Línea Euler - Euler line

La línea de Euler (roja) es una línea recta que atraviesa el centroide (naranja), el ortocentro (azul), el circuncentro (verde) y el centro del círculo de nueve puntos (rojo).

En geometría , la línea de Euler , el nombre de Leonhard Euler ( / ɔɪ l ər / ), es una línea determinada a partir de cualquier triángulo que no es equilátero . Es una línea central del triángulo y pasa por varios puntos importantes determinados a partir del triángulo, incluido el ortocentro , el circuncentro , el centroide , el punto de Exeter y el centro del círculo de nueve puntos del triángulo.

El concepto de la línea de Euler de un triángulo se extiende a la línea de Euler de otras formas, como el cuadrilátero y el tetraedro .

Centros triangulares en la línea de Euler

Centros individuales

Euler demostró en 1765 que en cualquier triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el centroide son colineales . Esta propiedad también es válida para otro centro de triángulo , el centro de nueve puntos , aunque no se había definido en la época de Euler. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo todos son distintos entre sí, y la línea de Euler está determinada por dos de ellos.

Otros puntos notables que se encuentran en la línea de Euler incluyen el punto de Longchamps , el punto Schiffler , el punto Exeter y el perspector Gossard . Sin embargo, el incentro generalmente no se encuentra en la línea de Euler; está en la línea de Euler solo para triángulos isósceles , para los cuales la línea de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos los centros de los triángulos.

El triángulo tangencial de un triángulo de referencia es tangente a la circunferencia de este último en los vértices del triángulo de referencia. El circuncentro del triángulo tangencial se encuentra en la línea de Euler del triángulo de referencia. El centro de similitud de los triángulos órtico y tangencial también está en la línea de Euler.

Una prueba de vector

Sea un triangulo. Una prueba del hecho de que el circuncentro , el centroide y el ortocentro son colineales se basa en vectores libres . Comenzamos estableciendo los requisitos previos. Primero, satisface la relación ${\ Displaystyle ABC}$ ${\ Displaystyle O}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle {\ vec {GA}} + {\ vec {GB}} + {\ vec {GC}} = 0.}$

Esto se deriva del hecho de que las coordenadas baricéntricas absolutas de son . Además, el problema de Sylvester se lee como ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ frac {1} {3}}: {\ frac {1} {3}}: {\ frac {1} {3}}}$

${\ Displaystyle {\ vec {OH}} = {\ vec {OA}} + {\ vec {OB}} + {\ vec {OC}}.}$

Ahora, usando la suma de vectores, deducimos que

${\ Displaystyle {\ vec {GO}} = {\ vec {GA}} + {\ vec {AO}} \, {\ mbox {(en triángulo}} AGO {\ mbox {)}}, \, {\ vec {GO}} = {\ vec {GB}} + {\ vec {BO}} \, {\ mbox {(en triángulo}} BGO {\ mbox {)}}, \, {\ vec {GO}} = {\ vec {GC}} + {\ vec {CO}} \, {\ mbox {(en triángulo}} CGO {\ mbox {)}}.}$

Sumando estas tres relaciones, término por término, obtenemos que

${\ Displaystyle 3 \ cdot {\ vec {GO}} = \ left (\ sum \ limits _ {\ scriptstyle {\ rm {cíclico}}} {\ vec {GA}} \ right) + \ left (\ sum \ límites _ {\ scriptstyle {\ rm {cíclico}}} {\ vec {AO}} \ right) = 0- \ left (\ sum \ limits _ {\ scriptstyle {\ rm {cíclico}}} {\ vec {OA }} \ right) = - {\ vec {OH}}.}$

En conclusión,, por lo que los tres puntos , y (en este orden) son colineales. ${\ Displaystyle 3 \ cdot {\ vec {OG}} = {\ vec {OH}}}$${\ Displaystyle O}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$

En el libro de Dörrie, la línea de Euler y el problema de Sylvester se juntan en una sola demostración. Sin embargo, la mayoría de las demostraciones del problema de Sylvester se basan en las propiedades fundamentales de los vectores libres, independientemente de la línea de Euler.

Distancias entre centros

En la línea de Euler, el centroide G está entre el circuncentro O y el ortocentro H y está dos veces más lejos del ortocentro que del circuncentro:

${\ Displaystyle GH = 2GO;}$

${\ displaystyle OH = 3GO.}$

El segmento GH es un diámetro del círculo ortocentroidal .

