Cuantización (física) - Quantization (physics)

En física , la cuantificación (en inglés británico, quantisation ) es el procedimiento de transición sistemático desde una comprensión clásica de los fenómenos físicos a una comprensión más nueva conocida como mecánica cuántica . Es un procedimiento para construir mecánica cuántica a partir de la mecánica clásica . Una generalización que implica infinitos grados de libertad es la cuantificación de campo , como en la "cuantificación del campo electromagnético ", refiriéndose a los fotones como " cuantos " de campo (por ejemplo, como cuantos de luz ). Este procedimiento es básico a las teorías de la física atómica , química, física de partículas , la física nuclear , física de materia condensada , y la óptica cuántica .

Cuantización canónica

La cuantificación canónica desarrolla la mecánica cuántica a partir de la mecánica clásica . Se introduce una relación de conmutación entre coordenadas canónicas . Técnicamente, uno convierte coordenadas en operadores, mediante combinaciones de operadores de creación y aniquilación . Los operadores actúan sobre los estados cuánticos de la teoría. El estado de menor energía se llama estado de vacío .

Esquemas de cuantificación

Incluso dentro del marco de la cuantificación canónica, existe una dificultad asociada a la cuantificación de observables arbitrarios en el espacio de fase clásico. Ésta es la ambigüedad del ordenamiento : clásicamente, las variables de posición y momento x y p conmutan, pero sus contrapartes del operador de la mecánica cuántica no. Se han propuesto varios esquemas de cuantificación para resolver esta ambigüedad, de los cuales el más popular es el esquema de cuantificación de Weyl . Sin embargo, el teorema de Groenewold-van Hove dicta que no existe un esquema de cuantificación perfecto. En concreto, si las cuantificaciones de x y p se considera que son los operadores de posición y el momento de costumbre, entonces no hay esquema de cuantificación puede reproducir perfectamente las relaciones entre los paréntesis de Poisson observables clásicos. Consulte el teorema de Groenewold para obtener una versión de este resultado.

Cuantización canónica covariante

Hay una manera de realizar una cuantificación canónica sin tener que recurrir al enfoque no covariante de foliar el espacio - tiempo y elegir un hamiltoniano . Este método se basa en una acción clásica, pero es diferente del enfoque integral funcional.

El método no se aplica a todas las acciones posibles (por ejemplo, acciones con una estructura no causal o acciones con "flujos" de calibre ). Comienza con el álgebra clásica de todos los funcionales (suaves) sobre el espacio de configuración. Esta álgebra está coorientada por el ideal generado por las ecuaciones de Euler-Lagrange . Luego, este álgebra de cociente se convierte en un álgebra de Poisson mediante la introducción de un corchete de Poisson derivable de la acción, llamado corchete de Peierls . Esta álgebra de Poisson se deforma entonces ℏ de la misma manera que en la cuantificación canónica.

En la teoría cuántica de campos , también hay una forma de cuantificar acciones con "flujos" de calibre . Implica el formalismo Batalin-Vilkovisky , una extensión del formalismo BRST .

Cuantización de deformaciones

Uno de los primeros intentos de cuantificación natural fue la cuantificación de Weyl, propuesta por Hermann Weyl en 1927. Aquí, se intenta asociar un observable de mecánica cuántica (un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert) con una función de valor real en el espacio de fase clásico. La posición y el impulso en este espacio de fase se asignan a los generadores del grupo de Heisenberg, y el espacio de Hilbert aparece como una representación de grupo del grupo de Heisenberg. En 1946, HJ Groenewold consideró el producto de un par de tales observables y preguntó cuál sería la función correspondiente en el espacio de fase clásico. Esto lo llevó a descubrir el producto estelar del espacio-fase de un par de funciones. De manera más general, esta técnica conduce a la cuantificación de la deformación, donde el producto ★ se toma como una deformación del álgebra de funciones en una variedad simpléctica o variedad de Poisson. Sin embargo, como esquema de cuantificación natural (un funtor ), el mapa de Weyl no es satisfactorio.

Por ejemplo, el mapa de Weyl del clásico momento angular al cuadrado no es solo el operador cuántico de momento angular al cuadrado, sino que además contiene un término constante 2/2. (Esta compensación de término adicional es pedagógicamente significativa, ya que explica el momento angular que no desaparece de la órbita de Bohr en el estado fundamental en el átomo de hidrógeno, aunque el estado fundamental QM estándar del átomo tiene 1 desaparecido ).

