Cuadrilátero ex-tangencial - Ex-tangential quadrilateral

Un cuadrilátero ex-tangencial ABCD y su excírculo

En geometría euclidiana , un cuadrilátero ex-tangencial es un cuadrilátero convexo donde las extensiones de los cuatro lados son tangentes a un círculo fuera del cuadrilátero. También se le ha llamado un cuadrilátero excriptible . El círculo se llama su excircle , su radio el exradius y su centro el exnter ( E en la figura). El excéntrico se encuentra en la intersección de seis bisectrices de ángulo. Estas son las bisectrices de los ángulos internos en dos ángulos de vértice opuestos, las bisectrices de los ángulos externos (bisectrices de los ángulos suplementarios ) en los otros dos ángulos de vértice y las bisectrices de los ángulos externos en los ángulos formados donde las extensiones de los lados opuestos se cruzan (ver la figura de la derecha, donde cuatro de estos seis son segmentos de línea de puntos). El cuadrilátero ex-tangencial está estrechamente relacionado con el cuadrilátero tangencial (donde los cuatro lados son tangentes a un círculo).

Otro nombre para un excirculo es un círculo escrito, pero ese nombre también se ha utilizado para un círculo tangente a un lado de un cuadrilátero convexo y las extensiones de los dos lados adyacentes. En ese contexto, todos los cuadriláteros convexos tienen cuatro círculos descritos, pero como máximo pueden tener un círculo.

Casos especiales

Las cometas son ejemplos de cuadriláteros ex-tangenciales. Los paralelogramos (que incluyen cuadrados , rombos y rectángulos ) pueden considerarse cuadriláteros ex-tangenciales con exradio infinito ya que satisfacen las caracterizaciones de la siguiente sección, pero el excirculo no puede ser tangente a ambos pares de extensiones de lados opuestos (ya que son paralelos ). Los cuadriláteros convexos cuyas longitudes de lado forman una progresión aritmética son siempre ex-tangenciales ya que satisfacen la caracterización siguiente para longitudes de lados adyacentes.

Caracterizaciones

Un cuadrilátero convexo es ex-tangencial si y solo si hay seis ángulos bisectores concurrentes . Estas son las bisectrices de los ángulos internos en dos ángulos de vértice opuestos, las bisectrices de los ángulos externos en los otros dos ángulos de vértice y las bisectrices de los ángulos externos en los ángulos formados donde se cruzan las extensiones de los lados opuestos.

Para fines de cálculo, una caracterización más útil es que un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a, b, c, d es ex-tangencial si y solo si la suma de dos lados adyacentes es igual a la suma de los otros dos lados. Esto es posible de dos formas diferentes, ya sea como

{\ Displaystyle a + b = c + d}

o

{\ Displaystyle a + d = b + c.}

Esto fue demostrado por Jakob Steiner en 1846. En el primer caso, el excirculo está fuera del mayor de los vértices A o C , mientras que en el segundo caso está fuera del mayor de los vértices B o D , siempre que los lados del cuadrilátero ABCD son un = AB , b = BC , c = CD , y d = DA . Una forma de combinar estas caracterizaciones con respecto a los lados es que los valores absolutos de las diferencias entre lados opuestos son iguales para los dos pares de lados opuestos,

{\ Displaystyle | ac | = | bd |.}

Estas ecuaciones están estrechamente relacionadas con el teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales , donde las sumas de los lados opuestos son iguales para los dos pares de lados opuestos.

Teorema de urquhart

Si los lados opuestos en un cuadrilátero convexo ABCD se intersecan en E y F , entonces

{\ Displaystyle AB + BC = AD + DC \ quad \ Leftrightarrow \ quad AE + EC = AF + FC.}

La implicación de la derecha lleva el nombre de LM Urquhart (1902-1966) aunque fue probada mucho antes por Augustus De Morgan en 1841. Daniel Pedoe lo nombró el teorema más elemental de la geometría euclidiana ya que solo se refiere a líneas rectas y distancias. Mowaffac Hajja demostró que de hecho existe una equivalencia, lo que hace que la igualdad a la derecha sea otra condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea ex-tangencial.

Comparación con un cuadrilátero tangencial

Algunas de las caracterizaciones métricas de cuadriláteros tangenciales (la columna de la izquierda en la tabla) tienen contrapartes muy similares para los cuadriláteros ex-tangenciales (las columnas central y derecha de la tabla), como se puede ver en la siguiente tabla. Por lo tanto, un cuadrilátero convexo tiene un círculo o un círculo fuera del vértice apropiado (dependiendo de la columna) si y solo si se cumple alguna de las cinco condiciones necesarias y suficientes a continuación.

