Ecuaciones de Maxwell - Maxwell's equations

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas que, junto con la ley de fuerza de Lorentz , forman la base del electromagnetismo clásico, la óptica clásica y los circuitos eléctricos . Las ecuaciones proporcionan un modelo matemático para tecnologías eléctricas, ópticas y de radio, como generación de energía, motores eléctricos, comunicación inalámbrica , lentes, radar, etc. Describen cómo los campos eléctricos y magnéticos son generados por cargas , corrientes y cambios de campos. . Las ecuaciones llevan el nombre del físico y matemático James Clerk Maxwell , quien, en 1861 y 1862, publicó una forma temprana de las ecuaciones que incluía la ley de fuerza de Lorentz. Maxwell utilizó por primera vez las ecuaciones para proponer que la luz es un fenómeno electromagnético.

Una consecuencia importante de las ecuaciones de Maxwell es que demuestran cómo los campos eléctricos y magnéticos fluctuantes se propagan a una velocidad constante ( c ) en el vacío. Conocidas como radiación electromagnética , estas ondas pueden ocurrir en varias longitudes de onda para producir un espectro de radiación desde ondas de radio hasta rayos gamma .

Las ecuaciones tienen dos variantes principales. Las ecuaciones microscópicas tienen aplicabilidad universal pero son difíciles de manejar para cálculos comunes. Relacionan los campos eléctricos y magnéticos con la carga total y la corriente total, incluidas las cargas y corrientes complicadas en los materiales a escala atómica . Las ecuaciones macroscópicas definen dos nuevos campos auxiliares que describen el comportamiento a gran escala de la materia sin tener que considerar cargas a escala atómica y fenómenos cuánticos como los espines. Sin embargo, su uso requiere parámetros determinados experimentalmente para una descripción fenomenológica de la respuesta electromagnética de los materiales.

El término "ecuaciones de Maxwell" también se utiliza a menudo para formulaciones alternativas equivalentes . Se prefieren las versiones de las ecuaciones de Maxwell basadas en los potenciales escalares eléctricos y magnéticos para resolver explícitamente las ecuaciones como un problema de valor límite , mecánica analítica o para su uso en mecánica cuántica . La formulación covariante (sobre el espacio-tiempo en lugar del espacio y el tiempo por separado) hace que se manifieste la compatibilidad de las ecuaciones de Maxwell con la relatividad especial . Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo , comúnmente utilizadas en física de alta energía y gravitacional , son compatibles con la relatividad general . De hecho, Albert Einstein desarrolló la relatividad especial y general para acomodar la velocidad invariante de la luz, una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell, con el principio de que solo el movimiento relativo tiene consecuencias físicas.

La publicación de las ecuaciones marcó la unificación de una teoría para fenómenos previamente descritos por separado: magnetismo, electricidad, luz y radiación asociada. Desde mediados del siglo XX, se ha entendido que las ecuaciones de Maxwell no dan una descripción exacta de los fenómenos electromagnéticos, sino que son un límite clásico de la teoría más precisa de la electrodinámica cuántica .

Descripciones conceptuales

Ley de Gauss

La ley de Gauss describe la relación entre un campo eléctrico estático y cargas eléctricas : un campo eléctrico estático apunta lejos de las cargas positivas y hacia las cargas negativas, y la salida neta del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada, incluida la carga unida. debido a la polarización del material. El coeficiente de la proporción es la permitividad del espacio libre .

Ley de Gauss para el magnetismo : las líneas del campo magnético nunca comienzan ni terminan, sino que forman bucles o se extienden hasta el infinito como se muestra aquí con el campo magnético debido a un anillo de corriente.

Ley de Gauss para el magnetismo

La ley de Gauss para el magnetismo establece que las cargas eléctricas no tienen análogos magnéticos, llamados monopolos magnéticos . En cambio, el campo magnético de un material se atribuye a un dipolo y la salida neta del campo magnético a través de una superficie cerrada es cero. Los dipolos magnéticos pueden representarse como bucles de corriente o pares inseparables de "cargas magnéticas" iguales y opuestas. Precisamente, el flujo magnético total a través de una superficie gaussiana es cero y el campo magnético es un campo vectorial solenoidal .

Ley de Faraday

En una tormenta geomagnética , una oleada en el flujo de partículas cargadas altera temporalmente el campo magnético de la Tierra , lo que induce campos eléctricos en la atmósfera de la Tierra, provocando así sobretensiones en las redes de energía eléctrica . (No a escala).

La versión de Maxwell-Faraday de la ley de inducción de Faraday describe cómo un campo magnético variable en el tiempo crea ("induce") un campo eléctrico . En forma integral, establece que el trabajo por unidad de carga requerido para mover una carga alrededor de un circuito cerrado es igual a la tasa de cambio del flujo magnético a través de la superficie cerrada.

La inducción electromagnética es el principio de funcionamiento detrás de muchos generadores eléctricos : por ejemplo, una barra magnética giratoria crea un campo magnético cambiante, que a su vez genera un campo eléctrico en un cable cercano.

