Mediana (geometría) - Median (geometry)

Las medianas del triángulo y el centroide .

En geometría , la mediana de un triángulo es un segmento de línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, dividiendo así ese lado. Cada triángulo tiene exactamente tres medianas, una de cada vértice, y todas se intersecan en el centroide del triángulo . En el caso de triángulos isósceles y equiláteros , una mediana biseca cualquier ángulo en un vértice cuyos dos lados adyacentes tienen la misma longitud.

El concepto de mediana se extiende a los tetraedros .

Relación con el centro de masa

Cada mediana de un triángulo pasa a través del centroide del triángulo , que es el centro de masa de un objeto infinitamente delgado de densidad uniforme que coincide con el triángulo. Así, el objeto se equilibraría en el punto de intersección de las medianas. El centroide está dos veces más cerca a lo largo de cualquier mediana del lado en el que la mediana se cruza que del vértice del que emana.

División de áreas iguales

Triangle.Centroid.Median.png

Cada mediana divide el área del triángulo por la mitad; de ahí el nombre, y por tanto un objeto triangular de densidad uniforme se equilibraría en cualquier mediana. (Cualquier otra línea que divida el área del triángulo en dos partes iguales no pasa por el centroide). Las tres medianas dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños de igual área .

Prueba de propiedad de área equivalente

Considere un triángulo ABC . Sea D el punto medio de , E el punto medio de , F el punto medio de y O el centroide (más comúnmente denotado G ).

Por definición, . Así y , donde representa el área del triángulo  ; estos son válidos porque en cada caso los dos triángulos tienen bases de igual longitud y comparten una altitud común desde la base (extendida), y el área de un triángulo es igual a la mitad de su base por su altura.

Tenemos:

Así, y

Dado que , por tanto ,. Usando el mismo método, uno puede demostrar eso .

Tres triángulos congruentes

En 2014 Lee Sallows descubrió el siguiente teorema:

Las medianas de cualquier triángulo lo dividen en seis triángulos más pequeños de áreas iguales como en la figura anterior, donde tres pares de triángulos adyacentes se encuentran en los puntos medios D, E y F. Si los dos triángulos en cada uno de estos pares se rotan alrededor de su punto medio común hasta se encuentran para compartir un lado común, entonces los tres nuevos triángulos formados por la unión de cada par son congruentes.

Fórmulas que involucran la longitud de las medianas

Las longitudes de las medianas se pueden obtener del teorema de Apolonio como:

donde y son los lados del triángulo con sus respectivas medianas y desde sus puntos medios.

Estas fórmulas implican las relaciones:

Otras propiedades

Sea ABC un triángulo, sea G su centroide y sean D , E y F los puntos medios de BC , CA y AB , respectivamente. Para cualquier punto P en el plano de ABC, entonces

El centroide divide cada mediana en partes en una proporción de 2: 1, con el centroide dos veces más cerca del punto medio de un lado que del vértice opuesto.

Para cualquier triángulo con lados y medianas

Las medianas de los lados de las longitudes y son perpendiculares si y solo si

Las medianas de un triángulo rectángulo con hipotenusa satisfacen

El área T de cualquier triángulo se puede expresar en términos de sus medianas , y de la siguiente manera. Si su semi-suma se denota por entonces

Tetraedro

medianas de un tetraedro

Un tetraedro es un objeto tridimensional que tiene cuatro caras triangulares . Un segmento de línea que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro. Hay cuatro medianas y todas concurren en el centroide del tetraedro. Como en el caso bidimensional, el centroide del tetraedro es el centro de masa . Sin embargo, contrariamente al caso bidimensional, el centroide divide las medianas no en una proporción de 2: 1 sino en una proporción de 3: 1 ( teorema de Commandino ).

Ver también

Referencias

enlaces externos