Rodear	Excircular fuera de A o C	Excírculo fuera de B o D
${\ Displaystyle R_ {1} + R_ {3} = R_ {2} + R_ {4}}$	${\ Displaystyle R_ {1} + R_ {2} = R_ {3} + R_ {4}}$	${\ Displaystyle R_ {1} + R_ {4} = R_ {2} + R_ {3}}$
${\ Displaystyle agh + cef = beh + dfg}$	${\ Displaystyle agh + beh = cef + dfg}$	${\ Displaystyle agh + dfg = beh + cef}$
${\ Displaystyle {\ frac {1} {h_ {1}}} + {\ frac {1} {h_ {3}}} = {\ frac {1} {h_ {2}}} + {\ frac {1 } {h_ {4}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {h_ {1}}} + {\ frac {1} {h_ {2}}} = {\ frac {1} {h_ {3}}} + {\ frac {1 } {h_ {4}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {h_ {1}}} + {\ frac {1} {h_ {4}}} = {\ frac {1} {h_ {2}}} + {\ frac {1 } {h_ {3}}}}$
${\ Displaystyle \ tan {\ frac {x} {2}} \ tan {\ frac {z} {2}} = \ tan {\ frac {y} {2}} \ tan {\ frac {w} {2 }}}$	${\ Displaystyle \ tan {\ frac {x} {2}} \ tan {\ frac {w} {2}} = \ tan {\ frac {y} {2}} \ tan {\ frac {z} {2 }}}$	${\ Displaystyle \ tan {\ frac {x} {2}} \ tan {\ frac {y} {2}} = \ tan {\ frac {z} {2}} \ tan {\ frac {w} {2 }}}$
${\ Displaystyle R_ {a} R_ {c} = R_ {b} R_ {d}}$	${\ Displaystyle R_ {a} R_ {b} = R_ {c} R_ {d}}$	${\ Displaystyle R_ {a} R_ {d} = R_ {b} R_ {c}}$

Las notaciones de esta tabla son como sigue: En una convexa cuadrilátero ABCD , las diagonales se cortan en P . R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ son los circunradios en triángulos ABP , BCP , CDP , DAP ; h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ son las altitudes de P a los lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA respectivamente en los mismos cuatro triángulos; e , f , g , h son las distancias desde los vértices A , B , C , D respectivamente a P ; x , y , z , w son los ángulos ABD , ADB , BDC , DBC respectivamente; y R _a , R _b , R _c , R _d son los radios en los círculos externamente tangentes a los lados a , b , c , d respectivamente y las extensiones de los dos lados adyacentes para cada lado.

Zona

Un cuadrilátero ex-tangencial ABCD con lados a, b, c, d tiene un área

{\ Displaystyle \ Displaystyle K = {\ sqrt {abcd}} \ sin {\ frac {B + D} {2}}.}

Tenga en cuenta que esta es la misma fórmula que la del área de un cuadrilátero tangencial y también se deriva de la fórmula de Bretschneider de la misma manera.

Exradius

El exradio de un cuadrilátero ex-tangencial con lados consecutivos a , b , c , d está dado por

{\ Displaystyle r = {\ frac {K} {| ac |}} = {\ frac {K} {| bd |}}}

donde K es el área del cuadrilátero. Para un cuadrilátero ex-tangencial con lados dados, el exradio es máximo cuando el cuadrilátero también es cíclico (y por lo tanto un cuadrilátero ex-bicéntrico). Estas fórmulas explican por qué todos los paralelogramos tienen un exradio infinito.

Cuadrilátero ex-bicéntrico

Si un cuadrilátero ex-tangencial también tiene un círculo circunferencial , se denomina cuadrilátero ex-bicéntrico . Entonces, dado que tiene dos ángulos suplementarios opuestos , su área está dada por

{\ Displaystyle \ Displaystyle K = {\ sqrt {abcd}}}

que es lo mismo que para un cuadrilátero bicéntrico .

Si x es la distancia entre el circuncentro y el excéntrico, entonces

{\ Displaystyle {\ frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(R + x) ^ {2}}} = {\ frac {1} {r ^ {2 }}},}

donde R y r son el circunradio y el exradio respectivamente. Esta es la misma ecuación que el teorema de Fuss para un cuadrilátero bicéntrico. Pero al resolver para x , debemos elegir la otra raíz de la ecuación cuadrática para el cuadrilátero ex-bicéntrico en comparación con el bicéntrico. Por tanto, para el ex bicéntrico tenemos

{\ Displaystyle x = {\ sqrt {R ^ {2} + r ^ {2} + r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}}.}

De esta fórmula se sigue que

{\ Displaystyle \ Displaystyle x> R + r,}

lo que significa que la circunferencia y la circunferencia nunca pueden cruzarse entre sí.

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