Filosofía de las matemáticas - Philosophy of mathematics

La filosofía de las matemáticas es la rama de la filosofía que estudia los supuestos, fundamentos e implicaciones de las matemáticas . Su objetivo es comprender la naturaleza y los métodos de las matemáticas y descubrir el lugar de las matemáticas en la vida de las personas. La naturaleza lógica y estructural de las matemáticas en sí hace que este estudio sea amplio y único entre sus contrapartes filosóficas.

Historia

El origen de las matemáticas está sujeto a discusiones y desacuerdos. Si el nacimiento de las matemáticas fue un acontecimiento aleatorio o fue inducido por la necesidad durante el desarrollo de otras materias, como la física, sigue siendo un tema de prolíficos debates.

Muchos pensadores han contribuido con sus ideas sobre la naturaleza de las matemáticas. Hoy en día, algunos filósofos de las matemáticas pretenden dar cuenta de esta forma de investigación y sus productos tal como están, mientras que otros enfatizan un papel para ellos mismos que va más allá de la simple interpretación al análisis crítico. Hay tradiciones de la filosofía matemática, tanto en la filosofía occidental y la filosofía oriental . Las filosofías occidentales de las matemáticas se remontan a Pitágoras , quien describió la teoría "todo son matemáticas" ( matemática ), Platón , que parafraseó a Pitágoras y estudió el estado ontológico de los objetos matemáticos, y Aristóteles , que estudió lógica y cuestiones relacionadas con el infinito. (real versus potencial).

La filosofía griega de las matemáticas estuvo fuertemente influenciada por su estudio de la geometría . Por ejemplo, en un momento, los griegos sostuvieron la opinión de que 1 (uno) no era un número , sino más bien una unidad de longitud arbitraria. Un número se definió como una multitud. Por lo tanto, 3, por ejemplo, representa una cierta multitud de unidades y, por lo tanto, no es "verdaderamente" un número. En otro punto, se hizo un argumento similar de que 2 no era un número, sino una noción fundamental de un par. Estas vistas provienen del punto de vista fuertemente geométrico de la regla y la brújula de los griegos: así como las líneas dibujadas en un problema geométrico se miden en proporción a la primera línea dibujada arbitrariamente, también los números en una línea numérica se miden en proporción. al primer "número" o "uno" arbitrario.

Estas primeras ideas griegas de los números fueron más tarde trastocadas por el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos. Hippasus , un discípulo de Pitágoras , demostró que la diagonal de un cuadrado unitario era inconmensurable con su borde (de longitud unitaria): en otras palabras, demostró que no existía un número (racional) que describiera con precisión la proporción de la diagonal de la unidad. cuadrado a su borde. Esto provocó una reevaluación significativa de la filosofía griega de las matemáticas. Según la leyenda, los compañeros pitagóricos quedaron tan traumatizados por este descubrimiento que asesinaron a Hippasus para evitar que difundiera su idea herética. Simon Stevin fue uno de los primeros en Europa en desafiar las ideas griegas en el siglo XVI. A partir de Leibniz , la atención se centró fuertemente en la relación entre las matemáticas y la lógica. Esta perspectiva dominó la filosofía de las matemáticas durante la época de Frege y Russell , pero fue cuestionada por los desarrollos de finales del siglo XIX y principios del XX.

Filosofía contemporánea

Un tema perenne en la filosofía de las matemáticas se refiere a la relación entre la lógica y las matemáticas en sus fundamentos conjuntos. Si bien los filósofos del siglo XX continuaron haciendo las preguntas mencionadas al comienzo de este artículo, la filosofía de las matemáticas en el siglo XX se caracterizó por un interés predominante en la lógica formal , la teoría de conjuntos (tanto la teoría de conjuntos ingenua como la teoría de conjuntos axiomática ), y cuestiones fundamentales.

Es un enigma profundo que, por un lado, las verdades matemáticas parecen tener una inevitabilidad irresistible, pero por otro lado, la fuente de su "veracidad" sigue siendo difícil de alcanzar. Las investigaciones sobre este tema se conocen como los fundamentos del programa de matemáticas .

A principios del siglo XX, los filósofos de las matemáticas ya estaban comenzando a dividirse en varias escuelas de pensamiento sobre todas estas cuestiones, que se distinguen ampliamente por sus imágenes de la epistemología y la ontología matemáticas . Tres escuelas, el formalismo , el intuicionismo y el logicismo , surgieron en este momento, en parte como respuesta a la preocupación cada vez más generalizada de que las matemáticas tal como estaban, y el análisis en particular, no estaban a la altura de los estándares de certeza y rigor que se habían considerado. otorgado. Cada escuela abordó los problemas que surgieron en ese momento, ya sea tratando de resolverlos o alegando que las matemáticas no tienen derecho a su estatus como nuestro conocimiento más confiable.

Los desarrollos sorprendentes y contrarios a la intuición en la lógica formal y la teoría de conjuntos a principios del siglo XX llevaron a nuevas preguntas sobre lo que tradicionalmente se llamaba los fundamentos de las matemáticas . A medida que avanzaba el siglo, el foco de interés inicial se expandió a una exploración abierta de los axiomas fundamentales de las matemáticas, habiéndose dado por sentado el enfoque axiomático desde la época de Euclides alrededor del año 300 a. C. como la base natural de las matemáticas. Las nociones de axioma , proposición y prueba , así como la noción de que una proposición es verdadera de un objeto matemático (ver Asignación ), se formalizaron, lo que les permitió ser tratados matemáticamente. Se formularon los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos que proporcionaron un marco conceptual en el que se interpretaría gran parte del discurso matemático. En matemáticas, como en física, habían surgido ideas nuevas e inesperadas y se estaban produciendo cambios significativos. Con la numeración de Gödel , las proposiciones podrían interpretarse como referencias a sí mismas oa otras proposiciones, lo que permite investigar la coherencia de las teorías matemáticas. Esta crítica reflexiva en la que la teoría bajo revisión "se convierte en sí misma en el objeto de un estudio matemático" llevó a Hilbert a llamar a dicho estudio metamatemática o teoría de la prueba .