Sin embargo, como un mero cambio de representación , el mapa de Weyl es útil e importante, ya que subyace a la formulación del espacio de fase equivalente alternativo de la mecánica cuántica convencional.

Cuantización geométrica

En física matemática, la cuantificación geométrica es un enfoque matemático para definir una teoría cuántica correspondiente a una teoría clásica dada. Intenta realizar la cuantificación, para la que en general no existe una receta exacta, de tal forma que quedan manifiestas ciertas analogías entre la teoría clásica y la teoría cuántica. Por ejemplo, se debe incorporar la similitud entre la ecuación de Heisenberg en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica y la ecuación de Hamilton en la física clásica.

Bertram Kostant y Jean-Marie Souriau desarrollaron en la década de 1970 un enfoque más geométrico de la cuantificación, en el que el espacio de fase clásico puede ser una variedad simpléctica general . El método se desarrolla en dos etapas. Primero, una vez construye un "espacio de Hilbert prequantum" que consta de funciones cuadradas integrables (o, más propiamente, secciones de un haz de líneas) sobre el espacio de fase. Aquí se pueden construir operadores que satisfagan relaciones de conmutación correspondientes exactamente a las relaciones clásicas de Poisson-paréntesis. Por otro lado, este espacio prequantum de Hilbert es demasiado grande para ser físicamente significativo. Luego, se restringe a funciones (o secciones) que dependen de la mitad de las variables en el espacio de fase, lo que produce el espacio cuántico de Hilbert.

Cuantización de bucle

Consulte Gravedad cuántica de bucle .

Cuantización integral de ruta

Una teoría mecánica clásica viene dada por una acción, siendo las configuraciones permisibles las que son extremas con respecto a las variaciones funcionales de la acción. También se puede construir una descripción mecánica cuántica del sistema clásico a partir de la acción del sistema por medio de la formulación integral de trayectoria .

Enfoque de la mecánica estadística cuántica

Ver principio de incertidumbre .

Enfoque variacional de Schwinger

Véase el principio de acción cuántica de Schwinger .

Ver también

Referencias

  • Abraham, R. y Marsden (1985): Fundamentos de la mecánica , ed. Addison – Wesley, ISBN  0-8053-0102-X
  • Ali, ST y Engliš, M. (2005). "Métodos de cuantificación: una guía para físicos y analistas". Reseñas en Física Matemática 17 (04), 391-490. arXiv : math-ph / 0405065 doi : 10.1142 / S0129055X05002376
  • Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fase". Boletín de física de Asia Pacífico . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142 / S2251158X12000069 . S2CID  119230734 .
  • G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashntly , métodos topológicos geométricos y algebraicos en mecánica cuántica (World Scientific, 2005) ISBN  981-256-129-3
  • Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer
  • M. Peskin, D. Schroeder, Introducción a la teoría cuántica de campos (Westview Press, 1995) ISBN  0-201-50397-2
  • Todorov, Ivan (2012). "La cuantificación es un misterio". preimpresión de arXiv arXiv: 1206.3116 (2012)
  • Weinberg, Steven, La teoría cuántica de los campos (3 volúmenes)

Notas

  1. Hall 2013 Capítulo 13
  2. ^ Teorema de Hall 2013 13.13
  3. ^ Weyl, H. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik . 46 (1–2): 1–46. Código Bib : 1927ZPhy ... 46 .... 1W . doi : 10.1007 / BF02055756 . S2CID 121036548 .  
  4. ^ Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Physica . 12 (7): 405–460. Código bibliográfico : 1946Phy .... 12..405G . doi : 10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4 . ISSN  0031-8914 .
  5. ^ Dahl, Jens Peder; Schleich, Wolfgang P. (2002). "Conceptos de energías cinéticas radiales y angulares". Physical Review A . 65 (2): 022109. arXiv : quant-ph / 0110134 . Código Bibliográfico : 2002PhRvA..65b2109D . doi : 10.1103 / PhysRevA.65.022109 . ISSN  1050-2947 . S2CID  39409789 .
  6. ^ Hall 2013 Capítulos 22 y 23