Cuadrilátero ortodiagonal - Orthodiagonal quadrilateral

Un cuadrilátero ortodiagonal (amarillo). Según la caracterización de estos cuadriláteros, los dos cuadrados rojos en dos lados opuestos del cuadrilátero tienen la misma área total que los dos cuadrados azules en el otro par de lados opuestos.

En geometría euclidiana , un cuadrilátero ortodiagonal es un cuadrilátero en el que las diagonales se cruzan en ángulo recto . En otras palabras, es una figura de cuatro lados en la que los segmentos de línea entre vértices no adyacentes son ortogonales (perpendiculares) entre sí.

Casos especiales

Una cometa es un cuadrilátero ortodiagonal en el que una diagonal es una línea de simetría. Las cometas son exactamente los cuadriláteros ortodiagonales que contienen un círculo tangente a sus cuatro lados; es decir, las cometas son los cuadriláteros ortodiagonales tangenciales .

Un rombo es un cuadrilátero ortodiagonal con dos pares de lados paralelos (es decir, un cuadrilátero ortodiagonal que también es un paralelogramo ).

Un cuadrado es un caso límite tanto de una cometa como de un rombo.

Cuadriláteros equidiagonales ortodiagonales en los que las diagonales son al menos tan largas como todos los lados del cuadrilátero tienen el área máxima para su diámetro entre todos los cuadriláteros, resolviendo el caso n  = 4 del problema de polígono pequeño más grande . El cuadrado es uno de esos cuadriláteros, pero hay infinitos otros. Un cuadrilátero ortodiagonal que también es equidiagonal es un cuadrilátero medio cuadrado porque su paralelogramo de Varignon es un cuadrado. Su área se puede expresar puramente en términos de sus lados.

Caracterizaciones

Para cualquier orthodiagonal cuadrilátero, la suma de los cuadrados de dos lados opuestos es igual a la de los otros dos lados opuestos: para los lados sucesivos un , b , c , y d , tenemos

${\ Displaystyle \ Displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}.}$

Esto se sigue del teorema de Pitágoras , por el cual cualquiera de estas dos sumas de dos cuadrados se puede expandir para igualar la suma de las cuatro distancias al cuadrado desde los vértices del cuadrilátero hasta el punto donde las diagonales se cruzan. Por el contrario, cualquier cuadrilátero en el que a ² + c ² = b ² + d ² debe ser ortodiagonal. Esto se puede demostrar de varias formas, incluido el uso de la ley de los cosenos , vectores , una demostración indirecta y números complejos .

Las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares si y solo si los dos bimedianos tienen la misma longitud.

Según otra caracterización, las diagonales de un cuadrilátero convexo ABCD son perpendiculares si y solo si

${\ Displaystyle \ angle PAB + \ angle PBA + \ angle PCD + \ angle PDC = \ pi}$

donde P es el punto de intersección de las diagonales. De esta ecuación se deduce casi inmediatamente que las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares si y solo si las proyecciones de la intersección diagonal sobre los lados del cuadrilátero son los vértices de un cuadrilátero cíclico .

Un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si y solo si su paralelogramo de Varignon (cuyos vértices son los puntos medios de sus lados) es un rectángulo . Una caracterización relacionada establece que un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si y solo si los puntos medios de los lados y los pies de las cuatro maltitudes son ocho puntos concíclicos ; el círculo de ocho puntos . El centro de este círculo es el centroide del cuadrilátero. El cuadrilátero formado por los pies de las maltitudes se denomina cuadrilátero órtico principal .

Si las normales a los lados de un cuadrilátero convexo ABCD a través de la intersección diagonal intersecan los lados opuestos en R , S , T , U , y K , L , M , N son los pies de estas normales, entonces ABCD es ortodiagonal si y solo si los ocho puntos K , L , M , N , R , S , T y U son concíclicos; el segundo círculo de ocho puntos . Una caracterización relacionada establece que un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si y solo si RSTU es un rectángulo cuyos lados son paralelos a las diagonales de ABCD .

Hay varias caracterizaciones métricas con respecto a los cuatro triángulos formados por la intersección diagonal P y los vértices de un cuadrilátero convexo ABCD . Denote por m ₁ , m ₂ , m ₃ , m ₄ las medianas en triángulos ABP , BCP , CDP , DAP de P a los lados AB , BC , CD , DA respectivamente. Si R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ y h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ denotan los radios de los círculos circunferenciales y las altitudes respectivamente de estos triángulos, entonces el cuadrilátero ABCD es ortodiagonal si y solo si alguno de las siguientes igualdades se cumple:

• ${\ Displaystyle m_ {1} ^ {2} + m_ {3} ^ {2} = m_ {2} ^ {2} + m_ {4} ^ {2}}$
• ${\ Displaystyle R_ {1} ^ {2} + R_ {3} ^ {2} = R_ {2} ^ {2} + R_ {4} ^ {2}}$
• ${\ Displaystyle {\ frac {1} {h_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {3} ^ {2}}} = {\ frac {1} {h_ {2} ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {4} ^ {2}}}}$

Además, un cuadrilátero ABCD con intersección P de las diagonales es ortodiagonal si y solo si los circuncentros de los triángulos ABP , BCP , CDP y DAP son los puntos medios de los lados del cuadrilátero.

Comparación con un cuadrilátero tangencial

Algunas caracterizaciones métricas de cuadriláteros tangenciales y cuadriláteros ortodiagonales son muy similares en apariencia, como se puede ver en esta tabla. Las notaciones en los lados a , b , c , d , los circunradios R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ , y las altitudes h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ son las mismas que las anteriores en ambos tipos de cuadriláteros.