A mediados de siglo, Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane crearon una nueva teoría matemática , conocida como teoría de categorías , y se convirtió en un nuevo competidor para el lenguaje natural del pensamiento matemático. Sin embargo, a medida que avanzaba el siglo XX, las opiniones filosóficas divergieron en cuanto a cuán bien fundadas estaban las preguntas sobre los fundamentos que se plantearon al comienzo del siglo. Hilary Putnam resumió una visión común de la situación en el último tercio del siglo diciendo:

Cuando la filosofía descubre algo malo en la ciencia, a veces la ciencia tiene que ser cambiada —me viene a la mente la paradoja de Russell , al igual que el ataque de Berkeley al infinitesimal real—, pero más a menudo es la filosofía la que tiene que cambiarse. No creo que las dificultades que la filosofía encuentra hoy con la matemática clásica sean verdaderas dificultades; y creo que las interpretaciones filosóficas de las matemáticas que se nos ofrecen en todas partes están equivocadas, y que la "interpretación filosófica" es justo lo que las matemáticas no necesitan.

La filosofía de las matemáticas de hoy avanza a lo largo de varias líneas de investigación diferentes, por filósofos de las matemáticas, lógicos y matemáticos, y hay muchas escuelas de pensamiento sobre el tema. Las escuelas se tratan por separado en la siguiente sección y se explican sus supuestos.

Temas principales

Realismo matemático

El realismo matemático , como el realismo en general, sostiene que las entidades matemáticas existen independientemente de la mente humana . Por lo tanto, los humanos no inventan las matemáticas, sino que las descubren, y cualquier otro ser inteligente del universo presumiblemente haría lo mismo. Desde este punto de vista, hay realmente un tipo de matemáticas que se puede descubrir; los triángulos , por ejemplo, son entidades reales, no creaciones de la mente humana.

Muchos matemáticos en activo han sido matemáticos realistas; se ven a sí mismos como descubridores de objetos naturales. Los ejemplos incluyen Paul Erdős y Kurt Gödel . Gödel creía en una realidad matemática objetiva que podía percibirse de manera análoga a la percepción sensorial. Ciertos principios (por ejemplo, para dos objetos cualesquiera, hay una colección de objetos que consta precisamente de esos dos objetos) podrían verse directamente como verdaderos, pero la conjetura de la hipótesis del continuo podría resultar indecidible sólo sobre la base de tales principios. Gödel sugirió que la metodología cuasi-empírica podría usarse para proporcionar evidencia suficiente para poder asumir razonablemente tal conjetura.

Dentro del realismo, hay distinciones según el tipo de existencia que se considere que tienen las entidades matemáticas y cómo las conocemos. Las principales formas de realismo matemático incluyen el platonismo y el aristotelismo .

Antirrealismo matemático

El antirrealismo matemático generalmente sostiene que los enunciados matemáticos tienen valores de verdad, pero que no los tienen por corresponder a un ámbito especial de entidades inmateriales o no empíricas. Las principales formas de antirrealismo matemático incluyen el formalismo y el ficcionalismo .

Escuelas de pensamiento contemporáneas

Artístico

La visión que afirma que las matemáticas son la combinación estética de supuestos, y luego también afirma que las matemáticas son un arte . Un matemático célebre que asegura ser el británico GH Hardy y también metafóricamente el francés Henri Poincaré . Para Hardy, en su libro, A Mathematician's Apology , la definición de matemáticas se parecía más a la combinación estética de conceptos.

platonismo

El platonismo matemático es la forma de realismo que sugiere que las entidades matemáticas son abstractas, no tienen propiedades espaciotemporales o causales, y son eternas e inmutables. A menudo se afirma que esta es la opinión que la mayoría de la gente tiene de los números. El término platonismo se utiliza debido a tal punto de vista se ve que es paralela a Platón 's teoría de las formas y un 'Mundo de las Ideas'(griego: eidos (εἶδος)) se describe en el de Platón alegoría de la caverna : el mundo todos los días sólo se puede una manera imperfecta aproximada realidad última e inmutable. Tanto la cueva de Platón como el platonismo tienen conexiones significativas, no solo superficiales, porque las ideas de Platón fueron precedidas y probablemente influenciadas por los enormemente populares pitagóricos de la antigua Grecia, quienes creían que el mundo estaba, literalmente, generado por números .

Una cuestión importante considerada en el platonismo matemático es: ¿dónde y cómo existen exactamente las entidades matemáticas y cómo las conocemos? ¿Existe un mundo, completamente separado del físico, que esté ocupado por las entidades matemáticas? ¿Cómo podemos acceder a este mundo separado y descubrir verdades sobre las entidades? Una respuesta propuesta es el Ultimate Ensemble , una teoría que postula que todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente en su propio universo.

El platonismo de Kurt Gödel postula un tipo especial de intuición matemática que nos permite percibir objetos matemáticos directamente. (Este punto de vista se parece a muchas cosas que dijo Husserl sobre las matemáticas y apoya la idea de Kant de que las matemáticas son sintéticas a priori ). Davis y Hersh han sugerido en su libro de 1999 The Mathematical Experience que la mayoría de los matemáticos actúan como si fueran platónicos, incluso sin embargo, si se les presiona para defender la posición con cuidado, pueden retirarse al formalismo . El matemático Alexander Grothendieck también fue platónico.

El platonismo de pura sangre es una variación moderna del platonismo, que es una reacción al hecho de que se puede probar que existen diferentes conjuntos de entidades matemáticas dependiendo de los axiomas y las reglas de inferencia empleadas (por ejemplo, la ley del medio excluido y la ley del medio excluido) . axioma de elección ). Sostiene que existen todas las entidades matemáticas. Pueden ser demostrables, incluso si no pueden derivarse todos de un único conjunto coherente de axiomas.

El realismo de la teoría de conjuntos (también platonismo de la teoría de conjuntos ), una posición defendida por Penelope Maddy , es la opinión de que la teoría de conjuntos trata sobre un único universo de conjuntos. Esta posición (que también se conoce como naturalizada platonismo porque es una naturalizado versión del platonismo matemático) ha sido criticado por Mark Balaguer sobre la base de Paul Benacerraf 's problema epistemológico . Un punto de vista similar, denominado naturalismo platónico , fue defendido más tarde por la Escuela de Stanford-Edmonton : según este punto de vista, un tipo más tradicional de platonismo es consistente con el naturalismo ; el tipo de platonismo más tradicional que defienden se distingue por principios generales que afirman la existencia de objetos abstractos .

