Conjunto Mandelbrot - Mandelbrot set

El conjunto de Mandelbrot (negro) dentro de un entorno de colores continuos

Reproducir medios

Iteraciones infinitas progresivas de la sección "Nautilus" del conjunto de Mandelbrot representadas con webGL

Animación de Mandelbrot basada en un número estático de iteraciones por píxel

Detalle del conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot ( / m æ n d əl b r ɒ t / ) es el conjunto de números complejos para los que la función no divergen a infinito cuando iterada de , es decir, para los que la secuencia , , etc., queda delimitada en valor absoluto. Su definición se le atribuye a Adrien Douady quien la nombró en homenaje al matemático Benoit Mandelbrot , pionero de la geometría fractal . ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c}$ ${\ Displaystyle z = 0}$ ${\ Displaystyle f_ {c} (0)}$ ${\ Displaystyle f_ {c} (f_ {c} (0))}$

Acercándonos al set de Mandelbrot

Las imágenes del conjunto de Mandelbrot exhiben un límite elaborado e infinitamente complicado que revela detalles recursivos cada vez más finos con aumentos crecientes, lo que hace que el límite del conjunto de Mandelbrot sea una curva fractal . El "estilo" de este detalle repetido depende de la región del conjunto que se examina. Las imágenes del conjunto de Mandelbrot se pueden crear muestreando los números complejos y probando, para cada punto de muestra, si la secuencia llega al infinito . Al tratar las partes real e imaginaria de como coordenadas de la imagen en el plano complejo , los píxeles se pueden colorear de acuerdo con la rapidez con la que la secuencia cruza un umbral elegido arbitrariamente (el umbral tiene que ser al menos 2, pero por lo demás es arbitrario). Si se mantiene constante y , en cambio, se varía el valor inicial de , se obtiene el conjunto de Julia correspondiente para el punto . ${\ Displaystyle c,}$ ${\ Displaystyle f_ {c} (0), f_ {c} (f_ {c} (0)), \ dotsc}$ ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle | f_ {c} (0) |, | f_ {c} (f_ {c} (0)) |, \ dotsc}$ ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle z}$ ${\ Displaystyle c}$

El conjunto de Mandelbrot se ha vuelto popular fuera de las matemáticas tanto por su atractivo estético como por ser un ejemplo de una estructura compleja que surge de la aplicación de reglas simples. Es uno de los ejemplos más conocidos de visualización matemática , la belleza matemática , y el motivo .

Historia

La primera imagen publicada del set de Mandelbrot, por Robert W. Brooks y Peter Matelski en 1978

El conjunto de Mandelbrot tiene su origen en la dinámica compleja , un campo investigado por primera vez por los matemáticos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia a principios del siglo XX. Este fractal fue definido y dibujado por primera vez en 1978 por Robert W. Brooks y Peter Matelski como parte de un estudio de grupos kleinianos . El 1 de marzo de 1980, en IBM 's Thomas J. Watson Research Center en Yorktown Heights , Nueva York , Benoit Mandelbrot por primera vez una visualización del conjunto.

Mandelbrot estudió el espacio de parámetros de polinomios cuadráticos en un artículo que apareció en 1980. El estudio matemático del conjunto de Mandelbrot realmente comenzó con el trabajo de los matemáticos Adrien Douady y John H. Hubbard (1985), quienes establecieron muchas de sus propiedades fundamentales y nombraron el conjunto en honor a Mandelbrot por su influyente trabajo en geometría fractal .

Los matemáticos Heinz-Otto Peitgen y Peter Richter se hicieron famosos por promocionar el set con fotografías, libros (1986) y una exposición itinerante internacional del Goethe-Institut alemán (1985).

El artículo de portada de la revista Scientific American de agosto de 1985 presentó a una amplia audiencia el algoritmo para calcular el conjunto de Mandelbrot. La portada presentaba una imagen ubicada en −0,909 + −0,275 i y fue creada por Peitgen et al. El set de Mandelbrot se hizo prominente a mediados de la década de 1980 como una demostración de gráficos por computadora , cuando las computadoras personales se volvieron lo suficientemente potentes para trazar y mostrar el set en alta resolución.

El trabajo de Douady y Hubbard coincidió con un enorme aumento en el interés por la dinámica compleja y las matemáticas abstractas , y el estudio del conjunto de Mandelbrot ha sido una pieza central de este campo desde entonces. Una lista exhaustiva de todos los que han contribuido a la comprensión de este conjunto desde entonces es larga, pero incluiría a Jean-Christophe Yoccoz , Mitsuhiro Shishikura , Curt McMullen , John Milnor y Mikhail Lyubich .

