Fijación de calibre - Gauge fixing

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En la física de las teorías del calibre , la fijación del calibre (también llamada elección de un calibre ) denota un procedimiento matemático para hacer frente a los grados de libertad redundantes en las variables de campo . Por definición, una teoría de gauge representa cada configuración físicamente distinta del sistema como una clase de equivalencia de configuraciones de campo locales detalladas. Cualquier dos configuraciones detalladas en la misma clase de equivalencia están relacionadas por una transformación de calibre , equivalente a un corte a lo largo de ejes no físicos en el espacio de configuración. La mayoría de las predicciones físicas cuantitativas de una teoría de gauge solo pueden obtenerse bajo una receta coherente para suprimir o ignorar estos grados de libertad no físicos.

Aunque los ejes no físicos en el espacio de configuraciones detalladas son una propiedad fundamental del modelo físico, no existe un conjunto especial de direcciones "perpendiculares" a ellos. Por tanto, existe una enorme libertad al tomar una "sección transversal" que represente cada configuración física mediante una configuración detallada particular (o incluso una distribución ponderada de las mismas). La fijación juiciosa del indicador puede simplificar enormemente los cálculos, pero se vuelve cada vez más difícil a medida que el modelo físico se vuelve más realista; su aplicación a la teoría cuántica de campos está plagada de complicaciones relacionadas con la renormalización , especialmente cuando el cálculo continúa en órdenes superiores . Históricamente, la búsqueda de procedimientos de fijación de calibres lógicamente consistentes y computacionalmente manejables, y los esfuerzos por demostrar su equivalencia frente a una desconcertante variedad de dificultades técnicas, ha sido un importante impulsor de la física matemática desde finales del siglo XIX hasta el presente.

Calibrar la libertad

La teoría de gauge arquetípica es la formulación Heaviside - Gibbs de la electrodinámica continua en términos de un cuatro potencial electromagnético , que se presenta aquí en notación Heaviside asimétrica de espacio / tiempo. El campo eléctrico E y el campo magnético B de las ecuaciones de Maxwell contienen sólo grados de libertad "físicos", en el sentido de que cada grado matemático de libertad en una configuración de campo electromagnético tiene un efecto medible por separado sobre los movimientos de las cargas de prueba en las proximidades. Estas variables de "intensidad de campo" se pueden expresar en términos del potencial escalar eléctrico y el potencial del vector magnético A a través de las relaciones: ${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ mathbf {E}} = - \ nabla \ varphi - {\ frac {\ parcial {\ mathbf {A}}} {\ parcial t}} \ ,, \ quad {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}.}$

Si la transformacion

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla \ psi}$

( 1 )

se hace, entonces B permanece sin cambios, ya que (con la identidad ) ${\ Displaystyle \ nabla \ times \ nabla \ psi = 0}$

${\ Displaystyle {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times ({\ mathbf {A}} + \ nabla \ psi) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}}$.

Sin embargo, esta transformación cambia E según

${\ Displaystyle {\ mathbf {E}} = - \ nabla \ varphi - {\ frac {\ parcial {\ mathbf {A}}} {\ parcial t}} - \ nabla {\ frac {\ parcial {\ psi} } {\ t parcial}} = - \ nabla \ izquierda (\ varphi + {\ frac {\ parcial {\ psi}} {\ t parcial}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial {\ mathbf {A} }} {\ t parcial}}}$.

Si otro cambio

${\ Displaystyle \ varphi \ rightarrow \ varphi - {\ frac {\ parcial {\ psi}} {\ parcial t}}}$

( 2 )

se hace entonces E también permanece igual. Por lo tanto, los campos E y B no cambian si se toma cualquier función ψ ( r , t ) y simultáneamente se transforma A y φ mediante las transformaciones ( 1 ) y ( 2 ).

Una elección particular de los potenciales escalares y vectoriales es un indicador (más precisamente, potencial indicador ) y una función escalar ψ utilizada para cambiar el indicador se llama función de indicador . La existencia de números arbitrarios de funciones de calibre ψ ( r , t ) corresponde a la libertad de calibre U (1) de esta teoría. La fijación del indicador se puede realizar de muchas formas, algunas de las cuales se exponen a continuación.

Aunque ahora se habla a menudo del electromagnetismo clásico como una teoría de gauge, originalmente no se concibió en estos términos. El movimiento de una carga puntual clásica se ve afectado solo por las intensidades del campo eléctrico y magnético en ese punto, y los potenciales pueden tratarse como un mero dispositivo matemático para simplificar algunas pruebas y cálculos. Hasta el advenimiento de la teoría cuántica de campos no se pudo decir que los potenciales mismos son parte de la configuración física de un sistema. La primera consecuencia que se predijo con precisión y se verificó experimentalmente fue el efecto Aharonov-Bohm , que no tiene una contraparte clásica. Sin embargo, la libertad de calibre sigue siendo cierta en estas teorías. Por ejemplo, el efecto Aharonov-Bohm depende de una integral de línea de A alrededor de un lazo cerrado, y esta integral no cambia por

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla \ psi \ ,.}$

La fijación de calibres en teorías de calibre no abelianas , como la teoría de Yang-Mills y la relatividad general , es un tema bastante más complicado; para obtener más información, consulte la ambigüedad de Gribov , el fantasma de Faddeev-Popov y el paquete de marcos .