Matemático

La hipótesis del universo matemático de Max Tegmark (o matemático ) va más allá del platonismo al afirmar que no solo existen todos los objetos matemáticos, sino que no existe nada más. El único postulado de Tegmark es: Todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente . Es decir, en el sentido de que "en esos [mundos] lo suficientemente complejos como para contener subestructuras autoconscientes [ellos] se percibirán subjetivamente a sí mismos como existiendo en un mundo 'real' físicamente".

Logicismo

El logicismo es la tesis de que las matemáticas se pueden reducir a la lógica y, por tanto, nada más que una parte de la lógica. Los lógicos sostienen que las matemáticas pueden conocerse a priori , pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es solo una parte de nuestro conocimiento de la lógica en general y, por lo tanto , es analítico y no requiere ninguna facultad especial de intuición matemática. Desde este punto de vista, la lógica es la base adecuada de las matemáticas, y todos los enunciados matemáticos son verdades lógicas necesarias .

Rudolf Carnap (1931) presenta la tesis lógica en dos partes:

  1. Los conceptos matemáticos pueden derivarse de conceptos lógicos mediante definiciones explícitas.
  2. Los teoremas de las matemáticas pueden derivarse de axiomas lógicos mediante deducción puramente lógica.

Gottlob Frege fue el fundador del logicismo. En su seminal Die Grundgesetze der Arithmetik ( Leyes básicas de la aritmética ) construyó la aritmética a partir de un sistema de lógica con un principio general de comprensión, al que llamó "Ley básica V" (para los conceptos F y G , la extensión de F es igual a la extensión de G si y solo si para todos los objetos a , Fa es igual a Ga ), un principio que consideró aceptable como parte de la lógica.

La construcción de Frege fue defectuosa. Bertrand Russell descubrió que la Ley Básica V es inconsistente (esta es la paradoja de Russell ). Frege abandonó su programa lógico poco después de esto, pero fue continuado por Russell y Whitehead . Atribuyeron la paradoja a la "circularidad viciosa" y construyeron lo que llamaron teoría de tipos ramificados para lidiar con ella. En este sistema, finalmente pudieron desarrollar gran parte de las matemáticas modernas, pero de una forma alterada y excesivamente compleja (por ejemplo, había diferentes números naturales en cada tipo y había infinitos tipos). También tuvieron que hacer varios compromisos para desarrollar gran parte de las matemáticas, como un " axioma de reducibilidad ". Incluso Russell dijo que este axioma no pertenecía realmente a la lógica.

Los lógicos modernos (como Bob Hale , Crispin Wright y quizás otros) han regresado a un programa más cercano al de Frege. Han abandonado la Ley Básica V a favor de principios de abstracción como el principio de Hume (el número de objetos que caen bajo el concepto F es igual al número de objetos que caen bajo el concepto G si y solo si la extensión de F y la extensión de G pueden ser poner en correspondencia uno a uno ). Frege requirió la Ley Básica V para poder dar una definición explícita de los números, pero todas las propiedades de los números pueden derivarse del principio de Hume. Esto no habría sido suficiente para Frege porque (parafraseándolo) no excluye la posibilidad de que el número 3 sea de hecho Julio César. Además, muchos de los principios debilitados que han tenido que adoptar para reemplazar la Ley Fundamental V ya no parecen tan obviamente analíticos y, por lo tanto, puramente lógicos.

Formalismo

El formalismo sostiene que los enunciados matemáticos pueden pensarse como enunciados sobre las consecuencias de ciertas reglas de manipulación de cadenas. Por ejemplo, en el "juego" de la geometría euclidiana (que se considera que consta de algunas cadenas llamadas "axiomas" y algunas "reglas de inferencia" para generar nuevas cadenas a partir de las dadas), se puede probar que el teorema de Pitágoras se cumple ( es decir, se puede generar la cadena correspondiente al teorema de Pitágoras). Según el formalismo, las verdades matemáticas no se refieren a números, conjuntos, triángulos y cosas por el estilo; de hecho, no se refieren a nada en absoluto.

Otra versión del formalismo se conoce a menudo como deductivismo . En deductivismo, el teorema de Pitágoras no es una verdad absoluta, sino relativa: si uno asigna significado a las cadenas de tal manera que las reglas del juego se vuelven verdaderas (es decir, los enunciados verdaderos se asignan a los axiomas y las reglas de inferencia son preservantes de la verdad), entonces uno debe aceptar el teorema, o, más bien, la interpretación que uno le ha dado debe ser un enunciado verdadero. Se sostiene que lo mismo es cierto para todos los demás enunciados matemáticos. Por tanto, el formalismo no tiene por qué significar que las matemáticas no sean más que un juego simbólico sin sentido. Por lo general, se espera que exista alguna interpretación en la que se mantengan las reglas del juego. (Compare esta posición con el estructuralismo ). Pero permite que el matemático en activo continúe en su trabajo y deje tales problemas al filósofo o al científico. Muchos formalistas dirían que en la práctica, los sistemas de axiomas a estudiar serán sugeridos por las demandas de la ciencia o de otras áreas de las matemáticas.

Uno de los primeros defensores del formalismo fue David Hilbert , cuyo programa pretendía ser una axiomatización completa y coherente de todas las matemáticas. Hilbert pretendía mostrar la coherencia de los sistemas matemáticos partiendo del supuesto de que la "aritmética finitaria" (un subsistema de la aritmética habitual de los enteros positivos , elegida por ser filosóficamente indiscutible) era coherente. Los objetivos de Hilbert de crear un sistema matemático que sea a la vez completo y consistente fueron seriamente socavados por el segundo de los teoremas de incompletitud de Gödel , que establece que los sistemas de axiomas consistentes suficientemente expresivos nunca pueden probar su propia consistencia. Dado que cualquier sistema de axiomas de este tipo contendría la aritmética finitaria como un subsistema, el teorema de Gödel implicaba que sería imposible probar la consistencia del sistema en relación con eso (ya que entonces probaría su propia consistencia, que Gödel había demostrado que era imposible). Por tanto, para demostrar que cualquier sistema axiomático de las matemáticas es de hecho coherente, primero es necesario asumir la coherencia de un sistema matemático que, en cierto sentido, es más fuerte que el sistema para demostrar su coherencia.

