En geometría , la fórmula de Bretschneider es la siguiente expresión para el área de un cuadrilátero general :
K
=
(
s
-
a
)
(
s
-
B
)
(
s
-
C
)
(
s
-
D
)
-
a
B
C
D
⋅
porque
2
(
α
+
γ
2
)
{\ Displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right )}}}
=
(
s
-
a
)
(
s
-
B
)
(
s
-
C
)
(
s
-
D
)
-
1
2
a
B
C
D
[
1
+
porque
(
α
+
γ
)
]
.
{\ displaystyle = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - {\ tfrac {1} {2}} abcd [1+ \ cos (\ alpha + \ gamma)]}}.}
Aquí, a b c d s semiperímetro y α γ
La fórmula de Bretschneider funciona en cualquier cuadrilátero, sea cíclico o no.
El matemático alemán Carl Anton Bretschneider descubrió la fórmula en 1842. La fórmula también fue derivada en el mismo año por el matemático alemán Karl Georg Christian von Staudt .
Prueba Denotar el área del cuadrilátero por K
K
=
Area de
△
A
D
B
+
Area de
△
B
D
C
=
a
D
pecado
α
2
+
B
C
pecado
γ
2
.
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} K & = {\ text {área de}} \ triangle ADB + {\ text {área de}} \ triangle BDC \\ & = {\ frac {ad \ sin \ alpha} {2} } + {\ frac {bc \ sin \ gamma} {2}}. \ end {alineado}}}
Por lo tanto
2
K
=
(
a
D
)
pecado
α
+
(
B
C
)
pecado
γ
.
{\ Displaystyle 2K = (anuncio) \ sin \ alpha + (bc) \ sin \ gamma.}
4
K
2
=
(
a
D
)
2
pecado
2
α
+
(
B
C
)
2
pecado
2
γ
+
2
a
B
C
D
pecado
α
pecado
γ
.
{\ Displaystyle 4K ^ {2} = (anuncio) ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma + 2abcd \ sin \ alpha \ sin \ gamma .}
La ley de los cosenos implica que
a
2
+
D
2
-
2
a
D
porque
α
=
B
2
+
C
2
-
2
B
C
porque
γ
,
{\ Displaystyle a ^ {2} + d ^ {2} -2ad \ cos \ alpha = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos \ gamma,}
porque ambos lados son iguales al cuadrado de la longitud de la diagonal BD
(
a
2
+
D
2
-
B
2
-
C
2
)
2
4
=
(
a
D
)
2
porque
2
α
+
(
B
C
)
2
porque
2
γ
-
2
a
B
C
D
porque
α
porque
γ
.
{\ Displaystyle {\ frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} {4}} = (anuncio) ^ {2} \ cos ^ {2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma -2abcd \ cos \ alpha \ cos \ gamma.}
Agregando esto a la fórmula anterior para rendimientos de
4 K 2
4
K
2
+
(
a
2
+
D
2
-
B
2
-
C
2
)
2
4
=
(
a
D
)
2
+
(
B
C
)
2
-
2
a
B
C
D
porque
(
α
+
γ
)
=
(
a
D
+
B
C
)
2
-
2
a
B
C
D
-
2
a
B
C
D
porque
(
α
+
γ
)
=
(
a
D
+
B
C
)
2
-
2
a
B
C
D
(
porque
(
α
+
γ
)
+
1
)
=
(
a
D
+
B
C
)
2
-
4
a
B
C
D
(
porque
(
α
+
γ
)
+
1
2
)
=
(
a
D
+
B
C
)
2
-
4
a
B
C
D
porque
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} 4K ^ {2} + {\ frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} { 4}} & = (anuncio) ^ {2} + (bc) ^ {2} -2abcd \ cos (\ alpha + \ gamma) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd-2abcd \ cos (\ alpha + \ gamma) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd (\ cos (\ alpha + \ gamma) +1) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd \ left ({\ frac {\ cos (\ alpha + \ gamma) +1} {2}} \ right) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right). \ end {alineado}}}
Tenga en cuenta que: (una identidad trigonométrica verdadera para todos )
porque
2
α
+
γ
2
=
1
+
porque
(
α
+
γ
)
2
{\ Displaystyle \ cos ^ {2} {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} = {\ frac {1+ \ cos (\ alpha + \ gamma)} {2}}}
α
+
γ
2
{\ Displaystyle {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}}}
Siguiendo los mismos pasos que en la fórmula de Brahmagupta , esto se puede escribir como
dieciséis
K
2
=
(
a
+
B
+
C
-
D
)
(
a
+
B
-
C
+
D
)
(
a
-
B
+
C
+
D
)
(
-
a
+
B
+
C
+
D
)
-
dieciséis
a
B
C
D
porque
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\ Displaystyle 16K ^ {2} = (a + b + cd) (a + b-c + d) (a-b + c + d) (- a + b + c + d) -16abcd \ cos ^ { 2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right).}
Introduciendo el semiperímetro
s
=
a
+
B
+
C
+
D
2
,
{\ Displaystyle s = {\ frac {a + b + c + d} {2}},}
lo anterior se convierte en
dieciséis
K
2
=
dieciséis
(
s
-
D
)
(
s
-
C
)
(
s
-
B
)
(
s
-
a
)
-
dieciséis
a
B
C
D
porque
2
(
α
+
γ
2
)
{\ displaystyle 16K ^ {2} = 16 (sd) (sc) (sb) (sa) -16abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right) }
K
2
=
(
s
-
a
)
(
s
-
B
)
(
s
-
C
)
(
s
-
D
)
-
a
B
C
D
porque
2
(
α
+
γ
2
)
{\ Displaystyle K ^ {2} = (sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right)}
y la fórmula de Bretschneider sigue después de sacar la raíz cuadrada de ambos lados:
K
=
(
s
-
a
)
(
s
-
B
)
(
s
-
C
)
(
s
-
D
)
-
a
B
C
D
⋅
porque
2
(
α
+
γ
2
)
{\ Displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right )}}}
Fórmulas relacionadas La fórmula de Bretschneider generaliza la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico , que a su vez generaliza la fórmula de Heron para el área de un triángulo .
El ajuste trigonométrica en la fórmula de Bretschneider para no ciclicidad del cuadrilátero puede ser reescrita no trigonométricamente en términos de los lados y las diagonales ae f
K
=
1
4
4
mi
2
F
2
-
(
B
2
+
D
2
-
a
2
-
C
2
)
2
=
(
s
-
a
)
(
s
-
B
)
(
s
-
C
)
(
s
-
D
)
-
1
4
(
a
C
+
B
D
+
mi
F
)
(
a
C
+
B
D
-
mi
F
)
.
{\ displaystyle {\ begin {alineado} K & = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {4e ^ {2} f ^ {2} - (b ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} \\ & = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - {\ tfrac {1} {4}} (ac + bd + ef) (ac + bd-ef)}}. \ end {alineado}}}
Notas
Referencias y lectura adicional
Ayoub, Ayoub B. (2007). "Generalizaciones de los teoremas de Ptolomeo y Brahmagupta". Educación Matemática e Informática . 41 (1). ISSN 0730-8639 .
CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( copia en línea, alemán )
F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( copia en línea, alemán )
enlaces externos
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![= {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - {\ tfrac {1} {2}} abcd [1+ \ cos (\ alpha + \ gamma)]}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274a2fdb98ed6e71c98f8dee380c3e1318d9e4a7)