Ley de Ampère con la adición de Maxwell

La memoria de núcleo magnético (1954) es una aplicación de la ley de Ampère . Cada núcleo almacena un bit de datos.

La ley de Ampère con la adición de Maxwell establece que los campos magnéticos se pueden generar de dos formas: mediante corriente eléctrica (esta era la "ley de Ampère" original) y cambiando los campos eléctricos (esta era la "adición de Maxwell", que él llamó corriente de desplazamiento ). En forma integral, el campo magnético inducido alrededor de cualquier circuito cerrado es proporcional a la corriente eléctrica más la corriente de desplazamiento (proporcional a la tasa de cambio del flujo eléctrico) a través de la superficie cerrada.

La adición de Maxwell a la ley de Ampère es particularmente importante: hace que el conjunto de ecuaciones sea matemáticamente consistente para campos no estáticos, sin cambiar las leyes de Ampere y Gauss para campos estáticos. Sin embargo, como consecuencia, predice que un campo magnético cambiante induce un campo eléctrico y viceversa. Por lo tanto, estas ecuaciones permiten que las " ondas electromagnéticas " autosostenidas viajen a través del espacio vacío (consulte la ecuación de ondas electromagnéticas ).

La velocidad calculada para las ondas electromagnéticas, que podría predecirse a partir de experimentos sobre cargas y corrientes, coincide con la velocidad de la luz ; de hecho, la luz es una forma de radiación electromagnética (al igual que los rayos X , las ondas de radio y otras). Maxwell comprendió la conexión entre las ondas electromagnéticas y la luz en 1861, unificando así las teorías del electromagnetismo y la óptica .

Formulación en términos de campos eléctricos y magnéticos (microscópica o en versión de vacío)

En la formulación del campo eléctrico y magnético hay cuatro ecuaciones que determinan los campos para una carga y una distribución de corriente dadas. Una ley de la naturaleza separada , la ley de fuerza de Lorentz , describe cómo, a la inversa, los campos eléctrico y magnético actúan sobre partículas cargadas y corrientes. Maxwell incluyó una versión de esta ley en las ecuaciones originales pero, por convención, ya no se incluye. El siguiente formalismo de cálculo vectorial , obra de Oliver Heaviside , se ha convertido en estándar. Es manifiestamente invariante a la rotación y, por lo tanto, matemáticamente mucho más transparente que las 20 ecuaciones originales de Maxwell en componentes x, y, z. Las formulaciones relativistas son aún más simétricas y manifiestamente invariantes de Lorentz. Para las mismas ecuaciones expresadas mediante cálculo tensorial o formas diferenciales, consulte formulaciones alternativas .

Las formulaciones diferencial e integral son matemáticamente equivalentes y ambas son útiles. La formulación integral relaciona campos dentro de una región del espacio con campos en el límite y, a menudo, se puede utilizar para simplificar y calcular directamente campos a partir de distribuciones simétricas de cargas y corrientes. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales son puramente locales y son un punto de partida más natural para calcular los campos en situaciones más complicadas (menos simétricas), por ejemplo, utilizando el análisis de elementos finitos .

Clave de la notación

Los símbolos en negrita representan cantidades vectoriales y los símbolos en cursiva representan cantidades escalares , a menos que se indique lo contrario. Las ecuaciones introducen el campo eléctrico , E , un campo vectorial , y el campo magnético , B , un campo pseudovectorial , cada uno de los cuales generalmente tiene una dependencia del tiempo y la ubicación. Las fuentes son

Las constantes universales que aparecen en las ecuaciones (las dos primeras explícitamente solo en la formulación de unidades SI) son:

Ecuaciones diferenciales

En las ecuaciones diferenciales,

  • el símbolo nabla , , denota el operador de gradiente tridimensional , del ,
  • el símbolo ∇⋅ (pronunciado "del dot") denota el operador de divergencia ,
  • el símbolo ∇ × (pronunciado "del cross") denota el operador de rizo .

Ecuaciones integrales

En las ecuaciones integrales,

  • Ω es cualquier volumen fijo con superficie límite cerrada ∂Ω , y
  • Σ es cualquier superficie fija con curva límite cerrada ∂Σ ,

Aquí, un volumen o superficie fijo significa que no cambia con el tiempo. Las ecuaciones son correctas, completas y un poco más fáciles de interpretar con superficies independientes del tiempo. Por ejemplo, dado que la superficie es independiente del tiempo, podemos llevar la diferenciación bajo el signo integral en la ley de Faraday:

Las ecuaciones de Maxwell se pueden formular con superficies y volúmenes posiblemente dependientes del tiempo usando la versión diferencial y usando la fórmula de Gauss y Stokes de manera apropiada.

  • \ oiint es una superficie integral sobre la superficie límite ∂Ω , con el bucle que indica que la superficie está cerrada
  • es una integral de volumen sobre el volumen Ω ,
  • es una línea integral alrededor de la curva límite ∂Σ , con el bucle que indica que la curva está cerrada.
  • es una superficie integral sobre la superficie Σ ,
  • La carga eléctrica total Q encerrada en Ω es la integral de volumen sobre Ω de la densidad de carga ρ (consulte la sección "formulación macroscópica" a continuación):
donde dV es el elemento de volumen .
donde d S denota el elemento del vector diferencial del área de la superficie S , normal a la superficie Σ . (El área del vector a veces se denota por A en lugar de S , pero esto entra en conflicto con la notación del potencial del vector magnético ).