El centro N del círculo de nueve puntos se encuentra a lo largo de la línea de Euler a medio camino entre el ortocentro y el circuncentro:

${\ Displaystyle ON = NH, \ quad OG = 2 \ cdot GN, \ quad NH = 3GN.}$

Por lo tanto, la recta de Euler podría reposicionarse en una recta numérica con el circuncentro O en la ubicación 0, el centroide G en 2 t , el centro de nueve puntos en 3 t y el ortocentro H en 6 t para algún factor de escala t .

Además, la distancia al cuadrado entre el centroide y el circuncentro a lo largo de la línea de Euler es menor que el cuadrado circunradio R ² en una cantidad igual a un noveno la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados un , b , y c :

${\ displaystyle GO ^ {2} = R ^ {2} - {\ tfrac {1} {9}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}).}$

Además,

${\ Displaystyle OH ^ {2} = 9R ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2});}$

${\ displaystyle GH ^ {2} = 4R ^ {2} - {\ tfrac {4} {9}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}).}$

Representación

Ecuación

Sea A , B , C los ángulos de vértice del triángulo de referencia, y sea x  : y  : z un punto variable en coordenadas trilineales ; entonces una ecuación para la línea de Euler es

${\ Displaystyle \ sin (2A) \ sin (BC) x + \ sin (2B) \ sin (CA) y + \ sin (2C) \ sin (AB) z = 0.}$

Una ecuación para la línea de Euler en coordenadas baricéntricas es ${\ Displaystyle \ alpha: \ beta: \ gamma}$

${\ Displaystyle (\ tan C- \ tan B) \ alpha + (\ tan A- \ tan C) \ beta + (\ tan B- \ tan A) \ gamma = 0.}$

Representación paramétrica

Otra forma de representar la línea de Euler es en términos de un parámetro t . Comenzando con el circuncentro (con coordenadas trilineales ) y el ortocentro (con trilineales, cada punto de la línea de Euler, excepto el ortocentro, viene dado por las coordenadas trilineales ${\ Displaystyle \ cos A: \ cos B: \ cos C}$${\ Displaystyle \ sec A: \ sec B: \ sec C = \ cos B \ cos C: \ cos C \ cos A: \ cos A \ cos B),}$

${\ Displaystyle \ cos A + t \ cos B \ cos C: \ cos B + t \ cos C \ cos A: \ cos C + t \ cos A \ cos B}$

formado como una combinación lineal de los trilineales de estos dos puntos, para algunos t .

Por ejemplo:

• El circuncentro tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro ${\ Displaystyle \ cos A: \ cos B: \ cos C,}$${\ Displaystyle t = 0.}$
• El centroide tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro ${\ Displaystyle \ cos A + \ cos B \ cos C: \ cos B + \ cos C \ cos A: \ cos C + \ cos A \ cos B,}$${\ Displaystyle t = 1.}$
• El centro de nueve puntos tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro ${\ Displaystyle \ cos A + 2 \ cos B \ cos C: \ cos B + 2 \ cos C \ cos A: \ cos C + 2 \ cos A \ cos B,}$${\ Displaystyle t = 2.}$
• El punto de Longchamps tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro ${\ Displaystyle \ cos A- \ cos B \ cos C: \ cos B- \ cos C \ cos A: \ cos C- \ cos A \ cos B,}$${\ Displaystyle t = -1.}$

Pendiente

En un sistema de coordenadas cartesianas , denote las pendientes de los lados de un triángulo como y y denote la pendiente de su línea de Euler como . Entonces estas pendientes se relacionan según ${\ Displaystyle m_ {1},}$ ${\ Displaystyle m_ {2},}$${\ Displaystyle m_ {3},}$${\ Displaystyle m_ {E}}$

${\ Displaystyle m_ {1} m_ {2} + m_ {1} m_ {3} + m_ {1} m_ {E} + m_ {2} m_ {3} + m_ {2} m_ {E} + m_ { 3} m_ {E}}$

${\ Displaystyle + 3m_ {1} m_ {2} m_ {3} m_ {E} + 3 = 0.}$

Por tanto, la pendiente de la recta de Euler (si es finita) se puede expresar en términos de las pendientes de los lados como

${\ Displaystyle m_ {E} = - {\ frac {m_ {1} m_ {2} + m_ {1} m_ {3} + m_ {2} m_ {3} +3} {m_ {1} + m_ { 2} + m_ {3} + 3m_ {1} m_ {2} m_ {3}}}.}$

Además, la línea de Euler es paralela al lado BC de un triángulo agudo si y solo si ${\ Displaystyle \ tan B \ tan C = 3.}$

Relación con triángulos equiláteros inscritos

El lugar geométrico de los centroides de los triángulos equiláteros inscritos en un triángulo dado está formado por dos líneas perpendiculares a la línea de Euler del triángulo dado.

