Cuadrilátero bicéntrico - Bicentric quadrilateral

En la geometría euclidiana , un cuadrilátero bicéntrico es un cuadrilátero convexo que tiene un círculo y un círculo circunferencial . Los radios y el centro de estos círculos se denominan inradio y circunradio , e incentro y circuncentro, respectivamente. De la definición se deduce que los cuadriláteros bicéntricos tienen todas las propiedades tanto de los cuadriláteros tangenciales como de los cuadriláteros cíclicos . Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero de cuerda-tangente y cuadrilátero inscrito y circunscrito . También rara vez se le ha llamado un cuadrilátero de círculo doble y un cuadrilátero de doble trazo .

Si dos círculos, uno dentro del otro, son el círculo y el círculo de un cuadrilátero bicéntrico, entonces cada punto del círculo es el vértice de un cuadrilátero bicéntrico que tiene el mismo círculo y el mismo círculo. Este es un corolario de porisma de Poncelet , que fue probado por el matemático francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

Casos especiales

Ejemplos de cuadriláteros bicéntricos son cuadrados , cometas rectos y trapezoides tangenciales isósceles .

Caracterizaciones

Un cuadrilátero convexo ABCD con lados a , b , c , d es bicéntrico si y solo si los lados opuestos satisfacen el teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales y la propiedad del cuadrilátero cíclico de que los ángulos opuestos son suplementarios ; es decir,

${\ Displaystyle {\ begin {cases} a + c = b + d \\ A + C = B + D = \ pi. \ end {cases}}}$

Otras tres caracterizaciones se refieren a los puntos donde el círculo en un cuadrilátero tangencial es tangente a los lados. Si el círculo es tangente a los lados AB , BC , CD , DA en W , X , Y , Z respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y solo si se cumple alguna de las siguientes tres condiciones:

• WY es perpendicular a XZ
• ${\ Displaystyle {\ frac {AW} {WB}} = {\ frac {DY} {YC}}}$
• ${\ Displaystyle {\ frac {AC} {BD}} = {\ frac {AW + CY} {BX + DZ}}}$

El primero de estos tres significa que el cuadrilátero de contacto WXYZ es un cuadrilátero ortodiagonal .

Si E , F , G , H son los puntos medios de WX , XY , YZ , ZW respectivamente, entonces el cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y solo si el cuadrilátero EFGH es un rectángulo .

Según otra caracterización, si I es el incentro en un cuadrilátero tangencial donde las extensiones de los lados opuestos se cruzan en J y K , entonces el cuadrilátero también es cíclico si y solo si JIK es un ángulo recto .

Otra condición necesaria y suficiente es que un cuadrilátero tangencial ABCD sea ​​cíclico si y solo si su línea de Newton es perpendicular a la línea de Newton de su cuadrilátero de contacto WXYZ . (La línea de Newton de un cuadrilátero es la línea definida por los puntos medios de sus diagonales).

Construcción

Existe un método simple para construir un cuadrilátero bicéntrico:

Comienza con el círculo C _r alrededor del centro I con el radio r y luego dibuja dos cuerdas perpendiculares WY y XZ entre sí en el círculo C _r . En los puntos finales de los acordes dibujar las tangentes a , b , c y d a la circunferencia inscrita. Estos se cruzan en cuatro puntos A, B, C y D , que son los vértices de un cuadrilátero bicéntrico. Para dibujar el círculo circunferencial, dibuje dos bisectrices perpendiculares p ₁ y p ₂ en los lados del cuadrilátero bicéntrico a respectivamente b . Las bisectrices perpendiculares p ₁ y p _{2 se} cruzan en el centro O del círculo circunferencial C _R con la distancia x al centro I del círculo circular C _r . La circunferencia circunscrita puede extraerse alrededor del centro O .

La validez de esta construcción se debe a la caracterización de que, en un cuadrilátero tangencial ABCD , el cuadrilátero de contacto WXYZ tiene diagonales perpendiculares si y solo si el cuadrilátero tangencial también es cíclico .

Zona

Fórmulas en términos de cuatro cantidades

El área K de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de cuatro cantidades del cuadrilátero de varias formas diferentes. Si los lados son a , b , c , d , entonces el área está dada por

${\ Displaystyle \ Displaystyle K = {\ sqrt {abcd}}.}$

Este es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta . También se puede derivar directamente de la fórmula trigonométrica para el área de un cuadrilátero tangencial . Tenga en cuenta que lo contrario no se cumple: algunos cuadriláteros que no son bicéntricos también tienen área. Un ejemplo de tal cuadrilátero es un rectángulo no cuadrado . ${\ Displaystyle \ Displaystyle K = {\ sqrt {abcd}}.}$

El área también se puede expresar en términos de las longitudes de tangente e , f , g , h como