Formulación en la convención de unidades SI

Nombre Ecuaciones integrales Ecuaciones diferenciales
Ley de Gauss \ oiint
Ley de Gauss para el magnetismo \ oiint
Ecuación de Maxwell-Faraday

( Ley de inducción de Faraday )

Ley circuital de Ampère (con la adición de Maxwell)

Formulación en la convención de unidades gaussianas

Las definiciones de carga, campo eléctrico y campo magnético se pueden modificar para simplificar el cálculo teórico, absorbiendo factores dimensionados de ε 0 y μ 0 en las unidades de cálculo, por convención. Con un cambio correspondiente en la convención para la ley de fuerza de Lorentz , esto produce la misma física, es decir, trayectorias de partículas cargadas o trabajo realizado por un motor eléctrico. Estas definiciones se prefieren a menudo en física teórica y de alta energía, donde es natural tomar el campo eléctrico y magnético con las mismas unidades, para simplificar la apariencia del tensor electromagnético : el objeto covariante de Lorentz que unifica el campo eléctrico y magnético contendría entonces componentes con unidad y dimensión uniformes. Tales definiciones modificadas se usan convencionalmente con las unidades gaussianas ( CGS ). Usando estas definiciones y convenciones, coloquialmente "en unidades gaussianas", las ecuaciones de Maxwell se convierten en:

Nombre Ecuaciones integrales Ecuaciones diferenciales
Ley de Gauss \ oiint
Ley de Gauss para el magnetismo \ oiint
Ecuación de Maxwell-Faraday

( Ley de inducción de Faraday )

Ley circuital de Ampère (con la adición de Maxwell)

Las ecuaciones son particularmente legibles cuando la longitud y el tiempo se miden en unidades compatibles como segundos y segundos luz, es decir, en unidades tales que c = 1 unidad de longitud / unidad de tiempo. Desde 1983 (ver Sistema Internacional de Unidades ), los metros y los segundos son compatibles excepto por el legado histórico ya que por definición c = 299 792 458 m / s (≈ 1.0 pies / nanosegundo).

Otros cambios cosméticos, llamados racionalizaciones, son posibles absorbiendo factores de 4 π dependiendo de si queremos que la ley de Coulomb o la ley de Gauss salgan bien, ver Unidades de Lorentz-Heaviside (usadas principalmente en física de partículas ).

Relación entre formulaciones diferenciales e integrales

La equivalencia de las formulaciones diferencial e integral son una consecuencia del teorema de divergencia de Gauss y del teorema de Kelvin-Stokes .

Flujo y divergencia

Volumen Ω y su contorno cerrado ∂Ω , que contiene (respectivamente encerrando) una fuente (+) y el fregadero (-) de un campo vectorial F . Aquí, F podría ser el campo E con cargas eléctricas de origen, pero no el campo B , que no tiene cargas magnéticas como se muestra. La unidad exterior normal es n .

De acuerdo con el teorema de divergencia de Gauss (puramente matemático) , el flujo eléctrico a través de la superficie límite ∂Ω se puede reescribir como

\ oiint

Por tanto, la versión integral de la ecuación de Gauss puede reescribirse como

Dado que Ω es arbitrario (por ejemplo, una pequeña bola arbitraria con centro arbitrario), esto se cumple si y solo si el integrando es cero en todas partes. Esta es la formulación de ecuaciones diferenciales de la ecuación de Gauss hasta un reordenamiento trivial.

De manera similar, reescribiendo el flujo magnético en la ley de Gauss para el magnetismo en forma integral da

\ oiint .

que se satisface para todos los Ω si y solo si en todas partes.

Circulación y rizo

Superficie Σ con límite cerrado ∂Σ . F podrían ser los campos E o B. Nuevamente, n es la unidad normal . (El rizo de un campo vectorial no se parece literalmente a las "circulaciones", esta es una representación heurística).

Por el teorema de Kelvin-Stokes podemos reescribir las integrales de línea de los campos alrededor de la curva límite cerrada ∂Σ en una integral de la "circulación de los campos" (es decir, sus rizos ) sobre una superficie que limita, es decir

,

Por tanto, la ley de Ampere modificada en forma integral se puede reescribir como

.

Dado que Σ puede elegirse arbitrariamente, por ejemplo, como un disco pequeño arbitrario, orientado arbitrariamente y centrado arbitrariamente, concluimos que el integrando es cero si se satisface la ley modificada de Ampere en forma de ecuaciones diferenciales. Asimismo, se sigue la equivalencia de la ley de Faraday en forma diferencial e integral.

Las integrales de línea y los rizos son análogos a las cantidades en la dinámica de fluidos clásica : la circulación de un fluido es la integral de línea del campo de velocidad de flujo del fluido alrededor de un circuito cerrado, y la vorticidad del fluido es el rizo del campo de velocidad.

