Biyección, inyección y sobreyección - Bijection, injection and surjection

	sobreyectiva	no sobreyectiva
inyectivo	biyectivo	solo inyectable
no- inyectivo	solo sobreyectiva	general

En matemáticas , las inyecciones , sobreyecciones y biyecciones son clases de funciones que se distinguen por la forma en que los argumentos ( expresiones de entrada del dominio ) y las imágenes (expresiones de salida del codominio ) se relacionan o se asignan entre sí.

Una función mapea elementos de su dominio a elementos de su codominio. Dada una función : ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$

La función es inyectiva , o uno a uno , si cada elemento del codominio está mapeado a lo sumo por un elemento del dominio, o de manera equivalente, si distintos elementos del dominio mapean a elementos distintos en el codominio. Una función inyectiva también se llama inyección . Notacionalmente:

{\ Displaystyle \ forall x, x '\ in X, f (x) = f (x') \ implica x = x ',}

o, de manera equivalente (usando transposición lógica ),

{\ Displaystyle \ forall x, x '\ in X, x \ neq x' \ implica f (x) \ neq f (x ').}

La función es sobreyectiva , o sobre , si cada elemento del codominio está mapeado por al menos un elemento del dominio. Es decir, la imagen y el codominio de la función son iguales. Una función sobreyectiva es una sobreyección . Notacionalmente:

{\ Displaystyle \ forall y \ en Y, \ existe x \ en X {\ text {tal que}} y = f (x).}

La función es biyectiva ( uno a uno y sobre , correspondencia uno a uno o invertible ) si cada elemento del codominio está mapeado por exactamente un elemento del dominio. Es decir, la función es tanto inyectiva como sobreyectiva. Una función biyectiva también se llama biyección . Es decir, combinando las definiciones de inyectiva y sobreyectiva,

{\ Displaystyle \ forall y \ en Y, \ existe! x \ in X {\ text {tal que}} y = f (x),}

donde significa " existe exactamente una

x

".

{\ Displaystyle \ existe! x}

En cualquier caso (para cualquier función), se cumple lo siguiente:

{\ Displaystyle \ forall x \ en X, \ existe! y \ in Y {\ text {tal que}} y = f (x).}

Una función inyectiva no necesita ser sobreyectiva (no todos los elementos del codominio pueden estar asociados con argumentos), y una función sobreyectiva no necesita ser inyectiva (algunas imágenes pueden estar asociadas con más de un argumento). Las cuatro posibles combinaciones de características inyectivas y sobreyectivas se ilustran en los diagramas adyacentes.

Inyección

Composición inyectiva: la segunda función no tiene por qué ser inyectiva.

Una función es inyectiva ( uno a uno ) si cada elemento posible del codominio está mapeado como máximo por un argumento. De manera equivalente, una función es inyectiva si asigna distintos argumentos a distintas imágenes. Una función inyectiva es una inyección . La definición formal es la siguiente.

La función es inyectiva, si para todos ,

{\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}

{\ Displaystyle x, x '\ en X}

{\ Displaystyle f (x) = f (x ') \ Rightarrow x = x'.}

Los siguientes son algunos hechos relacionados con las inyecciones:

Una función es inyectiva si y solo si está vacía o se deja invertible ; Es decir, no es una función que dicha función identidad en X . Aquí está la imagen de . ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle g \ colon f (X) \ to X}$ ${\ Displaystyle g \ circ f =}$ ${\ Displaystyle f (X)}$ ${\ Displaystyle f}$
Dado que cada función es sobreyectiva cuando su codominio está restringido a su imagen , cada inyección induce una biyección sobre su imagen. Más precisamente, cada inyección se puede factorizar como una biyección seguida de una inclusión de la siguiente manera. Dejar que sea con codominio restringido a su imagen, y dejar que sea el mapa de inserción en . Entonces . Se da una factorización dual para las sobreyecciones a continuación. ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$ ${\ Displaystyle f_ {R} \ colon X \ rightarrow f (X)}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle i \ colon f (X) \ to X}$ ${\ Displaystyle f (X)}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle f = i \ circ f_ {R}}$
La composición de dos inyecciones es nuevamente una inyección, pero si es inyectable, solo se puede concluir que es inyectable (ver figura). ${\ Displaystyle g \ circ f}$ ${\ Displaystyle f}$
Cada incrustación es inyectiva.

