Punta Nagel - Nagel point

El punto Nagel (azul, N ) de un triángulo (negro). El triángulo rojo es el triángulo extenso , y los círculos naranjas son los excirculos.

En geometría , el punto de Nagel es el centro de un triángulo , uno de los puntos asociados a un triángulo dado cuya definición no depende de la ubicación o escala del triángulo. La punta Nagel lleva el nombre de Christian Heinrich von Nagel .

Construcción

Dado un triángulo ABC , deja T _A , T _B y T _C sea los puntos EXPLÍCITA en la que el A - excircle encuentra con la línea AC , el B -excircle cumple línea de CA y C -excircle cumple con la línea AB , respectivamente. Las rectas AT _A , BT _B , CT _C coinciden en el punto Nagel N del triángulo ABC .

Otra construcción del punto T _A es empezar por A y traza alrededor del triángulo ABC la mitad de su perímetro , y lo mismo para T _B y T _C . Debido a esta construcción, el punto de Nagel a veces también se denomina punto perimetral bisecado , y los segmentos AT _A , BT _B , CT _C se denominan divisores del triángulo.

Existe una fácil construcción del punto Nagel. Partiendo de cada vértice de un triángulo, basta con llevar el doble de la longitud del borde opuesto. Obtenemos tres líneas que concurren en el punto Nagel.

Fácil construcción de la punta Nagel

Relación con otros centros de triángulos

El punto de Nagel es el conjugado isotómico del punto de Gergonne . El punto de Nagel, el centroide y el incentro son colineales en una línea llamada línea de Nagel . El incentro es el punto Nagel del triángulo medial ; de manera equivalente, el punto de Nagel es el incentro del triángulo anticomplementario .

Coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas no normalizadas del punto Nagel son donde está el semiperímetro del triángulo de referencia . ${\ Displaystyle (sa: sb: sc)}$${\ Displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}}}$${\ Displaystyle ABC}$

Coordenadas trilineales

Las coordenadas trilineales del punto Nagel son como

${\ Displaystyle \ csc ^ {2} (A / 2) \,: \, \ csc ^ {2} (B / 2) \,: \, \ csc ^ {2} (C / 2)}$

o, de manera equivalente, en términos de las longitudes de los lados a = | BC |, b = | CA | yc = | AB |,

${\ Displaystyle {\ frac {b + ca} {a}} \,: \, {\ frac {c + ab} {b}} \,: \, {\ frac {a + bc} {c}}. }$

Historia

El punto Nagel lleva el nombre de Christian Heinrich von Nagel , un matemático alemán del siglo XIX, que escribió sobre él en 1836. August Leopold Crelle y Carl Gustav Jacob Jacobi también hicieron las primeras contribuciones al estudio de este punto .

Ver también

• Mandart inellipse
• Punto perimetral trisecado

Referencias

enlaces externos

• Punta Nagel de Cut-the-knot
• Punta Nagel , Clark Kimberling
• Weisstein, Eric W. "Nagel Point" . MathWorld .
• Spieker Conic y generalización de la línea Nagel en los bocetos de geometría dinámica Generaliza el círculo Spieker y la línea Nagel asociada.