Conservación de carga

La invariancia de carga se puede derivar como corolario de las ecuaciones de Maxwell. El lado izquierdo de la Ley de Ampere modificada tiene una divergencia cero por la identidad div-curl . Al expandir la divergencia del lado derecho, intercambiar derivadas y aplicar la ley de Gauss, se obtiene:

es decir

.

Según el Teorema de divergencia de Gauss, esto significa que la tasa de cambio de carga en un volumen fijo es igual a la corriente neta que fluye a través del límite:

\ oiint

En particular, en un sistema aislado se conserva la carga total.

Ecuaciones de vacío, ondas electromagnéticas y velocidad de la luz.

Este diagrama 3D muestra una onda plana linealmente polarizada que se propaga de izquierda a derecha, definida por E = E 0 sin (−ω t + kr ) y B = B 0 sin (−ω t + kr ) Los campos oscilantes son detectado en el punto de parpadeo. La longitud de onda horizontal es λ . E 0B 0 = 0 = E 0k = B 0k

En una región sin cargas ( ρ = 0 ) y sin corrientes ( J = 0 ), como en el vacío, las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

Tomando el rizo (∇ ×) de las ecuaciones del rizo, y usando el rizo de la identidad del rizo obtenemos

La cantidad tiene la dimensión de (tiempo / duración) 2 . Definiendo , las ecuaciones anteriores tienen la forma de ecuaciones de onda estándar

Ya durante la vida de Maxwell, se descubrió que los valores conocidos de y dan , entonces ya se sabía que eran la velocidad de la luz en el espacio libre. Esto le llevó a proponer que la luz y las ondas de radio estaban propagando ondas electromagnéticas, ya que se confirmó ampliamente. En el antiguo sistema SI de unidades, los valores de y son constantes definidas (lo que significa que por definición ) que definen el amperio y el metro. En el nuevo sistema SI , solo c mantiene su valor definido y la carga del electrón obtiene un valor definido.

En materiales con permitividad relativa , ε r , y permeabilidad relativa , μ r , la velocidad de fase de la luz se vuelve

que suele ser menor que c .

Además, E y B son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación de la onda, y están en fase entre sí. Una onda plana sinusoidal es una solución especial de estas ecuaciones. Las ecuaciones de Maxwell explican cómo estas ondas pueden propagarse físicamente a través del espacio. El campo magnético cambiante crea un campo eléctrico cambiante a través de la ley de Faraday . A su vez, ese campo eléctrico crea un campo magnético cambiante a través de la adición de Maxwell a la ley de Ampère . Este ciclo perpetuo permite que estas ondas, ahora conocidas como radiación electromagnética , se muevan a través del espacio a una velocidad c .

Formulación macroscópica

Las ecuaciones anteriores son la versión microscópica de las ecuaciones de Maxwell, que expresan los campos eléctrico y magnético en términos de las cargas y corrientes presentes (posiblemente a nivel atómico). A veces se le llama la forma "general", pero la versión macroscópica a continuación es igualmente general, la diferencia es de contabilidad.

La versión microscópica a veces se denomina "ecuaciones de Maxwell en el vacío": esto se refiere al hecho de que el medio material no está integrado en la estructura de las ecuaciones, sino que aparece solo en los términos de carga y corriente. La versión microscópica fue introducida por Lorentz, quien intentó utilizarla para derivar las propiedades macroscópicas de la materia a granel a partir de sus componentes microscópicos.

Las "ecuaciones macroscópicas de Maxwell", también conocidas como ecuaciones de Maxwell en la materia , son más similares a las que presentó el propio Maxwell.

Nombre Ecuaciones integrales (convención SI) Ecuaciones diferenciales (convención SI) Ecuaciones diferenciales (convención gaussiana)
Ley de Gauss \ oiint
Ley de Gauss para el magnetismo \ oiint
Ecuación de Maxwell-Faraday (ley de inducción de Faraday)
Ley circuital de Ampère (con la adición de Maxwell)

En las ecuaciones macroscópicas, la influencia de la carga ligada Q b y la corriente ligada I b se incorpora al campo de desplazamiento D y al campo de magnetización H , mientras que las ecuaciones dependen solo de las cargas libres Q f y las corrientes libres I f . Esto refleja una división de la carga eléctrica total Q y la corriente I (y sus densidades ρ y J ) en partes libres y unidas:

El costo de esta división es que los campos adicionales D y H deben determinarse a través de ecuaciones constituyentes fenomenológicas que relacionan estos campos con el campo eléctrico E y el campo magnético B , junto con la carga y la corriente ligadas.

Consulte a continuación para obtener una descripción detallada de las diferencias entre las ecuaciones microscópicas, que se ocupan de la carga total y la corriente, incluidas las contribuciones de material, útiles en aire / vacío; y las ecuaciones macroscópicas, que tratan con carga gratuita y actual, prácticas de usar dentro de los materiales.