Hilbert fue inicialmente un deductivista, pero, como se desprende de lo anterior, consideraba que ciertos métodos metamatemáticos producían resultados intrínsecamente significativos y era realista con respecto a la aritmética finitaria. Más tarde, sostuvo la opinión de que no había ninguna otra matemática significativa, independientemente de la interpretación.

Otros formalistas, como Rudolf Carnap , Alfred Tarski y Haskell Curry , consideraban que las matemáticas eran la investigación de sistemas de axiomas formales . Los lógicos matemáticos estudian sistemas formales, pero a menudo son tan realistas como formalistas.

Los formalistas son relativamente tolerantes e invitan a nuevos enfoques de la lógica, sistemas numéricos no estándar, nuevas teorías de conjuntos, etc. Cuantos más juegos estudiemos, mejor. Sin embargo, en los tres ejemplos, la motivación se basa en preocupaciones matemáticas o filosóficas existentes. Los "juegos" no suelen ser arbitrarios.

La principal crítica al formalismo es que las ideas matemáticas reales que ocupan a los matemáticos están muy alejadas de los juegos de manipulación de cuerdas mencionados anteriormente. Por tanto, el formalismo guarda silencio sobre la cuestión de qué sistemas de axiomas deberían estudiarse, ya que ninguno es más significativo que otro desde un punto de vista formalista.

Recientemente, algunos matemáticos formalistas han propuesto que todo nuestro conocimiento matemático formal debe codificarse sistemáticamente en formatos legibles por computadora , a fin de facilitar la verificación automatizada de pruebas matemáticas y el uso de la demostración interactiva de teoremas en el desarrollo de teorías matemáticas y software de computadora. . Debido a su estrecha conexión con la informática , esta idea también es defendida por intuicionistas matemáticos y constructivistas en la tradición de la "computabilidad"; consulte el proyecto QED para obtener una descripción general.

Convencionalismo

El matemático francés Henri Poincaré fue uno de los primeros en articular una visión convencionalista . El uso de Poincaré de geometrías no euclidianas en su trabajo sobre ecuaciones diferenciales lo convenció de que la geometría euclidiana no debería considerarse una verdad a priori . Sostuvo que los axiomas en geometría deben elegirse por los resultados que producen, no por su aparente coherencia con las intuiciones humanas sobre el mundo físico.

Intuicionismo

En matemáticas, el intuicionismo es un programa de reforma metodológica cuyo lema es que "no hay verdades matemáticas no experimentadas" ( LEJ Brouwer ). Desde este trampolín, los intuicionistas buscan reconstruir lo que consideran la parte corregible de las matemáticas de acuerdo con los conceptos kantianos de ser, devenir, intuición y conocimiento. Brouwer, el fundador del movimiento, sostuvo que los objetos matemáticos surgen de las formas a priori de las voliciones que informan la percepción de los objetos empíricos.

Una fuerza importante detrás del intuicionismo fue LEJ Brouwer , quien rechazó la utilidad de la lógica formalizada de cualquier tipo para las matemáticas. Su alumno Arend Heyting postuló una lógica intuicionista , diferente de la lógica aristotélica clásica ; esta lógica no contiene la ley del medio excluido y, por lo tanto, desaprueba las pruebas por contradicción . El axioma de elección también se rechaza en la mayoría de las teorías de conjuntos intuicionistas, aunque en algunas versiones se acepta.

En el intuicionismo, el término "construcción explícita" no está claramente definido, y eso ha dado lugar a críticas. Se ha intentado utilizar los conceptos de máquina de Turing o función computable para llenar este vacío, lo que lleva a la afirmación de que solo las preguntas relacionadas con el comportamiento de los algoritmos finitos son significativas y deben investigarse en matemáticas. Esto ha llevado al estudio de los números computables , presentado por primera vez por Alan Turing . No es sorprendente, entonces, que este enfoque de las matemáticas se asocie a veces con la informática teórica .

Constructivismo

Al igual que el intuicionismo, el constructivismo implica el principio regulador de que sólo las entidades matemáticas que pueden construirse explícitamente en cierto sentido deben ser admitidas en el discurso matemático. Desde este punto de vista, las matemáticas son un ejercicio de la intuición humana, no un juego con símbolos sin sentido. En cambio, se trata de entidades que podemos crear directamente a través de la actividad mental. Además, algunos seguidores de estas escuelas rechazan las pruebas no constructivas, como la prueba por contradicción. Errett Bishop realizó un trabajo importante , quien logró probar versiones de los teoremas más importantes en el análisis real como análisis constructivo en sus Fundamentos del análisis constructivo de 1967 .

Finitismo

El finitismo es una forma extrema de constructivismo , según la cual un objeto matemático no existe a menos que pueda construirse a partir de números naturales en un número finito de pasos. En su libro Philosophy of Set Theory , Mary Tiles caracterizó a aquellos que permiten objetos infinitos contables como finitistas clásicos, y aquellos que niegan incluso objetos infinitos contables como finitistas estrictos.

El proponente más famoso del finitismo fue Leopold Kronecker , quien dijo:

Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre.

El ultrafinitismo es una versión aún más extrema del finitismo, que rechaza no solo los infinitos sino también las cantidades finitas que no pueden construirse de manera factible con los recursos disponibles. Otra variante del finitismo es la aritmética euclidiana, un sistema desarrollado por John Penn Mayberry en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets . El sistema de Mayberry es aristotélico en general de inspiración y, a pesar de su fuerte rechazo de cualquier papel del operacionalismo o la viabilidad en los fundamentos de las matemáticas, llega a conclusiones algo similares, como, por ejemplo, que la superexponenciación no es una función finitaria legítima.

Estructuralismo

El estructuralismo es una posición que sostiene que las teorías matemáticas describen estructuras y que los objetos matemáticos se definen exhaustivamente por su lugar en tales estructuras, por lo que no tienen propiedades intrínsecas . Por ejemplo, mantendría que todo lo que se necesita saber sobre el número 1 es que es el primer número entero después del 0. Asimismo, todos los demás números enteros se definen por sus lugares en una estructura, la recta numérica . Otros ejemplos de objetos matemáticos pueden incluir líneas y planos en geometría, o elementos y operaciones en álgebra abstracta .