Cuadrilátero tangencial	Cuadrilátero ortodiagonal
${\ Displaystyle a + c = b + d}$	${\ Displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}}$
${\ Displaystyle R_ {1} + R_ {3} = R_ {2} + R_ {4}}$	${\ Displaystyle R_ {1} ^ {2} + R_ {3} ^ {2} = R_ {2} ^ {2} + R_ {4} ^ {2}}$
${\ Displaystyle {\ frac {1} {h_ {1}}} + {\ frac {1} {h_ {3}}} = {\ frac {1} {h_ {2}}} + {\ frac {1 } {h_ {4}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {h_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {3} ^ {2}}} = {\ frac {1} {h_ {2} ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {4} ^ {2}}}}$

Zona

La zona K de un cuadrilátero orthodiagonal es igual a un medio del producto de las longitudes de las diagonales p y q :

${\ Displaystyle K = {\ frac {p \ cdot q} {2}}.}$

Por el contrario, cualquier cuadrilátero convexo en el que se pueda calcular el área con esta fórmula debe ser ortodiagonal. El cuadrilátero ortodiagonal tiene el área más grande de todos los cuadriláteros convexos con diagonales dadas.

Otras propiedades

• Los cuadriláteros ortodiagonales son los únicos cuadriláteros para los cuales los lados y el ángulo formado por las diagonales no determinan de forma única el área. Por ejemplo, dos rombos que tienen ambos lados comunes a (y, como para todos los rombos, ambos tienen un ángulo recto entre las diagonales), pero uno tiene un ángulo agudo más pequeño que el otro, tienen áreas diferentes (el área del primero se aproxima a cero cuando el ángulo agudo se aproxima a cero).
• Si los cuadrados se erigen hacia afuera en los lados de cualquier cuadrilátero (convexo, cóncavo o cruzado), entonces sus centros ( centroides ) son los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal que también es equidiagonal (es decir, que tiene diagonales de igual longitud). Esto se llama teorema de Van Aubel .
• Cada lado de un cuadrilátero ortodiagonal tiene al menos un punto común con el círculo de puntos de Pascal.

Propiedades de cuadriláteros ortodiagonales que también son cíclicos

Circunradio y área

Para un cuadrilátero ortodiagonal cíclico (uno que se puede inscribir en un círculo ), suponga que la intersección de las diagonales divide una diagonal en segmentos de longitudes p ₁ y p ₂ y divide la otra diagonal en segmentos de longitudes q ₁ y q ₂ . Entonces (la primera igualdad es la Proposición 11 en el Libro de Lemas de Arquímedes )

${\ Displaystyle D ^ {2} = p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}}$

donde D es el diámetro de la circunferencia . Esto es así porque las diagonales son cuerdas perpendiculares de un círculo . Estas ecuaciones producen la expresión circunradio

${\ Displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2}}}}$

o, en términos de los lados del cuadrilátero, como

${\ Displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {b ^ { 2} + d ^ {2}}}.}$

También se sigue que

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 8R ^ {2}.}$

Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de Euler cuadrilátero , la circunradio se puede expresar en términos de las diagonales p y q , y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales como

${\ Displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {p ^ {2} + q ^ {2} + 4x ^ {2}} {8}}}.}$

Una fórmula para el área K de un cuadrilátero ortodiagonal cíclico en términos de los cuatro lados se obtiene directamente al combinar el teorema de Ptolomeo y la fórmula para el área de un cuadrilátero ortodiagonal . El resultado es

${\ Displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} (ac + bd).}$

Otras propiedades

• En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, el anticéntrico coincide con el punto de intersección de las diagonales.
• El teorema de Brahmagupta establece que para un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, la perpendicular desde cualquier lado a través del punto de intersección de las diagonales biseca el lado opuesto.
• Si un cuadrilátero ortodiagonal también es cíclico, la distancia desde el circuncentro (el centro del círculo circunscrito) a cualquier lado es igual a la mitad de la longitud del lado opuesto.
• En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, la distancia entre los puntos medios de las diagonales es igual a la distancia entre el circuncentro y el punto donde las diagonales se cruzan.

Conjuntos infinitos de rectángulos inscritos

${\ Displaystyle ABCD}$ es un cuadrilátero ortodiagonal, y son rectángulos cuyos lados son paralelos a las diagonales del cuadrilátero. ${\ Displaystyle P_ {1} X_ {1} Z_ {1} Y_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {2} X_ {2} Z_ {2} Y_ {2}}$

${\ Displaystyle ABCD}$ es un cuadrilátero ortodiagonal. y son puntos de Pascal formados por el círculo , es el círculo de puntos de Pascal que define el rectángulo . y son puntos de Pascal formados por el círculo , es el círculo de puntos de Pascal que define el rectángulo . ${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ Displaystyle Q_ {1}}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {P_ {1} Q_ {1}}}$${\ Displaystyle P_ {1} V_ {1} Q_ {1} W_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {2}}$${\ Displaystyle Q_ {2}}$${\ Displaystyle \ omega _ {2}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {P_ {2} Q_ {2}}}$${\ Displaystyle P_ {2} V_ {2} Q_ {2} W_ {2}}$

Por cada cuadrilátero ortodiagonal, podemos inscribir dos conjuntos infinitos de rectángulos:

(i) un conjunto de rectángulos cuyos lados son paralelos a las diagonales del cuadrilátero

(ii) un conjunto de rectángulos definidos por círculos de puntos Pascal.

Referencias