En el centro - Incenter

El punto de intersección de las bisectrices de los 3 ángulos del triángulo ABC es el incentro (indicado por I). El círculo (cuyo centro es I) toca cada lado del triángulo.

En geometría , el incentro de un triángulo es un centro de triángulo , un punto definido para cualquier triángulo de una manera que es independiente de la ubicación o escala del triángulo. El incentro se puede definir de manera equivalente como el punto donde se cruzan las bisectrices del ángulo interno del triángulo, como el punto equidistante de los lados del triángulo, como el punto de unión del eje medial y el punto más interno de la transformada de fuego de pasto del triángulo, y como el punto central del círculo inscrito del triángulo.

Junto con el centroide , el circuncentro y el ortocentro , es uno de los cuatro centros triangulares conocidos por los antiguos griegos, y el único que no se encuentra en general en la línea de Euler . Es el primer centro enumerado, X (1), en la Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling , y el elemento de identidad del grupo multiplicativo de centros triangulares.

Para polígonos con más de tres lados, el incentro solo existe para polígonos tangenciales , aquellos que tienen un círculo que es tangente a cada lado del polígono. En este caso, el incentro es el centro de este círculo y está igualmente distante de todos los lados.

Definición y construcción

Es un teorema de la geometría euclidiana que las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se encuentran en un solo punto. En los Elementos de Euclides , la Proposición 4 del Libro IV prueba que este punto también es el centro del círculo inscrito del triángulo. El círculo en sí puede construirse dejando caer una perpendicular desde el incentro a uno de los lados del triángulo y dibujando un círculo con ese segmento como radio.

El incentro se encuentra a distancias iguales de los tres segmentos de línea que forman los lados del triángulo, y también de las tres líneas que contienen esos segmentos. Es el único punto igualmente distante de los segmentos de línea, pero hay tres puntos más igualmente distantes de las líneas, los excitantes, que forman los centros de los excirculos del triángulo dado. El incentro y los excitantes juntos forman un sistema ortocéntrico .

El eje medial de un polígono es el conjunto de puntos cuyo vecino más cercano en el polígono no es único: estos puntos son equidistantes de dos o más lados del polígono. Un método para calcular los ejes medios es usar la transformada grassfire , en la que se forma una secuencia continua de curvas desplazadas , cada una a una distancia fija del polígono; el eje medial está trazado por los vértices de estas curvas. En el caso de un triángulo, el eje medial consta de tres segmentos de las bisectrices de los ángulos, que conectan los vértices del triángulo con el incentro, que es el punto único en la curva de desplazamiento más interna. El esqueleto recto , definido de manera similar a partir de un tipo diferente de curva de desplazamiento, coincide con el eje medial para polígonos convexos y, por lo tanto, también tiene su unión en el incentro.

Pruebas

Prueba de relación

Dejemos que la bisección de y se encuentran en , y la bisección de y se encuentran en y y se encuentran en . ${\ Displaystyle \ angle {BAC}}$${\ Displaystyle {\ overline {BC}}}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ angle {ABC}}$${\ Displaystyle {\ overline {AC}}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle {\ overline {AD}}}$${\ Displaystyle {\ overline {BE}}}$${\ Displaystyle {I}}$

Y dejar y encontrarnos en . ${\ Displaystyle {\ overline {CI}}}$${\ Displaystyle {\ overline {AB}}}$${\ Displaystyle {F}}$

Entonces tenemos que demostrar que es la bisección de . ${\ Displaystyle {\ overline {CI}}}$${\ Displaystyle \ angle {ACB}}$

En , . ${\ Displaystyle \ triangle {ACF}}$${\ displaystyle {\ overline {AC}}: {\ overline {AF}} = {\ overline {CI}}: {\ overline {IF}}}$

En , . ${\ Displaystyle \ triangle {BCF}}$${\ Displaystyle {\ overline {BC}}: {\ overline {BF}} = {\ overline {CI}}: {\ overline {IF}}}$

Por lo tanto, para eso . ${\ Displaystyle {\ overline {AC}}: {\ overline {AF}} = {\ overline {BC}}: {\ overline {BF}}}$${\ Displaystyle {\ overline {AC}}: {\ overline {BC}} = {\ overline {AF}}: {\ overline {BF}}}$

Así es la bisección de${\ Displaystyle {\ overline {CF}}}$${\ Displaystyle \ angle {ACB}}$

Prueba perpendicular

Una línea que es una bisectriz de ángulo es equidistante de sus dos líneas cuando se mide por la perpendicular. En el punto donde se cruzan dos bisectrices, este punto es perpendicularmente equidistante de las líneas de formación del ángulo final (porque están a la misma distancia de este ángulo opuesto al borde) y, por lo tanto, se encuentra en su línea de bisectriz de ángulo.

Relación con los lados y vértices de un triángulo

Coordenadas trilineales

Las coordenadas trilineales de un punto en el triángulo dan la razón de las distancias a los lados del triángulo. Las coordenadas trilineales para el incentro están dadas por

${\ Displaystyle \ 1: 1: 1.}$

A la colección de centros de triángulos se le puede dar la estructura de un grupo bajo la multiplicación por coordenadas de coordenadas trilineales; en este grupo, el incentro constituye el elemento de identidad .

Coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas para un punto en un triángulo dan pesos tales que el punto es el promedio ponderado de las posiciones de los vértices del triángulo. Las coordenadas baricéntricas para el incentro están dadas por

${\ Displaystyle \ a: b: c}$

donde , , y son las longitudes de los lados del triángulo, o equivalente (utilizando la ley de los senos ) por ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle c}$

${\ Displaystyle \ sin (A): \ sin (B): \ sin (C)}$

donde ,, y son los ángulos en los tres vértices. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas del incentro son un promedio ponderado de las coordenadas de los tres vértices usando las longitudes de los lados del triángulo en relación con el perímetro, es decir, usando las coordenadas baricéntricas dadas arriba, normalizadas para sumar la unidad, como pesos. (Los pesos son positivos por lo que el incentro está dentro del triángulo como se ha indicado anteriormente). Si los tres vértices se encuentran en , y , y los lados opuestos estos vértices tienen longitudes correspondientes , y , a continuación, el incentro es en ${\ Displaystyle (x_ {A}, y_ {A})}$${\ Displaystyle (x_ {B}, y_ {B})}$${\ Displaystyle (x_ {C}, y_ {C})}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle c}$

${\ displaystyle {\ bigg (} {\ frac {ax_ {A} + bx_ {B} + cx_ {C}} {a + b + c}}, {\ frac {ay_ {A} + by_ {B} + cy_ {C}} {a + b + c}} {\ bigg)} = {\ frac {a (x_ {A}, y_ {A}) + b (x_ {B}, y_ {B}) + c (x_ {C}, y_ {C})} {a + b + c}}.}$

Distancias a vértices

Denotando el incentro del triángulo ABC como I , las distancias desde el incentro a los vértices combinadas con las longitudes de los lados del triángulo obedecen a la ecuación

${\ Displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1.}$

Adicionalmente,

${\ Displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2},}$

donde R y r son el circunradio y el radio interno del triángulo, respectivamente.

Construcciones relacionadas

Otros centros

La distancia desde el incentro al centroide es menos de un tercio de la longitud de la mediana más larga del triángulo.

Según el teorema de Euler en geometría , la distancia al cuadrado del incentro I al circuncentro O viene dada por

${\ Displaystyle OI ^ {2} = R (R-2r),}$

donde R y r son la circunferencia circunscrita y la inradio respectivamente; por tanto, el circunradio es al menos el doble del radio interno, con igualdad sólo en el caso equilátero .

La distancia desde el incentro al centro N del círculo de nueve puntos es

${\ Displaystyle IN = {\ frac {1} {2}} (R-2r) <{\ frac {1} {2}} R.}$

La distancia al cuadrado del incentro al ortocentro H es

${\ Displaystyle IH ^ {2} = 2r ^ {2} -4R ^ {2} \ cos A \ cos B \ cos C.}$

Las desigualdades incluyen:

${\ Displaystyle IG <HG, \ quad IH <HG, \ quad IG <IO, \ quad 2IN <IO.}$

El incentro es el punto Nagel del triángulo medial (el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados) y por lo tanto se encuentra dentro de este triángulo. Por el contrario, el punto Nagel de cualquier triángulo es el incentro de su triángulo anticomplementario .

El incentro debe estar en el interior de un disco cuyo diámetro conecta el centroide G y el ortocentro H (el disco ortocentroidal ), pero no puede coincidir con el centro de nueve puntos , cuya posición es fija a 1/4 del camino a lo largo del diámetro. (más cercano a G ). Cualquier otro punto dentro del disco ortocentroidal es el incentro de un triángulo único.

Línea Euler

La línea de Euler de un triángulo es una línea que pasa por su circuncentro , centroide y ortocentro , entre otros puntos. El incentro generalmente no se encuentra en la línea de Euler; está en la línea de Euler solo para triángulos isósceles , para los cuales la línea de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos los centros de los triángulos.

Denotando la distancia desde el incentro a la línea de Euler como d , la longitud de la mediana más larga como v , la longitud del lado más largo como u , el circunradio como R , la longitud del segmento de la línea de Euler desde el ortocentro al circuncentro como e , y el semiperímetro como s , se cumplen las siguientes desigualdades:

${\ Displaystyle {\ frac {d} {s}} <{\ frac {d} {u}} <{\ frac {d} {v}} <{\ frac {1} {3}};}$

${\ Displaystyle d <{\ frac {1} {3}} e;}$

${\ Displaystyle d <{\ frac {1} {2}} R.}$

Divisores de área y perímetro

Cualquier línea que atraviese un triángulo que divida tanto el área del triángulo como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo; cada línea a través del incentro que divide el área por la mitad también divide el perímetro por la mitad. Hay una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado.

Distancias relativas desde una bisectriz de ángulo

Deje que X sea un punto variable sobre la bisectriz del ángulo interno de A . Entonces X = I (el incentro) maximiza o minimiza la relación a lo largo de la bisectriz de ese ángulo. ${\ displaystyle {\ tfrac {BX} {CX}}}$

Referencias

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Incenter" . MathWorld .