El estructuralismo es una visión epistemológicamente realista en el sentido de que sostiene que los enunciados matemáticos tienen un valor de verdad objetivo. Sin embargo, su afirmación central solo se relaciona con qué tipo de entidad es un objeto matemático, no con qué tipo de existencia tienen los objetos o estructuras matemáticos (no, en otras palabras, con su ontología ). El tipo de existencia que tienen los objetos matemáticos dependería claramente del de las estructuras en las que están incrustados; diferentes subvariedades de estructuralismo hacen diferentes afirmaciones ontológicas a este respecto.

El estructuralismo ante rem ("antes de la cosa") tiene una ontología similar al platonismo . Se sostiene que las estructuras tienen una existencia real pero abstracta e inmaterial. Como tal, se enfrenta al problema epistemológico estándar de explicar la interacción entre tales estructuras abstractas y matemáticos de carne y hueso (ver el problema de identificación de Benacerraf ).

El in re estructuralismo ("en la cosa") es el equivalente del realismo aristotélico . Se considera que las estructuras existen en la medida en que algún sistema concreto las ejemplifica. Esto incurre en los problemas habituales de que algunas estructuras perfectamente legítimas pueden pasar accidentalmente a no existir, y que un mundo físico finito puede no ser lo suficientemente "grande" para acomodar algunas estructuras que de otro modo serían legítimas.

El estructuralismo post rem ("después de la cosa") es antirrealista sobre las estructuras de una manera que se asemeja al nominalismo . Como el nominalismo, el enfoque post rem niega la existencia de objetos matemáticos abstractos con propiedades distintas de su lugar en una estructura relacional. Según este punto de vista, los sistemas matemáticos existen y tienen características estructurales en común. Si algo es cierto para una estructura, será cierto para todos los sistemas que ejemplifican la estructura. Sin embargo, es meramente instrumental hablar de estructuras "mantenidas en común" entre sistemas: de hecho, no tienen existencia independiente.

Teorías de la mente incorporada

Las teorías de la mente incorporada sostienen que el pensamiento matemático es una consecuencia natural del aparato cognitivo humano que se encuentra en nuestro universo físico. Por ejemplo, el concepto abstracto de número surge de la experiencia de contar objetos discretos. Se sostiene que las matemáticas no son universales y no existen en ningún sentido real, salvo en los cerebros humanos. Los humanos construyen, pero no descubren, matemáticas.

Con este punto de vista, el universo físico puede verse como el fundamento último de las matemáticas: guió la evolución del cerebro y luego determinó qué preguntas este cerebro consideraría dignas de investigación. Sin embargo, la mente humana no tiene ningún derecho especial a la realidad o enfoques basados ​​en las matemáticas. Si construcciones como la identidad de Euler son verdaderas, entonces son verdaderas como mapa de la mente y la cognición humanas .

Los teóricos de la mente encarnados explican así la eficacia de las matemáticas: las matemáticas fueron construidas por el cerebro para ser eficaces en este universo.

El tratamiento más accesible, famoso e infame de esta perspectiva es Where Mathematics Comes From , de George Lakoff y Rafael E. Núñez . Además, el matemático Keith Devlin ha investigado conceptos similares con su libro The Math Instinct , al igual que el neurocientífico Stanislas Dehaene con su libro The Number Sense . Para obtener más información sobre las ideas filosóficas que inspiraron esta perspectiva, consulte la ciencia cognitiva de las matemáticas .

Realismo aristotélico

El realismo aristotélico sostiene que las matemáticas estudian propiedades como la simetría, la continuidad y el orden que pueden realizarse literalmente en el mundo físico (o en cualquier otro mundo que pudiera existir). Contrasta con el platonismo al sostener que los objetos de las matemáticas, como los números, no existen en un mundo "abstracto", sino que pueden realizarse físicamente. Por ejemplo, el número 4 se realiza en la relación entre un montón de loros y el universal "ser un loro" que divide el montón en tantos loros. El realismo aristotélico es defendido por James Franklin y la Escuela de Sydney en la filosofía de las matemáticas y se acerca a la opinión de Penélope Maddy de que cuando se abre un cartón de huevos, se percibe un conjunto de tres huevos (es decir, una entidad matemática realizada en el mundo físico). Un problema para el realismo aristotélico es qué explicación dar de los infinitos superiores, que pueden no ser realizables en el mundo físico.

La aritmética euclidiana desarrollada por John Penn Mayberry en su libro Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos también cae dentro de la tradición realista aristotélica. Mayberry, siguiendo a Euclid, considera que los números son simplemente "multitudes definidas de unidades" realizadas en la naturaleza, como "los miembros de la London Symphony Orchestra" o "los árboles en el bosque de Birnam". Si hay o no determinadas multitudes de unidades para las que la Noción Común 5 de Euclides (el todo es mayor que la parte) falla y que, en consecuencia, se considerarían infinitas, para Mayberry es esencialmente una cuestión sobre la naturaleza y no implica ninguna suposición trascendental.

Psicologismo

El psicologismo en la filosofía de las matemáticas es la posición de que los conceptos y / o verdades matemáticos se basan en hechos (o leyes) psicológicos o se derivan de ellos o se explican por ellos.

John Stuart Mill parece haber sido un defensor de un tipo de psicologismo lógico, al igual que muchos lógicos alemanes del siglo XIX como Sigwart y Erdmann , así como varios psicólogos , pasados ​​y presentes: por ejemplo, Gustave Le Bon . Frege criticó el psicologismo en sus Fundamentos de la aritmética y en muchas de sus obras y ensayos, incluida su revisión de la Filosofía de la aritmética de Husserl . Edmund Husserl, en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas , titulado "Los prolegómenos de la lógica pura", critica a fondo el psicologismo y busca distanciarse de él. El "Prolegómenos" es considerado una refutación del psicologismo más concisa, justa y completa que las críticas hechas por Frege, y también es considerado hoy por muchos como una refutación memorable por su golpe decisivo al psicologismo. El psicologismo también fue criticado por Charles Sanders Peirce y Maurice Merleau-Ponty .