Una ilustración

Al mirar una varilla cilíndrica, ¿se puede saber si está torcida? Si la varilla es perfectamente cilíndrica, entonces la simetría circular de la sección transversal hace que sea imposible saber si está torcida o no. Sin embargo, si hubiera una línea recta dibujada a lo largo de la barra, entonces se podría decir fácilmente si hay o no un giro observando el estado de la línea. Dibujar una línea es fijar un indicador . Dibujar la línea estropea la simetría de la galga, es decir, la simetría circular U (1) de la sección transversal en cada punto de la varilla. La línea es equivalente a una función de calibre ; no necesita ser recto. Casi cualquier línea es una fijación de calibre válida, es decir, hay una gran libertad de calibre . Para saber si la varilla está torcida, primero debe conocer el calibre. Las cantidades físicas, como la energía de la torsión, no dependen del calibre, es decir, son invariantes en cuanto al calibre .

Calibre de culombio

El calibre de Coulomb (también conocido como calibre transversal ) se utiliza en química cuántica y física de la materia condensada y se define por la condición del calibre (más precisamente, condición de fijación del calibre)

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} (\ mathbf {r}, t) = 0 \ ,.}$

Es particularmente útil para cálculos "semiclásicos" en mecánica cuántica, en los que el potencial del vector está cuantificado pero la interacción de Coulomb no.

El medidor de Coulomb tiene varias propiedades:

Calibre de Lorenz

El calibre de Lorenz viene dado, en unidades SI , por:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = 0}$

y en unidades gaussianas por:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = 0.}$

Esto puede reescribirse como:

${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0.}$

donde está el cuatro potencial electromagnético , ∂ _μ el gradiente 4 [usando la firma métrica (+, -, -, -)]. ${\ Displaystyle A ^ {\ mu} = \ left [\, {\ tfrac {1} {c}} \ varphi, \, \ mathbf {A} \, \ right]}$

Es único entre los medidores de restricción en la retención de la invariancia de Lorentz manifiesta . Tenga en cuenta, sin embargo, que este indicador recibió originalmente el nombre del físico danés Ludvig Lorenz y no de Hendrik Lorentz ; a menudo se escribe mal "calibre de Lorentz". (Tampoco fue el primero en usarlo en los cálculos; fue introducido en 1888 por George F. FitzGerald ).

El medidor de Lorenz conduce a las siguientes ecuaciones de onda no homogéneas para los potenciales:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ varphi} {\ parcial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} {\ varphi } = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ parcial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} {\ mathbf {A}} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}$

De estas ecuaciones puede verse que, en ausencia de corriente y carga, las soluciones son potenciales que se propagan a la velocidad de la luz.

El indicador de Lorenz está incompleto en cierto sentido: queda un subespacio de transformaciones de indicador que también pueden preservar la restricción. Estos grados de libertad restantes corresponden a funciones de calibre que satisfacen la ecuación de onda

${\ Displaystyle {\ parcial ^ {2} \ psi \ sobre \ parcial t ^ {2}} = c ^ {2} \ nabla ^ {2} \ psi}$

Estos restantes grados de libertad del indicador se propagan a la velocidad de la luz. Para obtener un calibre completamente fijo, se deben agregar condiciones de contorno a lo largo del cono de luz de la región experimental.

Las ecuaciones de Maxwell en el medidor de Lorenz se simplifican a

${\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} \ parcial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = \ mu _ {0} j ^ {\ nu}}$

donde está la corriente de cuatro . ${\ Displaystyle j ^ {\ nu} = \ left [\, c \, \ rho, \, \ mathbf {j} \, \ right]}$

Dos soluciones de estas ecuaciones para la misma configuración de corriente se diferencian por una solución de la ecuación de onda de vacío

${\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} \ parcial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = 0}$.

De esta forma, está claro que los componentes del potencial satisfacen por separado la ecuación de Klein-Gordon y, por lo tanto, la condición de calibre de Lorenz permite ondas polarizadas transversales, longitudinales y "temporales" en los cuatro potenciales. Las polarizaciones transversales corresponden a la radiación clásica, es decir, ondas polarizadas transversalmente en la intensidad de campo. Para suprimir los estados de polarización "no físicos" longitudinales y similares al tiempo, que no se observan en experimentos a escalas de distancia clásicas, también se deben emplear restricciones auxiliares conocidas como identidades de Ward . Clásicamente, estas identidades son equivalentes a la ecuación de continuidad

${\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} j ^ {\ mu} = 0}$.

