Grupo divisible - Divisible group

En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de grupos , un grupo divisible es un grupo abeliano en el que cada elemento puede, en cierto sentido, se divide por números enteros positivos, o más exactamente, cada elemento es una n º múltiple para cada entero positivo n . Los grupos divisibles son importantes para comprender la estructura de los grupos abelianos, especialmente porque son los grupos abelianos inyectivos .

Definición

Un grupo abeliano es divisible si, para cada entero positivo y cada , existe tal que . Una condición equivalente es: para cualquier número entero positivo , ya que la existencia de para cada y implica que , y en la otra dirección es cierto para cada grupo. Una tercera condición equivalente es que un grupo abeliano es divisible si y sólo si es un objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos ; por esta razón, un grupo divisible a veces se llama grupo inyectivo . ${\ Displaystyle (G, +)}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle g \ in G}$ ${\ Displaystyle y \ en G}$ ${\ Displaystyle ny = g}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle nG = G}$ ${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle nG \ supseteq G}$ ${\ Displaystyle nG \ subseteq G}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$

Un grupo abeliano es - divisible por un primo si por cada , existe tal que . De manera equivalente, un grupo abeliano es -divisible si y solo si . ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle g \ in G}$ ${\ Displaystyle y \ en G}$ ${\ Displaystyle py = g}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle pG = G}$

Ejemplos

Los números racionales forman un grupo divisible bajo la suma. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$
De manera más general, el grupo aditivo subyacente de cualquier espacio vectorial sobre es divisible. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$
Todo cociente de un grupo divisible es divisible. Por tanto, es divisible. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$
El p - componente primario de , que es isomorfo al p - grupo cuasicíclico, es divisible. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p] / \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [p ^ {\ infty}]}$
El grupo multiplicativo de números complejos es divisible. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$
Todo grupo abeliano existencialmente cerrado (en el sentido teórico del modelo ) es divisible.

Propiedades

Si un grupo divisible es un subgrupo de un grupo abeliano, entonces es un sumando directo de ese grupo abeliano.
Cada grupo abeliano puede integrarse en un grupo divisible.
Los grupos divisibles no triviales no se generan de forma finita .
Además, cada grupo abeliano puede integrarse en un grupo divisible como un subgrupo esencial de una manera única.
Un grupo abeliano es divisible si y solo si es p -divisible para cada primo p .
Sea un anillo . Si es un grupo divisible, entonces es inyectivo en la categoría de - módulos . ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Z} {\ text {-Mod}}} (A, T)}$ ${\ Displaystyle A}$

Teorema de estructura de grupos divisibles

Sea G un grupo divisible. Entonces el subgrupo de torsión Tor ( G ) de G es divisible. Desde un grupo divisible es un módulo inyectiva , Tor ( G ) es un sumando directo de G . Entonces

{\ Displaystyle G = \ mathrm {Tor} (G) \ oplus G / \ mathrm {Tor} (G).}

Como cociente de un grupo divisible, G / Tor ( G ) es divisible. Además, no tiene torsión . Por lo tanto, es un espacio vectorial sobre Q y, por lo tanto, existe un conjunto I tal que

{\ Displaystyle G / \ mathrm {Tor} (G) = \ bigoplus _ {i \ in I} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} ^ {(I)}.}

La estructura del subgrupo de torsión es más difícil de determinar, pero se puede demostrar que para todos los números primos p existe tal que ${\ Displaystyle I_ {p}}$

{\ Displaystyle (\ mathrm {Tor} (G)) _ {p} = \ bigoplus _ {i \ in I_ {p}} \ mathbb {Z} [p ^ {\ infty}] = \ mathbb {Z} [ p ^ {\ infty}] ^ {(I_ {p})},}

donde es el componente p -primario de Tor ( G ). ${\ Displaystyle (\ mathrm {Tor} (G)) _ {p}}$

Por tanto, si P es el conjunto de números primos,

{\ Displaystyle G = \ left (\ bigoplus _ {p \ in \ mathbf {P}} \ mathbb {Z} [p ^ {\ infty}] ^ {(I_ {p})} \ right) \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(I)}.}

Las cardinalidades de los conjuntos I y I _p para p ∈ P se determinan de forma única por el grupo G .

Sobre inyectable

Como se indicó anteriormente, cualquier grupo abeliano A puede estar incrustado de forma única en un grupo divisible D como un subgrupo esencial . Este grupo divisible D es la envoltura inyectiva de A , y este concepto es el casco inyectivo en la categoría de grupos abelianos.

Grupos abelianos reducidos

Se dice que un grupo abeliano se reduce si su único subgrupo divisible es {0}. Cada grupo abeliano es la suma directa de un subgrupo divisible y un subgrupo reducido. De hecho, existe un subgrupo divisible único más grande de cualquier grupo, y este subgrupo divisible es un sumando directo. Esta es una característica especial de los anillos hereditarios como los enteros Z : la suma directa de módulos inyectivos es inyectiva porque el anillo es noetheriano , y los cocientes de inyectivos son inyectivos porque el anillo es hereditario, por lo que cualquier submódulo generado por módulos inyectivos es inyectivo. Lo contrario es el resultado de ( Matlis 1958 ): si cada módulo tiene un submódulo inyectivo máximo único, entonces el anillo es hereditario.

El teorema de Ulm da una clasificación completa de los grupos abelianos periódicos reducidos contables .

Generalización

Varias definiciones distintas generalizan grupos divisibles en módulos divisibles. Las siguientes definiciones se han utilizado en la literatura para definir un módulo divisible M sobre un anillo R :

rM = M para todos distinto de cero r en R . (A veces se requiere que r no sea un divisor de cero, y algunos autores requieren que R sea un dominio ).
Por cada director izquierda ideales Ra , cualquier homomorfismo de Ra en M se extiende a un homomorfismo de R en M . (Este tipo de módulo divisible también se denomina módulo principalmente inyectivo ).
Por cada finitamente generado ideal a izquierda L de R , cualquier homomorfismo de L en M se extiende a un homomorfismo de R en M .

Las dos últimas condiciones son "versiones restringidas" del criterio de Baer para módulos inyectivos . Dado que los módulos inyectivos de la izquierda extienden los homomorfismos de todos los ideales de la izquierda a R , los módulos inyectivos son claramente divisibles en los sentidos 2 y 3.

Si R es además un dominio, las tres definiciones coinciden. Si R es un dominio ideal izquierdo principal, entonces los módulos divisibles coinciden con los módulos inyectivos. Así, en el caso del anillo de números enteros Z , que es un dominio ideal principal, un módulo Z (que es exactamente un grupo abeliano) es divisible si y solo si es inyectivo.

Si R es un dominio conmutativo , entonces los módulos R inyectivos coinciden con los módulos R divisibles si y solo si R es un dominio Dedekind .

Ver también

Notas

Referencias

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