Función de elección - Choice function

Una función de elección ( selector , selección ) es una función matemática f que se define en alguna colección X de conjuntos no vacíos y asigna algún elemento de cada conjunto S en esa colección a S por f ( S ); f ( S ) mapea S a algún elemento de S . En otras palabras, f es una función de elección para la X si y sólo si pertenece al producto directo de X .

Un ejemplo

Sea X  = {{1,4,7}, {9}, {2,7}}. A continuación, la función que asigna a 7 el conjunto {1,4,7}, 9 a {9}, y de 2 a {2,7} es una función de elección en X .

Historia e importancia

Ernst Zermelo (1904) introdujo las funciones de elección, así como el axioma de elección (AC) y demostró el teorema del buen orden , que establece que todo conjunto puede estar bien ordenado . AC establece que cada conjunto de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Una forma más débil de AC, el axioma de elección contable (AC ω ) establece que todo conjunto contable de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Sin embargo, en ausencia de AC o AC ω , todavía se puede demostrar que algunos conjuntos tienen una función de elección.

  • Si es un conjunto finito de conjuntos no vacíos, entonces se puede construir una función de elección eligiendo un elemento de cada miembro de. Esto requiere solo un número finito de opciones, por lo que no se necesitan ni AC ni AC ω .
  • Si cada miembro de es un conjunto no vacío y la unión está bien ordenada, entonces se puede elegir el elemento menor de cada miembro de . En este caso, fue posible ordenar bien simultáneamente a cada miembro de haciendo solo una elección de un pedido bueno de la unión, por lo que no se necesitaba ni AC ni AC ω . (Este ejemplo muestra que el teorema del buen orden implica AC. Lo contrario también es cierto, pero menos trivial).

Función de elección de un mapa multivalor

Dados dos conjuntos X e Y , sea F un mapa de valores múltiples de X e Y (de manera equivalente, es una función de X al conjunto de potencias de Y ).

Se dice que una función es una selección de F , si:

La existencia de funciones de elección más regulares, es decir, selecciones continuas o mensurables, es importante en la teoría de inclusiones diferenciales , control óptimo y economía matemática . Ver teorema de selección .

Función tau bourbaki

Nicolas Bourbaki usó el cálculo épsilon para sus fundamentos que tenían un símbolo que podía interpretarse como la elección de un objeto (si existía) que satisface una proposición dada. Entonces, si es un predicado, entonces es un objeto particular que satisface (si existe, de lo contrario, devuelve un objeto arbitrario). Por tanto, podemos obtener cuantificadores de la función de elección, por ejemplo, era equivalente a .

Sin embargo, el operador de elección de Bourbaki es más fuerte de lo habitual: es un operador de elección global . Es decir, implica el axioma de la elección global . Hilbert se dio cuenta de esto cuando introdujo el cálculo épsilon.

Ver también

Notas

Referencias

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