Empirismo

El empirismo matemático es una forma de realismo que niega que las matemáticas puedan ser conocidas a priori en absoluto. Dice que descubrimos hechos matemáticos mediante la investigación empírica , al igual que los hechos en cualquiera de las otras ciencias. No es una de las tres posiciones clásicas defendidas a principios del siglo XX, sino que surgió principalmente a mediados del siglo. Sin embargo, uno de los primeros proponentes importantes de un punto de vista como este fue John Stuart Mill . La opinión de Mill fue ampliamente criticada porque, según críticos, como AJ Ayer, hace que declaraciones como "2 + 2 = 4" salgan como verdades inciertas y contingentes, que solo podemos aprender observando instancias de dos pares que se unen y formando un cuarteto.

El empirismo matemático contemporáneo, formulado por WVO Quine e Hilary Putnam , se apoya principalmente en el argumento de la indispensabilidad : las matemáticas son indispensables para todas las ciencias empíricas, y si queremos creer en la realidad de los fenómenos descritos por las ciencias, también debemos creer en la realidad de aquellas entidades requeridas para esta descripción. Es decir, dado que la física necesita hablar sobre los electrones para decir por qué las bombillas se comportan como lo hacen, entonces deben existir los electrones . Dado que la física necesita hablar de números al ofrecer cualquiera de sus explicaciones, entonces los números deben existir. De acuerdo con las filosofías generales de Quine y Putnam, este es un argumento naturalista. Defiende la existencia de entidades matemáticas como la mejor explicación para la experiencia, despojando así a las matemáticas de ser distintas de las otras ciencias.

Putnam rechazó enérgicamente el término " platónico " porque implicaba una ontología demasiado específica que no era necesaria para la práctica matemática en ningún sentido real. Abogaba por una forma de "realismo puro" que rechazaba las nociones místicas de la verdad y aceptaba mucho cuasi-empirismo en las matemáticas . Esto surgió de la afirmación cada vez más popular a fines del siglo XX de que nunca se pudo probar que existiera una base única de las matemáticas . A veces también se le llama "posmodernismo en matemáticas", aunque ese término es considerado sobrecargado por algunos e insultante por otros. El cuasi-empirismo sostiene que al hacer su investigación, los matemáticos prueban hipótesis y prueban teoremas. Un argumento matemático puede transmitir la falsedad de la conclusión a las premisas tan bien como puede transmitir la verdad de las premisas a la conclusión. Putnam ha argumentado que cualquier teoría del realismo matemático incluiría métodos cuasi empíricos. Propuso que una especie alienígena que realizara matemáticas bien podría depender principalmente de métodos cuasi empíricos, estando dispuesta a menudo a renunciar a pruebas rigurosas y axiomáticas, y seguir haciendo matemáticas, quizás con un riesgo algo mayor de fallar en sus cálculos. Dio un argumento detallado para esto en New Directions . El cuasi-empirismo también fue desarrollado por Imre Lakatos .

La crítica más importante de los puntos de vista empíricos de las matemáticas es aproximadamente la misma que la planteada contra Mill. Si las matemáticas son tan empíricas como las otras ciencias, esto sugiere que sus resultados son tan falibles como los de ellos, e igualmente contingentes. En el caso de Mill, la justificación empírica viene directamente, mientras que en el caso de Quine viene indirectamente, a través de la coherencia de nuestra teoría científica en su conjunto, es decir, la consiliencia después de EO Wilson . Quine sugiere que las matemáticas parecen completamente seguras porque el papel que juegan en nuestra red de creencias es extraordinariamente central, y que sería extremadamente difícil para nosotros revisarlas, aunque no imposible.

Para una filosofía de las matemáticas que trata de superar algunas de las deficiencias de Quine y enfoques de Gödel tomando aspectos de cada uno vea Penélope Maddy 's realismo en Matemáticas . Otro ejemplo de teoría realista es la teoría de la mente incorporada .

Para obtener evidencia experimental que sugiera que los bebés humanos pueden hacer aritmética elemental, consulte Brian Butterworth .

Ficcionalismo

El ficcionalismo matemático saltó a la fama en 1980 cuando Hartry Field publicó Science Without Numbers , que rechazó y de hecho revirtió el argumento de indispensabilidad de Quine. Donde Quine sugirió que las matemáticas eran indispensables para nuestras mejores teorías científicas y, por lo tanto, deberían aceptarse como un cuerpo de verdades que habla de entidades existentes de forma independiente, Field sugirió que las matemáticas eran prescindibles y, por lo tanto, deberían considerarse como un cuerpo de falsedades que no habla de nada. verdadero. Hizo esto dando una axiomatización completa de la mecánica newtoniana sin referencia alguna a números o funciones. Comenzó con la "intermediación" de los axiomas de Hilbert para caracterizar el espacio sin coordinarlo, y luego agregó relaciones adicionales entre puntos para hacer el trabajo que antes realizaban los campos vectoriales . La geometría de Hilbert es matemática, porque habla de puntos abstractos, pero en la teoría de Field, estos puntos son los puntos concretos del espacio físico, por lo que no se necesitan objetos matemáticos especiales.

Después de haber mostrado cómo hacer ciencia sin usar números, Field procedió a rehabilitar las matemáticas como una especie de ficción útil . Demostró que la física matemática es una extensión conservadora de su física no matemática (es decir, cada hecho físico demostrable en física matemática ya se puede demostrar a partir del sistema de Field), de modo que las matemáticas son un proceso confiable cuyas aplicaciones físicas son todas verdaderas, aunque sus propias declaraciones son falsas. Así, cuando hacemos matemáticas, podemos vernos a nosotros mismos como contando una especie de historia, hablando como si los números existieran. Para Field, una declaración como "2 + 2 = 4" es tan ficticia como " Sherlock Holmes vivió en 221B Baker Street", pero ambas son verdaderas según las ficciones relevantes.

Según esta explicación, no hay problemas metafísicos o epistemológicos especiales para las matemáticas. Las únicas preocupaciones que quedan son las preocupaciones generales sobre la física no matemática y sobre la ficción en general. El enfoque de Field ha sido muy influyente, pero es ampliamente rechazado. Esto se debe en parte al requerimiento de fragmentos fuertes de lógica de segundo orden para llevar a cabo su reducción, y porque el enunciado de conservadurismo parece requerir cuantificación sobre modelos abstractos o deducciones.