Carga limitada y corriente

Izquierda: una vista esquemática de cómo un conjunto de dipolos microscópicos produce cargas superficiales opuestas, como se muestra en la parte superior e inferior. Derecha: Cómo un conjunto de bucles de corriente microscópicos se suman para producir un bucle de corriente que circula macroscópicamente. Dentro de los límites, las contribuciones individuales tienden a cancelarse, pero en los límites no se produce ninguna cancelación.

Cuando se aplica un campo eléctrico a un material dieléctrico, sus moléculas responden formando dipolos eléctricos microscópicos : sus núcleos atómicos se mueven una pequeña distancia en la dirección del campo, mientras que sus electrones se mueven una pequeña distancia en la dirección opuesta. Esto produce una carga unida macroscópica en el material a pesar de que todas las cargas involucradas están unidas a moléculas individuales. Por ejemplo, si cada molécula responde igual, similar a la que se muestra en la figura, estos pequeños movimientos de carga se combinan para producir una capa de carga unida positiva en un lado del material y una capa de carga negativa en el otro lado. La carga unida se describe más convenientemente en términos de la polarización P del material, su momento dipolar por unidad de volumen. Si P es uniforme, se produce una separación macroscópica de carga solo en las superficies donde P entra y sale del material. Para P no uniforme , también se produce una carga a granel.

De manera algo similar, en todos los materiales los átomos constituyentes exhiben momentos magnéticos que están intrínsecamente ligados al momento angular de los componentes de los átomos, más notablemente sus electrones . La conexión con el momento angular sugiere la imagen de un conjunto de bucles de corriente microscópicos. Fuera del material, un conjunto de tales bucles de corriente microscópicos no es diferente de una corriente macroscópica que circula alrededor de la superficie del material, a pesar del hecho de que ninguna carga individual viaja una gran distancia. Estas corrientes consolidados pueden describirse utilizando la magnetización M .

Las cargas ligadas muy complicadas y granulares y las corrientes ligadas, por lo tanto, se pueden representar en la escala macroscópica en términos de P y M , que promedian estas cargas y corrientes en una escala suficientemente grande para no ver la granularidad de los átomos individuales, pero también lo suficientemente pequeños como para que varíen con la ubicación en el material. Como tal, las ecuaciones macroscópicas de Maxwell ignoran muchos detalles en una escala fina que pueden no ser importantes para comprender los asuntos en una escala bruta al calcular campos que se promedian sobre un volumen adecuado.

Campos auxiliares, polarización y magnetización.

Las definiciones de los campos auxiliares son:

donde P es el campo de polarización y M es el campo de magnetización , que se definen en términos de cargas ligadas microscópicas y corrientes ligadas respectivamente. La densidad de carga ligada macroscópica ρ b y la densidad de corriente ligada J b en términos de polarización P y magnetización M se definen entonces como

Si definimos la carga total, ligada y libre y la densidad de corriente por

y use las relaciones definitorias anteriores para eliminar D , y H , las ecuaciones "macroscópicas" de Maxwell reproducen las ecuaciones "microscópicas".

Relaciones constitutivas

Con el fin de aplicar las ecuaciones de Maxwell 'macroscópicos, es necesario especificar las relaciones entre campo de desplazamiento D y el campo eléctrico E , así como la magnetización de campo H y el campo magnético B . De manera equivalente, tenemos que especificar la dependencia de la polarización P (de ahí la carga ligada) y la magnetización M (de ahí la corriente ligada) del campo eléctrico y magnético aplicado. Las ecuaciones que especifican esta respuesta se denominan relaciones constitutivas . Para los materiales del mundo real, las relaciones constitutivas rara vez son simples, excepto aproximadamente, y generalmente se determinan mediante experimentos. Consulte el artículo principal sobre relaciones constitutivas para obtener una descripción más completa.

Para materiales sin polarización y magnetización, las relaciones constitutivas son (por definición)

donde ε 0 es la permitividad del espacio libre y μ 0 la permeabilidad del espacio libre. Como no hay cargo consolidado, el total, el cargo gratuito y la corriente son iguales.

Un punto de vista alternativo sobre las ecuaciones microscópicas es que son las ecuaciones macroscópicas junto con la afirmación de que el vacío se comporta como un "material" lineal perfecto sin polarización ni magnetización adicionales. De manera más general, para los materiales lineales, las relaciones constitutivas son

donde ε es la permitividad y μ la permeabilidad del material. Para el campo de desplazamiento D, la aproximación lineal suele ser excelente porque para todos los campos eléctricos o temperaturas más extremos que se pueden obtener en el laboratorio (láseres pulsados ​​de alta potencia) los campos eléctricos interatómicos de materiales del orden de 10 11 V / m son mucho más altos. que el campo externo. Sin embargo, para el campo de magnetización , la aproximación lineal puede romperse en materiales comunes como el hierro, lo que da lugar a fenómenos como la histéresis . Sin embargo, incluso el caso lineal puede tener varias complicaciones.