Muchas de las diferencias entre la electrodinámica clásica y cuántica pueden explicarse por el papel que juegan las polarizaciones longitudinales y temporales en las interacciones entre partículas cargadas a distancias microscópicas.

R _ξ medidores

Los medidores R _ξ son una generalización del medidor de Lorenz aplicable a las teorías expresadas en términos de un principio de acción con densidad lagrangiana . En lugar de fijar el indicador restringiendo el campo del indicador a priori , mediante una ecuación auxiliar, se agrega un término de ruptura del indicador al lagrangiano "físico" (invariante del indicador). ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ Displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = - {\ frac {\ left (\ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} \ right) ^ {2}} {2 \ xi}}}$

La elección del parámetro ξ determina la elección del calibre. La galga de Landau es clásicamente equivalente a la galga de Lorenz: se obtiene en el límite ξ  → 0 pero pospone la toma de ese límite hasta que la teoría haya sido cuantificada. Mejora el rigor de determinadas pruebas de existencia y equivalencia. La mayoría de los cálculos de la teoría cuántica de campos son más simples en el indicador Feynman-'t Hooft , en el que ξ = 1 ; algunos son más manejables en otros medidores R _ξ , como el medidor Yennie ξ = 3 .

Una formulación equivalente del medidor R _ξ utiliza un campo auxiliar , un campo escalar B sin dinámica independiente:

${\ Displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = segundo \, \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} + {\ frac {\ xi} {2}} B ^ {2}}$

El campo auxiliar, a veces llamado campo Nakanishi-Lautrup , se puede eliminar "completando el cuadrado" para obtener la forma anterior. Desde una perspectiva matemática el campo auxiliar es una variedad de bosones de Goldstone , y su uso tiene ventajas a la hora de identificar los estados asintóticos de la teoría, y especialmente al generalizar más allá de la QED.

Históricamente, el uso de medidores R _ξ fue un avance técnico significativo en la extensión de los cálculos de electrodinámica cuántica más allá del orden de un bucle . Además de retener la invariancia de Lorentz manifiesta , la prescripción R _ξ rompe la simetría bajo las transformaciones de calibre local mientras preserva la proporción de medidas funcionales de dos configuraciones de calibre físicamente distintas . Esto permite un cambio de variables en las que las perturbaciones infinitesimales a lo largo de direcciones "físicas" en el espacio de configuración están completamente desacopladas de aquellas a lo largo de direcciones "no físicas", permitiendo que estas últimas sean absorbidas en la normalización físicamente sin sentido de la integral funcional . Cuando ξ es finito, cada configuración física (órbita del grupo de transformaciones de calibre) está representada no por una única solución de una ecuación de restricción sino por una distribución gaussiana centrada en el extremo del término de ruptura del calibre. En términos de las reglas de Feynman de la teoría de calibre fijo, esto aparece como una contribución al propagador de fotones para líneas internas de fotones virtuales de polarización no física .

El propagador de fotones, que es el factor multiplicativo correspondiente a un fotón interno en la expansión del diagrama de Feynman de un cálculo QED, contiene un factor g _μν correspondiente a la métrica de Minkowski . Una expansión de este factor como una suma sobre las polarizaciones de fotones implica términos que contienen las cuatro polarizaciones posibles. La radiación polarizada transversalmente se puede expresar matemáticamente como una suma sobre una base polarizada lineal o circularmente . De manera similar, se pueden combinar las polarizaciones de calibre longitudinales y similares al tiempo para obtener polarizaciones "hacia adelante" y "hacia atrás"; se trata de una forma de coordenadas de cono de luz en las que la métrica está fuera de la diagonal. Una expansión del factor g _μν en términos de coordenadas circularmente polarizadas (espín ± 1) y de cono de luz se llama suma de espín . Las sumas de espín pueden ser muy útiles tanto para simplificar expresiones como para obtener una comprensión física de los efectos experimentales asociados con diferentes términos en un cálculo teórico.

Richard Feynman utilizó argumentos en torno a estas líneas en gran medida para justificar los procedimientos de cálculo que produjeron resultados consistentes, finitos y de alta precisión para parámetros observables importantes, como el momento magnético anómalo del electrón. Aunque sus argumentos a veces carecían de rigor matemático incluso para los estándares de los físicos y pasaban por alto detalles como la derivación de las identidades de Ward-Takahashi de la teoría cuántica, sus cálculos funcionaron y Freeman Dyson pronto demostró que su método era sustancialmente equivalente a los de Julian Schwinger. y Sin-Itiro Tomonaga , con quien Feynman compartió el Premio Nobel de Física de 1965 .