${\ Displaystyle K = {\ sqrt [{4}] {efgh}} (e + f + g + h).}$

Una fórmula para el área del cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I es

${\ Displaystyle K = AI \ cdot CI + BI \ cdot DI.}$

Si un cuadrilátero bicéntrico tiene cuerdas de tangencia k , ly diagonales p , q , entonces tiene un área

${\ Displaystyle K = {\ frac {klpq} {k ^ {2} + l ^ {2}}}.}$

Si k , l son las cuerdas de tangencia ym , n son los bimedianos del cuadrilátero, entonces el área se puede calcular usando la fórmula

${\ Displaystyle K = \ left | {\ frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {k ^ {2} -l ^ {2}}} \ right | kl}$

Esta fórmula no se puede utilizar si el cuadrilátero es una cometa derecha , ya que el denominador es cero en ese caso.

Si M y N son los puntos medios de las diagonales, y E y F son los puntos de intersección de las extensiones de lados opuestos, entonces el área de un cuadrilátero bicéntrico está dada por

${\ Displaystyle K = {\ frac {2MN \ cdot EI \ cdot FI} {EF}}}$

donde yo es el centro del círculo.

Fórmulas en términos de tres cantidades

El área de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de dos lados opuestos y el ángulo θ entre las diagonales de acuerdo con

${\ Displaystyle K = ac \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = bd \ cot {\ frac {\ theta} {2}}.}$

En términos de dos ángulos adyacentes y el radio r del círculo, el área está dada por

${\ Displaystyle K = 2r ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ sin {A}}} + {\ frac {1} {\ sin {B}}} \ right).}$

El área se da en términos del radio circunferencia R y el radio interno r como

${\ Displaystyle K = r (r + {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}) \ sin \ theta}$

donde θ es cualquier ángulo entre las diagonales.

Si M y N son los puntos medios de las diagonales, y E y F son los puntos de intersección de las extensiones de lados opuestos, entonces el área también se puede expresar como

${\ Displaystyle K = 2MN {\ sqrt {EQ \ cdot FQ}}}$

donde Q es el pie de la perpendicular a la línea EF que pasa por el centro del círculo.

Desigualdades

Si r y R son el radio interno y el radio circunferencial respectivamente, entonces el área K satisface las desigualdades

${\ Displaystyle \ Displaystyle 4r ^ {2} \ leq K \ leq 2R ^ {2}.}$

Hay igualdad en ambos lados solo si el cuadrilátero es un cuadrado .

Otra desigualdad para el área es

${\ Displaystyle K \ leq {\ tfrac {4} {3}} r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}$

donde r y R son el radio interno y el radio circunferencial respectivamente.

Una desigualdad similar que da un límite superior más agudo para el área que el anterior es

${\ Displaystyle K \ leq r (r + {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}})}$

con igualdad si y solo si el cuadrilátero es una cometa derecha .

Además, con los lados a, b, c, d y semiperímetro s :

${\ Displaystyle 2 {\ sqrt {K}} \ leq s \ leq r + {\ sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}};}$

${\ Displaystyle 6K \ leq ab + ac + ad + bc + bd + cd \ leq 4r ^ {2} + 4R ^ {2} + 4r {\ sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}}; }$

${\ Displaystyle 4Kr ^ {2} \ leq abcd \ leq {\ frac {16} {9}} r ^ {2} (r ^ {2} + 4R ^ {2}).}$

Fórmulas de ángulos

Si a , b , c , d son la longitud de los lados AB , BC , CD , DA respectivamente en un cuadrilátero bicéntrico ABCD , entonces sus ángulos de vértice se pueden calcular con la función tangente :

${\ Displaystyle \ tan {\ frac {A} {2}} = {\ sqrt {\ frac {bc} {ad}}} = \ cot {\ frac {C} {2}},}$

${\ Displaystyle \ tan {\ frac {B} {2}} = {\ sqrt {\ frac {cd} {ab}}} = \ cot {\ frac {D} {2}}.}$

Usando las mismas notaciones, para las funciones seno y coseno se cumplen las siguientes fórmulas:

${\ Displaystyle \ sin {\ frac {A} {2}} = {\ sqrt {\ frac {bc} {ad + bc}}} = \ cos {\ frac {C} {2}},}$

${\ Displaystyle \ cos {\ frac {A} {2}} = {\ sqrt {\ frac {ad} {ad + bc}}} = \ sin {\ frac {C} {2}},}$

${\ Displaystyle \ sin {\ frac {B} {2}} = {\ sqrt {\ frac {cd} {ab + cd}}} = \ cos {\ frac {D} {2}},}$

${\ Displaystyle \ cos {\ frac {B} {2}} = {\ sqrt {\ frac {ab} {ab + cd}}} = \ sin {\ frac {D} {2}}.}$