  • Para materiales homogéneos, ε y μ son constantes en todo el material, mientras que para materiales no homogéneos dependen de la ubicación dentro del material (y quizás del tiempo).
  • Para materiales isotrópicos, ε y μ son escalares, mientras que para materiales anisotrópicos (por ejemplo, debido a la estructura cristalina) son tensores .
  • Los materiales son generalmente dispersivos , por lo que ε y μ dependen de la frecuencia de cualquier onda EM incidente.

Incluso de manera más general, en el caso de materiales no lineales (véase por ejemplo no lineal de óptica ), D y P no son necesariamente proporcional a E , de manera similar H o M no es necesariamente proporcional a B . En general, D y H dependen tanto de E como de B , de la ubicación y el tiempo, y posiblemente de otras cantidades físicas.

En las aplicaciones, también se debe describir cómo se comportan las corrientes libres y la densidad de carga en términos de E y B posiblemente acopladas a otras cantidades físicas como la presión y la masa, densidad numérica y velocidad de las partículas portadoras de carga. Por ejemplo, las ecuaciones originales dadas por Maxwell (ver Historia de las ecuaciones de Maxwell ) incluían la ley de Ohm en la forma

Formulaciones alternativas

A continuación se presenta un resumen de algunos de los otros numerosos formalismos matemáticos para escribir las ecuaciones microscópicas de Maxwell, con las columnas que separan las dos ecuaciones homogéneas de Maxwell de las dos no homogéneas que involucran carga y corriente. Cada formulación tiene versiones directamente en términos de los campos eléctricos y magnéticos, e indirectamente en términos del potencial eléctrico φ y el potencial vector A . Los potenciales se introdujeron como una forma conveniente de resolver las ecuaciones homogéneas, pero se pensó que toda la física observable estaba contenida en los campos eléctrico y magnético (o relativísticamente, el tensor de Faraday). Sin embargo, los potenciales juegan un papel central en la mecánica cuántica y actúan de forma mecánica cuántica con consecuencias observables incluso cuando los campos eléctricos y magnéticos desaparecen ( efecto Aharonov-Bohm ).

Cada tabla describe un formalismo. Consulte el artículo principal para obtener detalles de cada formulación. Las unidades SI se utilizan en todas partes.

Cálculo vectorial
Formulación Ecuaciones homogéneas Ecuaciones no homogéneas
Los campos

3D espacio euclidiano + tiempo

Potenciales (cualquier calibre )

3D espacio euclidiano + tiempo

Potenciales ( calibre de Lorenz )

3D espacio euclidiano + tiempo

Cálculo tensorial
Formulación Ecuaciones homogéneas Ecuaciones no homogéneas
Los campos

espacio + tiempo

métrica espacial independiente del tiempo

Potenciales

espacio (con restricciones topológicas) + tiempo

métrica espacial independiente del tiempo

Potenciales (calibre de Lorenz)

espacio (con restricciones topológicas) + tiempo

métrica espacial independiente del tiempo

Formas diferenciales
Formulación Ecuaciones homogéneas Ecuaciones no homogéneas
Los campos

Cualquier espacio + tiempo

Potenciales (cualquier calibre)

Cualquier espacio (con restricciones topológicas) + tiempo

Potencial (indicador de Lorenz)

Cualquier espacio (con restricciones topológicas) + tiempo

métrica espacial independiente del tiempo

Formulaciones relativistas

Las ecuaciones de Maxwell también se pueden formular en un espacio de Minkowski similar al espacio-tiempo, donde el espacio y el tiempo se tratan en pie de igualdad. Las formulaciones del espacio-tiempo directo ponen de manifiesto que las ecuaciones de Maxwell son relativísticamente invariantes . Debido a esta simetría, los campos eléctrico y magnético se tratan en pie de igualdad y se reconocen como componentes del tensor de Faraday . Esto reduce las cuatro ecuaciones de Maxwell a dos, lo que simplifica las ecuaciones, aunque ya no podemos usar la fórmula vectorial familiar. De hecho, las ecuaciones de Maxwell en la formulación espacio + tiempo no son invariantes de Galileo y tienen invariancia de Lorentz como una simetría oculta. Esta fue una importante fuente de inspiración para el desarrollo de la teoría de la relatividad. De hecho, incluso la formulación que trata el espacio y el tiempo por separado no es una aproximación no relativista y describe la misma física simplemente cambiando el nombre de las variables. Por esta razón, las ecuaciones invariantes relativistas también se denominan también ecuaciones de Maxwell.

Cada tabla describe un formalismo.