Constructivismo social

El constructivismo social ve las matemáticas principalmente como una construcción social , como un producto de la cultura, sujeto a corrección y cambio. Al igual que las otras ciencias, las matemáticas se consideran un esfuerzo empírico cuyos resultados se evalúan constantemente y pueden descartarse. Sin embargo, mientras que en una visión empirista la evaluación es una especie de comparación con la "realidad", los constructivistas sociales enfatizan que la dirección de la investigación matemática está dictada por las modas del grupo social que la realiza o por las necesidades de la sociedad que la financia. Sin embargo, aunque tales fuerzas externas pueden cambiar la dirección de algunas investigaciones matemáticas, existen fuertes limitaciones internas —las tradiciones, métodos, problemas, significados y valores matemáticos en los que se incultura a los matemáticos— que trabajan para conservar la disciplina históricamente definida.

Esto va en contra de las creencias tradicionales de los matemáticos que trabajan, de que las matemáticas son de alguna manera puras u objetivas. Pero los constructivistas sociales sostienen que las matemáticas se basan de hecho en mucha incertidumbre: a medida que la práctica matemática evoluciona, el estado de las matemáticas anteriores se pone en duda y se corrige en la medida en que lo requiere o desea la comunidad matemática actual. Esto se puede ver en el desarrollo del análisis a partir del reexamen del cálculo de Leibniz y Newton. Sostienen además que a las matemáticas terminadas a menudo se les concede demasiado estatus, y a las matemáticas populares no lo suficiente, debido a un énfasis excesivo en la prueba axiomática y la revisión por pares como prácticas.

La naturaleza social de las matemáticas se destaca en sus subculturas . Se pueden hacer descubrimientos importantes en una rama de las matemáticas y ser relevantes para otra, pero la relación no se descubre debido a la falta de contacto social entre los matemáticos. Los constructivistas sociales sostienen que cada especialidad forma su propia comunidad epistémica y, a menudo, tiene grandes dificultades para comunicarse o motivar la investigación de conjeturas unificadoras que podrían relacionar diferentes áreas de las matemáticas. Los constructivistas sociales ven el proceso de "hacer matemáticas" como que realmente crea el significado, mientras que los realistas sociales ven una deficiencia en la capacidad humana para abstraer, o en el sesgo cognitivo humano , o en la inteligencia colectiva de los matemáticos como un impedimento para la comprensión de un universo real de objetos matemáticos. Los constructivistas sociales a veces rechazan la búsqueda de los fundamentos de las matemáticas por considerarla destinada al fracaso, como inútil o incluso sin sentido.

Imre Lakatos y Thomas Tymoczko han hecho contribuciones a esta escuela , aunque no está claro que ninguno de los dos respaldaría el título. Más recientemente, Paul Ernest ha formulado explícitamente una filosofía social constructivista de las matemáticas. Algunos consideran que el trabajo de Paul Erdős en su conjunto ha avanzado este punto de vista (aunque él personalmente lo rechazó) debido a sus colaboraciones excepcionalmente amplias, que llevaron a otros a ver y estudiar "las matemáticas como una actividad social", por ejemplo, a través del número de Erdős. . Reuben Hersh también ha promovido la visión social de las matemáticas, llamándola un enfoque "humanista", similar pero no exactamente igual al asociado con Alvin White; uno de los coautores de Hersh, Philip J. Davis , también ha expresado simpatía por la visión social.

Más allá de las escuelas tradicionales

Eficacia irrazonable

En lugar de centrarse en debates estrechos sobre la verdadera naturaleza de la verdad matemática , o incluso en prácticas exclusivas de los matemáticos como la demostración , un movimiento creciente desde la década de 1960 hasta la de 1990 comenzó a cuestionar la idea de buscar fundamentos o encontrar una única respuesta correcta a por qué funcionan las matemáticas. El punto de partida para esto fue el famoso artículo de 1960 de Eugene Wigner " La efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales ", en el que argumentó que la feliz coincidencia de que las matemáticas y la física estuvieran tan bien emparejadas parecía irrazonable y difícil de explicar.

Los dos sentidos de los enunciados numéricos de Popper

Las teorías realistas y constructivistas se suelen considerar contrarias. Sin embargo, Karl Popper argumentó que un enunciado numérico como "2 manzanas + 2 manzanas = 4 manzanas" se puede tomar en dos sentidos. En cierto sentido, es irrefutable y lógicamente cierto. En el segundo sentido, es de hecho verdadero y falsable. Otra forma de expresar esto es decir que un solo enunciado numérico puede expresar dos proposiciones: una de las cuales puede explicarse en líneas constructivistas; el otro en líneas realistas.

Filosofía del lenguaje

Las innovaciones en la filosofía del lenguaje durante el siglo XX renovaron el interés por saber si las matemáticas son, como se suele decir, el lenguaje de la ciencia. Aunque algunos matemáticos y filósofos aceptarían la afirmación "las matemáticas son un lenguaje ", los lingüistas creen que se deben considerar las implicaciones de tal afirmación. Por ejemplo, las herramientas de la lingüística no se aplican generalmente a los sistemas de símbolos de las matemáticas, es decir, las matemáticas se estudian de una manera marcadamente diferente a otros idiomas. Si las matemáticas son un lenguaje, es un tipo de lenguaje diferente al de los lenguajes naturales . De hecho, debido a la necesidad de claridad y especificidad, el lenguaje de las matemáticas está mucho más restringido que los lenguajes naturales estudiados por los lingüistas. Sin embargo, los métodos desarrollados por Frege y Tarski para el estudio del lenguaje matemático han sido ampliados en gran medida por el estudiante de Tarski, Richard Montague, y otros lingüistas que trabajan en semántica formal para mostrar que la distinción entre lenguaje matemático y lenguaje natural puede no ser tan grande como parece. .

Mohan Ganesalingam ha analizado el lenguaje matemático utilizando herramientas de la lingüística formal. Ganesalingam señala que algunas características del lenguaje natural no son necesarias al analizar el lenguaje matemático (como el tiempo verbal ), pero se pueden utilizar muchas de las mismas herramientas analíticas (como las gramáticas libres de contexto ). Una diferencia importante es que los objetos matemáticos tienen tipos claramente definidos , que pueden definirse explícitamente en un texto: "Efectivamente, se nos permite introducir una palabra en una parte de una oración y declarar su parte del discurso en otra; y esta operación no tiene análogo en lenguaje natural ".

