Teorema de selección - Selection theorem

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, un teorema de selección es un teorema que garantiza la existencia de una función de selección de valor único a partir de un mapa de valores múltiples dado. Existen varios teoremas de selección y son importantes en las teorías de inclusiones diferenciales , control óptimo y economía matemática .

Preliminares

Dados dos conjuntos X y Y , deja F sea un mapa de varios valores de X y Y . De manera equivalente, es una función de X a la de ajuste de potencia de Y . ${\ Displaystyle F: X \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)}$

Se dice que una función es una selección de F si ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

{\ Displaystyle \ forall x \ in X: \, \, \, f (x) \ in F (x) \ ,.}

En otras palabras, dada una entrada x para la cual la función original F devuelve múltiples valores, la nueva función f devuelve un solo valor. Este es un caso especial de función de elección .

El axioma de elección implica que siempre existe una función de selección; sin embargo, a menudo es importante que la selección tenga algunas propiedades "agradables", como la continuidad o la mensurabilidad . Aquí es donde entran en acción los teoremas de selección: garantizan que, si F satisface ciertas propiedades, entonces tiene una selección f que es continua o tiene otras propiedades deseables.

Teoremas de selección para funciones con valores establecidos

El teorema de selección de Michael dice que las siguientes condiciones son suficientes para la existencia de una selección continua :

X es un espacio paracompacto ;
Y es un espacio de Banach ;
F es hemicontinuo inferior ;
para todo x en X , el conjunto F ( x ) no está vacío, es convexo y cerrado .

El teorema de Deutsch-Kenderov generaliza el teorema de Michael de la siguiente manera:

X es un espacio paracompacto ;
Y es un espacio vectorial normalizado ;
F es hemicontinuo casi inferior , es decir, en cada uno , para cada vecindario de existe un vecindario de tal que ; ${\ Displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ textstyle \ bigcap _ {u \ in U} \ {F (u) + V \} \ neq \ emptyset}$
para todo x en X , el conjunto F ( x ) no está vacío y es convexo .

Estas condiciones garantizan que tiene una continua aproximada de selección, que es, para cada zona de en no es una función continua de tal manera que para cada , . ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle f \ colon X \ mapsto Y}$ ${\ Displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle f (x) \ en F (X) + V}$

En una nota posterior, Xu demostró que el teorema de Deutsch-Kenderov también es válido si es un espacio vectorial topológico localmente convexo . ${\ Displaystyle Y}$

El teorema de selección de Yannelis-Prabhakar dice que las siguientes condiciones son suficientes para la existencia de una selección continua :

X es un espacio de Hausdorff paracompacto ;
Y es un espacio topológico lineal ;
para todo x en X , el conjunto F ( x ) no está vacío y es convexo ;
para todos y en Y , la inversa establece F ^-1 ( y ) es un conjunto abierto en X .

El teorema de selección medible de Kuratowski y Ryll-Nardzewski dice que si X es un espacio polaco y su σ-álgebra de Borel , es el conjunto de subconjuntos cerrados no vacíos de X , es un espacio medible y es un mapa débilmente medible (es decir, para cada subconjunto abierto que tenemos ), entonces tiene una selección que es - medible . ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} (X)}$ ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$ ${\ Displaystyle F: \ Omega \ to \ mathrm {Cl} (X)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle U \ subseteq X}$ ${\ Displaystyle \ {\ omega \ in \ Omega: F (\ omega) \ cap U \ neq \ emptyset \} \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {B}})}$