Cálculo tensorial
Formulación Ecuaciones homogéneas Ecuaciones no homogéneas
Los campos

Espacio Minkowski

Potenciales (cualquier calibre)

Espacio Minkowski

Potenciales (calibre de Lorenz)

Espacio Minkowski

Los campos

Cualquier espacio-tiempo

Potenciales (cualquier calibre)

Cualquier espacio-tiempo (con restricciones topológicas)

Potenciales (calibre de Lorenz)

Cualquier espacio-tiempo (con restricciones topológicas)

Formas diferenciales
Formulación Ecuaciones homogéneas Ecuaciones no homogéneas
Los campos

Cualquier espacio-tiempo

Potenciales (cualquier calibre)

Cualquier espacio-tiempo (con restricciones topológicas)

Potenciales (calibre de Lorenz)

Cualquier espacio-tiempo (con restricciones topológicas)

  • En la formulación del cálculo tensorial, el tensor electromagnético F αβ es un tensor covariante antisimétrico de orden 2; el de cuatro potenciales , A α , es un vector covariante; la corriente, J α , es un vector; los corchetes, [] , denotan antisimetrización de índices ; α es la derivada con respecto a la coordenada, x α . En el espacio de Minkowski, las coordenadas se eligen con respecto a un marco inercial ; ( x α ) = ( ct , x , y , z ) , de modo que el tensor métrico utilizado para subir y bajar índices es η αβ = diag (1, −1, −1, −1) . El operador de d'Alembert en el espacio de Minkowski es ◻ = ∂ αα como en la formulación vectorial. En los espaciotiempos generales, el sistema de coordenadas x α es arbitrario, la derivada covariante α , el tensor de Ricci, R αβ y el aumento y la disminución de los índices se definen mediante la métrica de Lorentz, g αβ y el operador de d'Alembert se define como ◻ = ∇ αα . La restricción topológica es que el segundo grupo de cohomología real del espacio desaparece (ver la formulación de forma diferencial para una explicación). Esto se viola para el espacio de Minkowski con una línea eliminada, que puede modelar un espacio-tiempo (plano) con un monopolo puntual en el complemento de la línea.
  • En la formulación de forma diferencial en espacios-tiempos arbitrarios, F = 1/2F αβ d x α ∧ d x β es el tensor electromagnético considerado como una forma 2, A = A α d x α es la forma potencial 1,es la forma 3 actual, d es la derivada exterior yes la Hodge estrella en formas definidas (hasta su orientación, es decir, su signo) por la métrica Lorentziana del espacio-tiempo. En el caso especial de 2 formas como F , la estrella de Hodgedepende del tensor métrico solo para su escala local. Esto significa que, tal como se formuló, las ecuaciones de campo de forma diferencial son conforme invariantes , pero la condición de calibre de Lorenz rompe la invariancia conforme. El operadores eloperador d'Alembert-Laplace-Beltrami en formas 1 en un espacio-tiempo lorentziano arbitrario. La condición topológica es nuevamente que el segundo grupo de cohomología real es "trivial" (lo que significa que su forma se deriva de una definición). Por el isomorfismo con la segunda cohomología de De Rham, esta condición significa que cada forma 2 cerrada es exacta.

Otros formalismos incluyen la formulación del álgebra geométrica y una representación matricial de las ecuaciones de Maxwell . Históricamente, se utilizó una formulación cuaterniónica .

Soluciones

Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales parciales que relacionan los campos eléctricos y magnéticos entre sí y con las cargas y corrientes eléctricas. A menudo, las cargas y las corrientes dependen de los campos eléctricos y magnéticos a través de la ecuación de fuerza de Lorentz y las relaciones constitutivas . Todos ellos forman un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas que a menudo son muy difíciles de resolver: las soluciones abarcan todos los diversos fenómenos del electromagnetismo clásico . A continuación se presentan algunas observaciones generales.

Como para cualquier ecuación diferencial, las condiciones de contorno y las condiciones iniciales son necesarias para una solución única . Por ejemplo, incluso sin cargas y sin corrientes en ningún lugar del espacio-tiempo, existen soluciones obvias para las cuales E y B son cero o constantes, pero también hay soluciones no triviales correspondientes a ondas electromagnéticas. En algunos casos, las ecuaciones de Maxwell se resuelven en todo el espacio y las condiciones de contorno se dan como límites asintóticos en el infinito. En otros casos, las ecuaciones de Maxwell se resuelven en una región finita del espacio, con condiciones apropiadas en el límite de esa región, por ejemplo, un límite absorbente artificial que representa el resto del universo, o condiciones de límite periódicas , o paredes que aíslan una región pequeña. del mundo exterior (como con una guía de ondas o un resonador de cavidad ).

Las ecuaciones de Jefimenko (o los potenciales de Liénard-Wiechert estrechamente relacionados ) son la solución explícita a las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctricos y magnéticos creados por cualquier distribución dada de cargas y corrientes. Asume condiciones iniciales específicas para obtener la llamada "solución retardada", donde los únicos campos presentes son los creados por las cargas. Sin embargo, las ecuaciones de Jefimenko son inútiles en situaciones en las que las cargas y corrientes se ven afectadas por los campos que crean.

Se pueden usar métodos numéricos para ecuaciones diferenciales para calcular soluciones aproximadas de las ecuaciones de Maxwell cuando las soluciones exactas son imposibles. Estos incluyen el método de elementos finitos y el método de dominio del tiempo de diferencias finitas . Para obtener más detalles, consulte electromagnetismo computacional .