Surjection

Composición sobreyectiva: la primera función no necesita ser sobreyectiva.

Una función es sobreyectiva o sobre si cada elemento del codominio está mapeado por al menos un elemento del dominio . En otras palabras, cada elemento del codominio tiene una preimagen no vacía . De manera equivalente, una función es sobreyectiva si su imagen es igual a su codominio. Una función sobreyectiva es una sobreyección . La definición formal es la siguiente.

La función es sobreyectiva, si para todos , existe tal que

{\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}

{\ Displaystyle y \ in Y}

{\ Displaystyle x \ in X}

{\ Displaystyle f (x) = y.}

Los siguientes son algunos hechos relacionados con las sobreyecciones:

Una función es sobreyectiva si y solo si es invertible a la derecha, es decir, si y solo si hay una función en la que la identidad funciona . (Esta afirmación es equivalente al axioma de elección ). ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$ ${\ Displaystyle g \ colon Y \ to X}$ ${\ Displaystyle f \ circ g =}$ ${\ Displaystyle Y}$
Al colapsar todos los argumentos que se mapean en una imagen fija dada, cada sobreyección induce una biyección de un conjunto cociente de su dominio a su codominio. Más precisamente, los preimages bajo f de los elementos de la imagen de son las clases de equivalencia de una relación de equivalencia en el dominio de , de manera que x y y son equivalentes si y sólo ellos tener la misma imagen bajo . Como todos los elementos de cualquiera de estas clases de equivalencia están mapeados por en el mismo elemento del codominio, esto induce una biyección entre el cociente establecido por esta relación de equivalencia (el conjunto de las clases de equivalencia) y la imagen de (que es su codominio cuando es surgective). Además, f es la composición de la proyección canónica de f al conjunto del cociente, y la biyección entre el conjunto del cociente y el codominio de . ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f}$
La composición de dos sobreyecciones es nuevamente una sobreyección, pero si es sobreyectiva, sólo se puede concluir que es sobreyectiva (ver figura). ${\ Displaystyle g \ circ f}$ ${\ Displaystyle g}$

Biyección

Composición biyectiva: la primera función no necesita ser sobreyectiva y la segunda función no necesita ser inyectiva.

Una función es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva. Una función biyectiva también se llama biyección o correspondencia uno a uno . Una función es biyectiva si y solo si todas las imágenes posibles están mapeadas por exactamente un argumento. Esta condición equivalente se expresa formalmente como sigue.

La función es biyectiva, si para todos , hay un único tal que

{\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}

{\ Displaystyle y \ in Y}

{\ Displaystyle x \ in X}

{\ Displaystyle f (x) = y.}

Los siguientes son algunos hechos relacionados con las biyecciones:

Una función es biyectiva si y solo si es invertible, es decir, hay una función tal que la identidad funcione en X y la identidad funcione en . Esta función asigna cada imagen a su preimagen única. ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$ ${\ Displaystyle g \ colon Y \ to X}$ ${\ Displaystyle g \ circ f =}$ ${\ Displaystyle f \ circ g =}$ ${\ Displaystyle Y}$
La composición de dos biyecciones es nuevamente una biyección, pero si es una biyección, entonces solo se puede concluir que es inyectiva y sobreyectiva (ver la figura a la derecha y las observaciones anteriores sobre inyecciones y sobreyecciones). ${\ Displaystyle g \ circ f}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle g}$
Las biyecciones de un conjunto a sí mismo forman un grupo bajo composición, llamado grupo simétrico .

Cardinalidad

Supongamos que se quiere definir qué significa que dos conjuntos "tengan el mismo número de elementos". Una forma de hacerlo es decir que dos conjuntos "tienen el mismo número de elementos", si y solo si todos los elementos de un conjunto pueden emparejarse con los elementos del otro, de tal manera que cada elemento esté emparejado con exactamente un elemento. En consecuencia, uno puede definir dos conjuntos para que "tengan el mismo número de elementos", si hay una biyección entre ellos. En cuyo caso, se dice que los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad .

Asimismo, se puede decir que el conjunto "tiene menos o el mismo número de elementos" que el conjunto , si hay una inyección de a ; también se puede decir que el conjunto "tiene menos que el número de elementos" en el conjunto , si hay una inyección de a , pero no una biyección entre y . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$

Ejemplos de

Es importante especificar el dominio y codominio de cada función, ya que al cambiarlos, las funciones que parecen ser iguales pueden tener propiedades diferentes.

Inyectiva y sobreyectiva (biyectiva): La función de identidad id _X para cada conjunto no vacío X , y por lo tanto específicamente ${\ Displaystyle \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R}: x \ mapsto x.}$; ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {+} \ to \ mathbf {R} ^ {+}: x \ mapsto x ^ {2}}$ , y por lo tanto también su inverso ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {+} \ to \ mathbf {R} ^ {+}: x \ mapsto {\ sqrt {x}}.}$; La función exponencial (es decir, la función exponencial con su codominio restringido a su imagen), y por lo tanto también su inverso el logaritmo natural ${\ Displaystyle \ exp \ colon \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R} ^ {+}: x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {x}}$ ${\ Displaystyle \ ln \ colon \ mathbf {R} ^ {+} \ to \ mathbf {R}: x \ mapsto \ ln {x}.}$

Inyectiva y no sobreyectiva: La función exponencial ${\ Displaystyle \ exp \ colon \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R}: x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {x}.}$

No inyectable y sobreyectivo: ${\ Displaystyle \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R}: x \ mapsto (x-1) x (x + 1) = x ^ {3} -x.}$; ${\ Displaystyle \ mathbf {R} \ to [-1,1]: x \ mapsto \ sin (x).}$

No inyectable y no sobreyectivo: ${\ Displaystyle \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R}: x \ mapsto \ sin (x).}$

Propiedades

Para cada función $f$ , subconjunto $X$ del dominio y subconjunto $Y$ de la codomain, $X \subset f -1 (f (X))$ y $f (f -1 (Y)) \subset Y$ . Si $f$ es inyectiva, entonces $X = f -1 (f (X))$ , y si $f$ es sobreyectiva, entonces $f (f -1 (Y)) = Y$ .
Para cada función $h : X \to Y$ , se puede definir una sobreyección $H : X \to h (X): x \to h (x)$ y una inyección $I : h (X) \to Y : y \to y$ . Sigue eso . Esta descomposición es única hasta el isomorfismo . ${\ Displaystyle h = I \ circ H}$

Teoría de categorías

En la categoría de conjuntos , las inyecciones, sobreyecciones y biyecciones corresponden precisamente a monomorfismos , epimorfismos e isomorfismos , respectivamente.

Historia

La terminología inyectiva-sobreyectiva-biyectiva (tanto como sustantivos como adjetivos) fue acuñada originalmente por el grupo francés Bourbaki , antes de su adopción generalizada.

Ver también

Referencias

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g "El glosario definitivo de jerga matemática superior" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f "Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva" . www.mathsisfun.com . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
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^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Farlow, SJ "Inyecciones, sobreyecciones y biyecciones" (PDF) . math.umaine.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f "6.3: inyecciones, sobreyecciones y biyecciones" . Matemáticas LibreTexts . 2017-09-20 . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
^ "Sección 7.3 (00V5): Mapas inyectables y sobreyectivos de pre-ondas: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
^ Mashaal, Maurice (2006). Bourbaki . American Mathematical Soc. pag. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.

enlaces externos

Usos más tempranos de algunas de las palabras de las matemáticas: la entrada sobre Inyección, Sobreyección y Biyección tiene la historia de Inyección y términos relacionados.

[:0-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g "El glosario definitivo de jerga matemática superior" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .

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[:2-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f "Biyección, inyección y sobreyección | Wiki brillante de matemáticas y ciencia" . shiny.org . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .

[:3-4] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Farlow, SJ "Inyecciones, sobreyecciones y biyecciones" (PDF) . math.umaine.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .

[:4-5] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f "6.3: inyecciones, sobreyecciones y biyecciones" . Matemáticas LibreTexts . 2017-09-20 . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .

[6] "Sección 7.3 (00V5): Mapas inyectables y sobreyectivos de pre-ondas: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .

[7] Mashaal, Maurice (2006). Bourbaki . American Mathematical Soc. pag. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.

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