Argumentos

Argumento de indispensable para el realismo

Este argumento, asociado con Willard Quine y Hilary Putnam , es considerado por Stephen Yablo como uno de los argumentos más desafiantes a favor de la aceptación de la existencia de entidades matemáticas abstractas, como números y conjuntos. La forma del argumento es la siguiente.

  1. Uno debe tener ontológicas compromisos con todas las entidades que son indispensables para las mejores teorías científicas, y para aquellas entidades únicas (comúnmente referido como "todo único").
  2. Las entidades matemáticas son indispensables para las mejores teorías científicas. Por lo tanto,
  3. Uno debe tener compromisos ontológicos con entidades matemáticas.

La justificación de la primera premisa es la más controvertida. Tanto Putnam como Quine invocan el naturalismo para justificar la exclusión de todas las entidades no científicas y, por tanto, para defender la "única" parte de "todos y sólo". La afirmación de que "todas" las entidades postuladas en las teorías científicas, incluidos los números, deben aceptarse como reales está justificada por el holismo de confirmación . Dado que las teorías no se confirman de manera fragmentada, sino en su conjunto, no hay justificación para excluir a ninguna de las entidades a las que se hace referencia en las teorías bien confirmadas. Esto coloca al nominalista que desea excluir la existencia de conjuntos y geometría no euclidiana , pero para incluir la existencia de quarks y otras entidades físicas indetectables, por ejemplo, en una posición difícil.

Argumento epistémico contra el realismo

El anti-realista " epistémica argumento" contra el platonismo ha sido hecha por Paul Benacerraf y Hartry campo . El platonismo postula que los objetos matemáticos son entidades abstractas . Por acuerdo general, las entidades abstractas no pueden interactuar causalmente con entidades físicas concretas ("los valores de verdad de nuestras afirmaciones matemáticas dependen de hechos que involucran entidades platónicas que residen en un reino fuera del espacio-tiempo"). Si bien nuestro conocimiento de los objetos físicos concretos se basa en nuestra capacidad para percibirlos y, por lo tanto, para interactuar causalmente con ellos, no existe una explicación paralela de cómo los matemáticos llegan a tener conocimiento de los objetos abstractos. Otra forma de señalarlo es que si el mundo platónico desapareciera, no habría ninguna diferencia en la capacidad de los matemáticos para generar pruebas , etc., que ya es plenamente responsable en términos de procesos físicos en sus cerebros.

Field desarrolló sus puntos de vista en ficcionalismo . Benacerraf también desarrolló la filosofía del estructuralismo matemático , según la cual no existen objetos matemáticos. No obstante, algunas versiones del estructuralismo son compatibles con algunas versiones del realismo.

El argumento se basa en la idea de que se puede dar una explicación naturalista satisfactoria de los procesos de pensamiento en términos de procesos cerebrales para el razonamiento matemático junto con todo lo demás. Una línea de defensa es sostener que esto es falso, de modo que el razonamiento matemático utiliza alguna intuición especial que implica el contacto con el reino platónico. Sir Roger Penrose ofrece una forma moderna de este argumento .

Otra línea de defensa es sostener que los objetos abstractos son relevantes para el razonamiento matemático de una manera no causal y no análoga a la percepción. Jerrold Katz desarrolla este argumento en su libro Realistic Rationalism de 2000 .

Una defensa más radical es la negación de la realidad física, es decir, la hipótesis del universo matemático . En ese caso, el conocimiento matemático de un matemático es un objeto matemático que hace contacto con otro.

Estética

Muchos matemáticos practicantes se han sentido atraídos por este tema debido a la sensación de belleza que perciben en él. A veces se escucha el sentimiento de que a los matemáticos les gustaría dejar la filosofía a los filósofos y volver a las matemáticas, donde, presumiblemente, reside la belleza.

En su trabajo sobre la proporción divina , HE Huntley relaciona la sensación de leer y comprender la prueba de un teorema matemático de otra persona con la de un espectador de una obra maestra de arte: el lector de una prueba tiene una sensación similar de regocijo al comprender como el autor original de la prueba, por mucho que, según él, el espectador de una obra maestra tiene una sensación de euforia similar a la del pintor o escultor original. De hecho, se pueden estudiar escritos matemáticos y científicos como literatura .

Philip J. Davis y Reuben Hersh han comentado que el sentido de la belleza matemática es universal entre los matemáticos practicantes. A modo de ejemplo, proporcionan dos pruebas de la irracionalidad de 2 . La primera es la prueba tradicional por contradicción , atribuida a Euclides ; la segunda es una demostración más directa que involucra el teorema fundamental de la aritmética que, argumentan, llega al meollo de la cuestión. Davis y Hersh argumentan que los matemáticos encuentran la segunda prueba más atractiva desde el punto de vista estético porque se acerca a la naturaleza del problema.

Paul Erdős era bien conocido por su noción de un "Libro" hipotético que contenía las pruebas matemáticas más elegantes o hermosas. No existe un acuerdo universal de que un resultado tenga una prueba "más elegante"; Gregory Chaitin se ha opuesto a esta idea.

Los filósofos a veces han criticado el sentido de la belleza o la elegancia de los matemáticos como, en el mejor de los casos, vagamente expresado. Sin embargo, del mismo modo, los filósofos de las matemáticas han tratado de caracterizar qué hace que una prueba sea más deseable que otra cuando ambas son lógicamente sólidas.

Otro aspecto de la estética relacionada con las matemáticas son las opiniones de los matemáticos sobre los posibles usos de las matemáticas para fines considerados poco éticos o inapropiados. La exposición más conocida de este punto de vista se encuentra en el libro de GH Hardy A Mathematician's Apology , en el que Hardy sostiene que las matemáticas puras son superiores en belleza a las matemáticas aplicadas precisamente porque no pueden usarse para la guerra y fines similares.

Revistas

Ver también

Obras relacionadas

Temas históricos

Notas

Otras lecturas

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enlaces externos