Sobredeterminación de las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell parecen sobredeterminadas , ya que involucran seis incógnitas (los tres componentes de E y B ) pero ocho ecuaciones (una para cada una de las dos leyes de Gauss, tres componentes vectoriales para cada una de las leyes de Faraday y de Ampere). (Las corrientes y las cargas no son incógnitas, y pueden especificarse libremente y están sujetas a la conservación de la carga ). Esto está relacionado con un cierto tipo limitado de redundancia en las ecuaciones de Maxwell: se puede probar que cualquier sistema que satisfaga la ley de Faraday y la ley de Ampere automáticamente también satisface las dos Las leyes de Gauss, siempre que lo haga la condición inicial del sistema, y ​​asumiendo la conservación de la carga y la inexistencia de monopolos magnéticos. Esta explicación fue introducida por primera vez por Julius Adams Stratton en 1941.

Aunque es posible simplemente ignorar las dos leyes de Gauss en un algoritmo numérico (aparte de las condiciones iniciales), la precisión imperfecta de los cálculos puede conducir a violaciones cada vez mayores de esas leyes. Al introducir variables ficticias que caracterizan estas violaciones, las cuatro ecuaciones no quedan sobredeterminadas después de todo. La formulación resultante puede conducir a algoritmos más precisos que tengan en cuenta las cuatro leyes.

Ambas identidades , que reducen ocho ecuaciones a seis independientes, son la verdadera razón de la sobredeterminación. O se pueden hacer referencia a las definiciones de dependencia lineal para PDE .

De manera equivalente, se puede considerar que la sobredeterminación implica la conservación de la carga eléctrica y magnética, como se requieren en la derivación descrita anteriormente, pero implícitas en las dos leyes de Gauss.

Para las ecuaciones algebraicas lineales, se pueden crear reglas "agradables" para reescribir las ecuaciones y las incógnitas. Las ecuaciones pueden ser linealmente dependientes. Pero en las ecuaciones diferenciales, y especialmente en las PDE, se necesitan condiciones de contorno adecuadas, que dependen de formas no tan obvias de las ecuaciones. Aún más, si uno las reescribe en términos de potencial vectorial y escalar, entonces las ecuaciones están subdeterminadas debido a la fijación de calibre .

Ecuaciones de Maxwell como límite clásico de QED

Las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz (junto con el resto del electromagnetismo clásico) son extraordinariamente exitosas para explicar y predecir una variedad de fenómenos. Sin embargo, no tienen en cuenta los efectos cuánticos, por lo que su dominio de aplicabilidad es limitado. Las ecuaciones de Maxwell se consideran el límite clásico de la electrodinámica cuántica (QED).

Algunos fenómenos electromagnéticos observados son incompatibles con las ecuaciones de Maxwell. Estos incluyen la dispersión fotón-fotón y muchos otros fenómenos relacionados con fotones o fotones virtuales , " luz no clásica " y entrelazamiento cuántico de campos electromagnéticos (ver óptica cuántica ). Por ejemplo, la teoría de Maxwell no puede describir la criptografía cuántica , ni siquiera aproximadamente. La naturaleza aproximada de las ecuaciones de Maxwell se vuelve cada vez más evidente cuando se entra en el régimen de campo extremadamente fuerte (ver Euler-Heisenberg Lagrangiano ) o en distancias extremadamente pequeñas.

Por último, las ecuaciones de Maxwell no pueden explicar cualquier fenómeno que implica individuales fotones que interactúan con la materia cuántica, como el efecto fotoeléctrico , la ley de Planck , la ley de Duane-Hunt , y detectores de luz de un único fotón . Sin embargo, muchos de estos fenómenos pueden aproximarse utilizando una teoría a mitad de camino de la materia cuántica acoplada a un campo electromagnético clásico, ya sea como campo externo o con el valor esperado de la corriente de carga y la densidad en el lado derecho de las ecuaciones de Maxwell.

Variaciones

Las variaciones populares de las ecuaciones de Maxwell como teoría clásica de los campos electromagnéticos son relativamente escasas porque las ecuaciones estándar han resistido notablemente bien la prueba del tiempo.

Monopolos magnéticos

Las ecuaciones de Maxwell postulan que hay carga eléctrica , pero no carga magnética (también llamados monopolos magnéticos ), en el universo. De hecho, nunca se ha observado carga magnética, a pesar de las búsquedas exhaustivas, y es posible que no exista. Si existieran, tanto la ley de Gauss para el magnetismo como la ley de Faraday tendrían que ser modificadas, y las cuatro ecuaciones resultantes serían completamente simétricas bajo el intercambio de campos eléctricos y magnéticos.

Ver también

Notas

Referencias

Se pueden encontrar más lecturas en la lista de libros de texto sobre electromagnetismo.

Publicaciones históricas

Los desarrollos antes de la relatividad:

Otras lecturas

  • Imaeda, K. (1995), "Formulación biquaterniónica de las ecuaciones de Maxwell y sus soluciones", en Ablamowicz, Rafał; Lounesto, Pertti (eds.), Clifford Algebras and Spinor Structures , Springer, págs. 265–280, doi : 10.1007 / 978-94-015-8422-7_16 , ISBN 978-90-481-4525-6

enlaces externos

Tratamientos modernos

Otro