En triángulos especiales

Triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo , la línea de Euler coincide con la mediana de la hipotenusa , es decir, atraviesa tanto el vértice en ángulo recto como el punto medio del lado opuesto a ese vértice. Esto se debe a que el ortocentro del triángulo rectángulo, la intersección de sus altitudes , cae en el vértice en ángulo recto, mientras que su circuncentro, la intersección de sus bisectrices perpendiculares de lados, cae en el punto medio de la hipotenusa.

Triángulo isósceles

La línea de Euler de un triángulo isósceles coincide con el eje de simetría . En un triángulo isósceles, el incentro cae sobre la línea de Euler.

Triángulo automático

La línea de Euler de un triángulo automediano (uno cuyas medianas están en las mismas proporciones, aunque en el orden opuesto, que los lados) es perpendicular a una de las medianas.

Sistemas de triángulos con líneas de Euler concurrentes

Considere un triángulo ABC con puntos Fermat – Torricelli F ₁ y F ₂ . Las líneas de Euler de los 10 triángulos con vértices elegidos entre A, B, C, F ₁ y F ₂ son concurrentes en el centroide del triángulo ABC .

Las líneas de Euler de los cuatro triángulos formados por un sistema ortocéntrico (un conjunto de cuatro puntos de modo que cada uno es el ortocentro del triángulo con vértices en los otros tres puntos) son concurrentes en el centro de nueve puntos común a todos los triángulos.

Generalizaciones

Cuadrilátero

En un cuadrilátero convexo , el cuasiortocentro H , el "centroide de área" G y el cuasicircumcentro O son colineales en este orden en la línea de Euler, y HG = 2 GO .

Tetraedro

Un tetraedro es un objeto tridimensional delimitado por cuatro caras triangulares . Siete líneas asociadas con un tetraedro son concurrentes en su centroide; sus seis planos medios se cruzan en su punto Monge ; y hay una circunsfera que pasa por todos los vértices, cuyo centro es el circuncentro. Estos puntos definen la "línea de Euler" de un tetraedro análogo al de un triángulo. El centroide es el punto medio entre su punto Monge y el circuncentro a lo largo de esta línea. El centro de la esfera de doce puntos también se encuentra en la línea de Euler.

Politopo simple

Un politopo simplicial es un politopo cuyas facetas son todas simples . Por ejemplo, cada polígono es un politopo simple. La línea de Euler asociada a tal politopo es la línea determinada por su centroide y circuncentro de masa . Esta definición de una línea de Euler generaliza las anteriores.

Suponga que es un polígono. La línea de Euler es sensible a las simetrías de de las siguientes maneras: ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle P}$

1. Si tiene una línea de simetría de reflexión , entonces es o un punto en . ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$

2. Si tiene un centro de simetría rotacional , entonces . ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle E = C}$

3. Si todos los lados menos uno tienen la misma longitud, entonces es ortogonal al último lado. ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle E}$

Construcciones relacionadas

La parábola de Kiepert de un triángulo es la única parábola que es tangente a los lados (dos de ellos extendidos ) del triángulo y tiene la línea de Euler como su directriz .

Referencias

enlaces externos

• Un subprograma interactivo que muestra varios centros de triángulos que se encuentran en la línea de Euler .
• "Euler Line" y "Non-Euclidean Triangle Continuum" en el Wolfram Demonstrations Project
• Cónica de nueve puntos y generalización de la línea de Euler , Una generalización adicional de la línea de Euler y La línea cuasi-Euler de un cuadrilátero y un hexágono en Dynamic Geometry Sketches
• Bogomolny, Alexander , " Altitudes y la línea de Euler " y " Línea de Euler y círculo de 9 puntos ", Cut-the-Knot
• Kimberling, Clark , "Centros triangulares en la línea Euler" , Centros triangulares CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Stankova, Zvezdelina (1 de febrero de 2016), "Los triángulos tienen una autopista mágica" , Numberphile , YouTube CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Weisstein, Eric W. "Euler Line" . MathWorld .