La radiación polarizada hacia adelante y hacia atrás se puede omitir en los estados asintóticos de una teoría cuántica de campos (ver identidad de Ward-Takahashi ). Por esta razón, y debido a que su aparición en sumas de espín puede verse como un mero dispositivo matemático en QED (muy parecido a los cuatro potenciales electromagnéticos en la electrodinámica clásica), a menudo se habla de ellos como "no físicos". Pero a diferencia de los procedimientos de fijación de calibres basados ​​en restricciones anteriores, el calibre R _{ξ se} generaliza bien a grupos de calibres no abelianos como el SU (3) de QCD . Los acoplamientos entre ejes de perturbación físicos y no físicos no desaparecen por completo bajo el correspondiente cambio de variables; Para obtener resultados correctos, se debe tener en cuenta el jacobiano no trivial de la incrustación de ejes de libertad de ancho dentro del espacio de configuraciones detalladas. Esto conduce a la aparición explícita de bosones gauge polarizados hacia adelante y hacia atrás en los diagramas de Feynman, junto con los fantasmas de Faddeev-Popov , que son aún más "no físicos" en el sentido de que violan el teorema de la estadística de espín . La relación entre estas entidades, y las razones por las que no aparecen como partículas en el sentido de la mecánica cuántica, se hace más evidente en el formalismo de cuantificación BRST .

Calibre abeliano máximo

En cualquier teoría del calibre no abeliano , cualquier calibre abeliano máximo es un calibre incompleto que fija la libertad de calibre fuera del subgrupo abeliano máximo . Ejemplos son

• Para la teoría de gauge SU (2) en dimensiones D, el subgrupo abeliano máximo es un subgrupo U (1). Si se elige que este sea el generado por la matriz de Pauli σ ₃ , entonces el calibre abeliano máximo es el que maximiza la función

${\ Displaystyle \ int d ^ {D} x \ left [\ left (A _ {\ mu} ^ {1} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {2} \ right) ^ {2} \ right] \ ,,}$

dónde

${\ Displaystyle {\ mathbf {A}} _ {\ mu} = A _ {\ mu} ^ {a} \ sigma _ {a} \ ,.}$

• Para la teoría de gauge SU (3) en dimensiones D, el subgrupo abeliano máximo es un subgrupo U (1) × U (1). Si se elige que este sea el generado por las matrices de Gell-Mann λ ₃ y λ ₈ , entonces el calibre abeliano máximo es el que maximiza la función

${\ Displaystyle \ int d ^ {D} x \ left [\ left (A _ {\ mu} ^ {1} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {2} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {4} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {5} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {6} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {7} \ right) ^ {2} \ right] \ ,,}$

dónde

${\ Displaystyle {\ mathbf {A}} _ {\ mu} = A _ {\ mu} ^ {a} \ lambda _ {a}}$

Esto se aplica regularmente en álgebras superiores (de grupos en las álgebras), por ejemplo, el álgebra de Clifford y como es regularmente.

Manómetros de uso menos común

En la literatura han aparecido varios otros medidores, que pueden ser beneficiosos en situaciones específicas.

Calibre de Weyl

El calibre Weyl (también conocido como calibre hamiltoniano o temporal ) es un calibre incompleto obtenido por la elección

${\ Displaystyle \ varphi = 0}$

Lleva el nombre de Hermann Weyl . Elimina el fantasma de la norma negativa , carece de invariancia de Lorentz manifiesta y requiere fotones longitudinales y una restricción en los estados.

Manómetro multipolar

La condición de calibre del calibre multipolar (también conocido como calibre de línea , calibre de puntos o calibre de Poincaré (llamado así por Henri Poincaré )) es:

${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {A} = 0}$.

Este es otro indicador en el que los potenciales se pueden expresar de forma sencilla en términos de campos instantáneos.

${\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = - \ mathbf {r} \ times \ int \ limits _ {0} ^ {1} \ mathbf {B} (u \ mathbf {r} , t) udu}$

${\ Displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = - \ mathbf {r} \ cdot \ int \ limits _ {0} ^ {1} \ mathbf {E} (u \ mathbf {r}, t) du.}$

Manómetro Fock-Schwinger

La condición de calibre del calibre Fock-Schwinger (llamado así por Vladimir Fock y Julian Schwinger ; a veces también llamado calibre relativista de Poincaré ) es:

${\ displaystyle x ^ {\ mu} A _ {\ mu} = 0}$

donde x ^μ es el cuatro vector de posición .

Calibre de Dirac

La condición de ancho de vía de Dirac no lineal (llamada así por Paul Dirac ) es:

${\ Displaystyle A _ {\ mu} A ^ {\ mu} = k ^ {2}}$

Referencias

Otras lecturas

• Landau, Lev ; Lifshitz, Evgeny (2007). La teoría clásica de campos . Ámsterdam: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• Jackson, JD (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.