y cofinalidad de König

El teorema de König también tiene importantes consecuencias para la cofinalidad de los números cardinales.

Si , entonces . ${\ Displaystyle \ kappa \ geq \ aleph _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ kappa <\ kappa ^ {\ operatorname {cf} (\ kappa)}}$

Elija una secuencia cf (κ) estrictamente creciente de ordinales que se acerquen a κ. Cada uno de ellos es menor que κ, por lo que su suma, que es κ, es menor que el producto de cf (κ) copias de κ.

Según el teorema de Easton , la siguiente consecuencia del teorema de König es la única restricción no trivial sobre la función del continuo para los cardinales regulares .

Si y , entonces . ${\ Displaystyle \ kappa \ geq \ aleph _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ lambda \ geq 2}$ ${\ Displaystyle \ kappa <\ operatorname {cf} (\ lambda ^ {\ kappa})}$

Deja . Supongamos que, contrariamente a este corolario, . Luego, usando el corolario anterior , una contradicción. ${\ Displaystyle \ mu = \ lambda ^ {\ kappa}}$ ${\ Displaystyle \ kappa \ geq \ operatorname {cf} (\ mu)}$ ${\ Displaystyle \ mu <\ mu ^ {\ operatorname {cf} (\ mu)} \ leq \ mu ^ {\ kappa} = (\ lambda ^ {\ kappa}) ^ {\ kappa} = \ lambda ^ {\ kappa \ cdot \ kappa} = \ lambda ^ {\ kappa} = \ mu}$

Una prueba del teorema de König

Suponiendo la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , incluyendo especialmente el axioma de elección , podemos demostrar el teorema. Recuerda que se nos da y queremos mostrar: ${\ Displaystyle \ forall i \ in I \ quad A_ {i} <B_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} A_ {i} <\ prod _ {i \ in I} B_ {i}.}$

El axioma de elección implica que la condición A < B es equivalente a la condición de que no hay función de A sobre B y B no está vacío. Entonces se nos da que no hay función desde A _i sobre B _i ≠ {}, y tenemos que demostrar que cualquier función f desde la unión disjunta de A s al producto de B s no es sobreyectiva y que el producto no está vacío. Que el producto no esté vacío se deriva inmediatamente del axioma de elección y del hecho de que los factores no están vacíos. Para cada i, elijo a b _i en B _i no en la imagen de A _i bajo la composición de f con la proyección a B _i . Entonces, el producto de los elementos b _i no está en la imagen de f , entonces f no mapea la unión disjunta de A s sobre el producto de B s.

Notas

^ Rubin, H .; Rubin, JE (1985). Equivalentes del axioma de elección, II . Nueva York, NY: Holanda Septentrional . págs. 185 . ISBN 0-444-87708-8.

Referencias

M. Holz, K. Steffens y E. Weitz (1999). Introducción a la aritmética cardinal . Birkhäuser. ISBN 3-7643-6124-7.
König, J. (1904), "Zum Kontinuum-Problem", en Krazer, Adolf (ed.), Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses en Heidelberg vom 8. bis 13. Agosto de 1904 , págs. 144-147, archivado de el original el 4 de enero de 2015 , consultado el 14 de junio de 2014, reimpreso como König, J. (1905), "Zum Kontinuum-Problem" , Mathematische Annalen , 60 (2): 177–180, doi : 10.1007 / BF01677263

[Rubin_1985-1] Rubin, H .; Rubin, JE (1985). Equivalentes del axioma de elección, II . Nueva York, NY: Holanda Septentrional . págs. 185 . ISBN 0-444-87708-8.

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