Inclusión diferencial - Differential inclusion

En matemáticas, las inclusiones diferenciales son una generalización del concepto de ecuación diferencial ordinaria de la forma

${\ Displaystyle {\ frac {dx} {dt}} (t) \ en F (t, x (t)),}$

donde F es un mapa de valores múltiples , es decir, F ( t , x ) es un conjunto en lugar de un solo punto en . Las inclusiones diferenciales surgen en muchas situaciones, incluidas las desigualdades variacionales diferenciales , los sistemas dinámicos proyectados , el proceso de barrido de Moreau, los sistemas dinámicos de complementariedad lineal y no lineal, las ecuaciones diferenciales ordinarias discontinuas, los sistemas dinámicos de conmutación y la aritmética de conjuntos difusos . ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R}} ^ {d}}$

Por ejemplo, la regla básica para la fricción de Coulomb es que la fuerza de fricción tiene magnitud μN en la dirección opuesta a la dirección de deslizamiento, donde N es la fuerza normal y μ es una constante (el coeficiente de fricción). Sin embargo, si el deslizamiento es cero, la fuerza de fricción puede ser cualquier fuerza en el plano correcto con una magnitud menor o igual a μN . Por lo tanto, escribir la fuerza de fricción en función de la posición y la velocidad conduce a una función de valor establecido.

Teoría

La teoría de la existencia generalmente asume que F ( t ,  x ) es una función hemicontinua superior de x , medible en t , y que F ( t ,  x ) es un conjunto convexo cerrado para todo t y x . Existencia de soluciones para el problema del valor inicial.

${\ Displaystyle {\ frac {dx} {dt}} (t) \ in F (t, x (t)), \ quad x (t_ {0}) = x_ {0}}$

para un intervalo de tiempo suficientemente pequeño [ t ₀ ,  t ₀  +  ε ),  sigue ε > 0. La existencia global puede mostrarse siempre que F no permita la "explosión" ( como para un finito ). ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ Vert x (t) \ Vert \, \ to \, \ infty}$${\ Displaystyle \ scriptstyle t \, \ to \, t ^ {*}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle t ^ {*}}$

La teoría de la existencia de inclusiones diferenciales con F ( t ,  x ) no convexa es un área activa de investigación.

La singularidad de las soluciones generalmente requiere otras condiciones. Por ejemplo, suponga que satisface una condición de Lipschitz unilateral : ${\ Displaystyle F (t, x)}$

${\ Displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) ^ {T} (F (t, x_ {1}) - F (t, x_ {2})) \ leq C \ Vert x_ {1} -x_ {2} \ Vert ^ {2}}$

para algo de C para todo x ₁ y x ₂ . Entonces el problema del valor inicial

${\ Displaystyle {\ frac {dx} {dt}} (t) \ in F (t, x (t)), \ quad x (t_ {0}) = x_ {0}}$

tiene una solución única.

Esto está estrechamente relacionado con la teoría de los operadores monótonos máximos , desarrollada por Minty y Haïm Brezis .

La teoría de Filippov solo permite discontinuidades en la derivada , pero no admite discontinuidades en el estado, es decir, necesita ser continua. Schatzman y más tarde Moreau (quien le dio el nombre actualmente aceptado) ampliaron la noción para medir la inclusión diferencial (MDI) en la que la inclusión se evalúa tomando el límite de arriba para . ${\ Displaystyle {\ frac {dx} {dt}} (t)}$${\ Displaystyle x (t)}$${\ Displaystyle x (t)}$

Aplicaciones

Las inclusiones diferenciales se pueden utilizar para comprender e interpretar adecuadamente ecuaciones diferenciales ordinarias discontinuas, como las que surgen para la fricción de Coulomb en sistemas mecánicos y los interruptores ideales en electrónica de potencia. AF Filippov, que estudió regularizaciones de ecuaciones discontinuas, hizo una contribución importante. Además, la técnica de regularización fue utilizada por NN Krasovskii en la teoría de juegos diferenciales .

Las inclusiones diferenciales también se encuentran en la base del análisis de sistemas dinámicos no suaves (NSDS), que se utiliza en el estudio analógico de conmutación de circuitos eléctricos utilizando ecuaciones de componentes idealizadas (por ejemplo, utilizando líneas verticales rectas idealizadas para el avance y la ruptura exponencial marcadamente regiones de conducción de una característica de diodo ) y en el estudio de determinados sistemas mecánicos no lisos como las oscilaciones stick-slip en sistemas con fricción seca o la dinámica de los fenómenos de impacto . Resuelve que los sistemas de software ENDE existe, como INRIA 's Siconos .

Ver también

• Rigidez , que afecta a las ODE / DAE para funciones con "giros bruscos" y que afecta a la convergencia numérica

Referencias

• Aubin, Jean-Pierre; Cellina, Arrigo (1984). Inclusiones diferenciales, mapas de valores establecidos y teoría de la viabilidad . Grundl. der Math. Wiss. 264 . Berlín: Springer. ISBN 9783540131052.
• Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (1990). Análisis por valores establecidos . Birkhäuser. ISBN 978-0817648473.
• Deimling, Klaus (1992). Ecuaciones diferenciales multivalor . Walter de Gruyter. ISBN 978-3110132120.
• Andrés, J .; Górniewicz, Lech (2003). Principios topológicos de punto fijo para problemas de valores en la frontera . Saltador. ISBN 978-9048163182.
• Filippov, AF (1988). Ecuaciones diferenciales con lados derechos discontinuos . Grupo de Editores Académicos de Kluwer. ISBN 90-277-2699-X.