El ángulo θ entre las diagonales se puede calcular a partir de

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {bd} {ac}}}.}$

Inradius y circumradius

El radio interno r de un cuadrilátero bicéntrico está determinado por los lados a , b , c , d de acuerdo con

${\ Displaystyle \ Displaystyle r = {\ frac {\ sqrt {abcd}} {a + c}} = {\ frac {\ sqrt {abcd}} {b + d}}.}$

El circunradio R se da como un caso especial de la fórmula de Parameshvara . Está

${\ Displaystyle \ Displaystyle R = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)} {abcd}}}.}$

El inradius también se puede expresar en términos de las longitudes de tangentes consecutivas e , f , g , h de acuerdo con

${\ Displaystyle \ Displaystyle r = {\ sqrt {p. ej.}} = {\ sqrt {fh}}.}$

Estas dos fórmulas son de hecho condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero tangencial con un radio r sea cíclico .

Los cuatro lados a , b , c , d de un cuadrilátero bicéntrico son las cuatro soluciones de la ecuación cuártica

${\ Displaystyle y ^ {4} -2sy ^ {3} + (s ^ {2} + 2r ^ {2} + 2r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}) y ^ { 2} -2rs ({\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} + r) y + r ^ {2} s ^ {2} = 0}$

donde s es el semiperímetro y r y R son el radio interno y el radio circunferencial, respectivamente.

Si hay un cuadrilátero bicéntrico con un radio r cuyas longitudes de tangente son e , f , g , h , entonces existe un cuadrilátero bicéntrico con un radio r ^v cuyas longitudes de tangente son e ^v , f ^v , g ^v , h ^v , donde v puede sea ​​cualquier número real .

Un cuadrilátero bicéntrico tiene un radio mayor que cualquier otro cuadrilátero tangencial que tenga la misma secuencia de longitudes de lados.

Desigualdades

El circunradio R y el radio interno r satisfacen la desigualdad

${\ Displaystyle R \ geq {\ sqrt {2}} r}$

que fue probado por L. Fejes Tóth en 1948. Se mantiene con igualdad sólo cuando los dos círculos son concéntricos (tienen el mismo centro entre sí); entonces el cuadrilátero es un cuadrado . La desigualdad se puede probar de varias formas diferentes, una usando la doble desigualdad para el área de arriba.

Una extensión de la desigualdad anterior es

${\ Displaystyle {\ frac {r {\ sqrt {2}}} {R}} \ leq {\ frac {1} {2}} \ left (\ sin {\ frac {A} {2}} \ cos { \ frac {B} {2}} + \ sin {\ frac {B} {2}} \ cos {\ frac {C} {2}} + \ sin {\ frac {C} {2}} \ cos { \ frac {D} {2}} + \ sin {\ frac {D} {2}} \ cos {\ frac {A} {2}} \ right) \ leq 1}$

donde hay igualdad en ambos lados si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado .

El semiperímetro s de un cuadrilátero bicéntrico satisface

${\ Displaystyle {\ sqrt {8r \ left ({\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} - r \ right)}} \ leq s \ leq {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} + r}$

donde r y R son el radio interno y el radio circunferencial respectivamente.

Es más,

${\ Displaystyle 2sr ^ {2} \ leq abc + abd + acd + bcd \ leq 2r (r + {\ sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}}) ^ {2}}$

y

${\ Displaystyle abc + abd + acd + bcd \ leq 2 {\ sqrt {K}} (K + 2R ^ {2}).}$

Distancia entre el incentro y el circuncentro

Teorema de Fuss

El teorema de Fuss da una relación entre el inradio r , el circunradio R y la distancia x entre el incentro I y el circuncentro O , para cualquier cuadrilátero bicéntrico. La relación es

${\ Displaystyle {\ frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(R + x) ^ {2}}} = {\ frac {1} {r ^ {2 }}},}$

o equivalente

${\ Displaystyle \ Displaystyle 2r ^ {2} (R ^ {2} + x ^ {2}) = (R ^ {2} -x ^ {2}) ^ {2}.}$

Fue derivado por Nicolaus Fuss (1755-1826) en 1792. Resolviendo para x se obtiene

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {R ^ {2} + r ^ {2} -r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}}.}$

El teorema de Fuss, que es el análogo del teorema de Euler para triángulos para cuadriláteros bicéntricos, dice que si un cuadrilátero es bicéntrico, entonces sus dos círculos asociados están relacionados de acuerdo con las ecuaciones anteriores. De hecho, lo contrario también es válido: dados dos círculos (uno dentro del otro) con radios R y r y una distancia x entre sus centros que satisfacen la condición del teorema de Fuss, existe un cuadrilátero convexo inscrito en uno de ellos y tangente al otro. (y luego, según el teorema de cierre de Poncelet , existen infinitos de ellos).

Aplicar a la expresión del teorema de Fuss para x en términos de r y R es otra forma de obtener la desigualdad mencionada anteriormente Una generalización es ${\ Displaystyle x ^ {2} \ geq 0}$${\ Displaystyle R \ geq {\ sqrt {2}} r.}$

${\ Displaystyle 2r ^ {2} + x ^ {2} \ leq R ^ {2} \ leq 2r ^ {2} + x ^ {2} + 2rx.}$

La identidad de Carlitz

Otra fórmula para la distancia x entre los centros de la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita es debido al matemático estadounidense Leonard Carlitz (1907-1999). Se afirma que

${\ Displaystyle \ Displaystyle x ^ {2} = R ^ {2} -2Rr \ cdot \ mu}$

donde r y R son el radio interno y el radio circunferencial respectivamente, y

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mu = {\ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ad + bc)} {(a + c) ^ {2} (ac + bd)}}} = {\ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ad + bc)} {(b + d) ^ {2} (ac + bd)}}}}$

donde a , b , c , d son los lados del cuadrilátero bicéntrico.

Desigualdades para las longitudes y los lados de las tangentes

Para las longitudes de tangente e , f , g , h se cumplen las siguientes desigualdades:

${\ Displaystyle 4r \ leq e + f + g + h \ leq 4r \ cdot {\ frac {R ^ {2} + x ^ {2}} {R ^ {2} -x ^ {2}}}}$

y

${\ Displaystyle 4r ^ {2} \ leq e ^ {2} + f ^ {2} + g ^ {2} + h ^ {2} \ leq 4 (R ^ {2} + x ^ {2} -r ^ {2})}$

donde r es el inradius, R es el circumradius yx es la distancia entre el incentro y el circuncentro. Los lados a , b , c , d satisfacen las desigualdades

${\ Displaystyle 8r \ leq a + b + c + d \ leq 8r \ cdot {\ frac {R ^ {2} + x ^ {2}} {R ^ {2} -x ^ {2}}}}$

y

${\ Displaystyle 4 (R ^ {2} -x ^ {2} + 2r ^ {2}) \ leq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} \ leq 4 (3R ^ {2} -2r ^ {2}).}$

Otras propiedades del incentro

El circuncentro , el incentro y la intersección de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico son colineales .

Existe la siguiente igualdad relacionando las cuatro distancias entre el incentro I y los vértices de un cuadrilátero bicéntrico ABCD :

${\ Displaystyle {\ frac {1} {AI ^ {2}}} + {\ frac {1} {CI ^ {2}}} = {\ frac {1} {BI ^ {2}}} + {\ frac {1} {DI ^ {2}}} = {\ frac {1} {r ^ {2}}}}$

donde r es el radio interno.

Si P es la intersección de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico ABCD con el incentro I , entonces

${\ Displaystyle {\ frac {AP} {CP}} = {\ frac {AI ^ {2}} {CI ^ {2}}}.}$

Una desigualdad relativa al radio interno r y al radio circunferencial R en un cuadrilátero bicéntrico ABCD es

${\ Displaystyle 4r ^ {2} \ leq AI \ cdot CI + BI \ cdot DI \ leq 2R ^ {2}}$

donde yo es el incentro.

Propiedades de las diagonales

Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico se pueden expresar en términos de los lados o las longitudes tangentes , que son fórmulas que se mantienen en un cuadrilátero cíclico y un cuadrilátero tangencial respectivamente.

En un cuadrilátero bicéntrico con diagonales p y q , tiene la siguiente identidad:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ frac {pq} {4r ^ {2}}} - {\ frac {4R ^ {2}} {pq}} = 1}$

donde r y R son el radio interno y el radio circunferencial respectivamente. Esta igualdad se puede reescribir como

${\ Displaystyle r = {\ frac {pq} {2 {\ sqrt {pq + 4R ^ {2}}}}}}$

o, resolviéndolo como una ecuación cuadrática para el producto de las diagonales, en la forma

${\ Displaystyle pq = 2r \ left (r + {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} \ right).}$

Una desigualdad para el producto de las diagonales p , q en un cuadrilátero bicéntrico es

${\ Displaystyle \ Displaystyle 8pq \ leq (a + b + c + d) ^ {2}}$

donde a , b , c , d son los lados. Esto fue probado por Murray S. Klamkin en 1967.

Cuatro incentros se encuentran en un círculo.

Sea ABCD un cuadrilátero bicéntrico y O el centro de su circunferencia. Luego, los incentros de los cuatro triángulos OAB , OBC , OCD , ODA se encuentran en un círculo.

Ver también

• Polígono bicéntrico
• Cuadrilátero ex-tangencial

Referencias