Definicion formal

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores de c en el plano complejo para el cual la órbita del punto crítico z = 0 bajo iteración del mapa cuadrático

{\ Displaystyle z_ {n + 1} = {z_ {n}} ^ {2} + c}

permanece acotado . Por lo tanto, un número complejo c es miembro del conjunto de Mandelbrot si, al comenzar con z ₀ = 0 y aplicar la iteración repetidamente, el valor absoluto de z _n permanece acotado para todo n > 0.

Por ejemplo, para c = 1, la secuencia es 0, 1, 2, 5, 26, ..., que tiende a infinito , por lo que 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot. Por otro lado, para c = −1, la secuencia es 0, −1, 0, −1, 0, ..., que está acotada, por lo que −1 pertenece al conjunto.

El conjunto de Mandelbrot también se puede definir como el locus de conectividad de una familia de polinomios .

Propiedades básicas

El conjunto de Mandelbrot es un conjunto compacto , ya que está cerrado y contenido en el disco cerrado de radio 2 alrededor del origen . Más específicamente, un punto pertenece al conjunto de Mandelbrot si y solo si para todos . En otras palabras, el valor absoluto de debe permanecer en o por debajo de 2 para estar en el conjunto de Mandelbrot , ya que si ese valor absoluto excede de 2, la secuencia escapará al infinito. ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle | z_ {n} | \ leq 2}$ ${\ Displaystyle n \ geq 0}$ ${\ Displaystyle z_ {n}}$ ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle M}$

Correspondencia entre el conjunto de Mandelbrot y el diagrama de bifurcación del mapa logístico

Con iteraciones trazadas en el eje vertical, se puede ver que el conjunto de Mandelbrot se bifurca donde el conjunto es finito

{\ Displaystyle z_ {n}}

La intersección de con el eje real es precisamente el intervalo [−2, 1/4]. Los parámetros a lo largo de este intervalo se pueden poner en correspondencia uno a uno con los de la familia logística real , ${\ Displaystyle M}$

{\ Displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}), \ quad r \ in [1,4].}

La correspondencia está dada por

{\ Displaystyle z = r \ left ({\ frac {1} {2}} - x \ right), \ quad c = {\ frac {r} {2}} \ left (1 - {\ frac {r} {2}} \ derecha).}

De hecho, esto da una correspondencia entre todo el espacio de parámetros de la familia logística y el del conjunto de Mandelbrot.

Douady y Hubbard han demostrado que el conjunto de Mandelbrot está conectado . De hecho, construyeron un isomorfismo conforme explícito entre el complemento del conjunto de Mandelbrot y el complemento del disco unitario cerrado . Mandelbrot había conjeturado originalmente que el conjunto de Mandelbrot está desconectado . Esta conjetura se basó en imágenes de computadora generadas por programas que son incapaces de detectar los finos filamentos que conectan diferentes partes de . Tras más experimentos, revisó su conjetura y decidió que debería estar conectado. También existe una prueba topológica de la conexión que fue descubierta en 2001 por Jeremy Kahn . ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle M}$

Rayos externos de estelas cerca del continente del período 1 en el conjunto de Mandelbrot

La fórmula dinámica para la uniformización del complemento del conjunto de Mandelbrot, que surge de la prueba de Douady y Hubbard de la conexión de , da lugar a rayos externos del conjunto de Mandelbrot. Estos rayos se pueden utilizar para estudiar el conjunto de Mandelbrot en términos combinatorios y forman la columna vertebral del parapuzzle de Yoccoz . ${\ Displaystyle M}$

El límite del conjunto de Mandelbrot es exactamente el lugar de bifurcación de la familia cuadrática; es decir, el conjunto de parámetros para los que la dinámica cambia abruptamente bajo pequeños cambios de Se puede construir como el conjunto límite de una secuencia de curvas planas algebraicas , las curvas de Mandelbrot , del tipo general conocido como polinomios lemniscates . Las curvas de Mandelbrot se definen estableciendo p ₀ = z , p _n₊₁ = p _n² + z , y luego interpretando el conjunto de puntos | p _n ( z ) | = 2 en el plano complejo como una curva en el verdadero plano cartesiano de grado 2 ⁿ¹ en x y y . Cada curva n > 0 es el mapeo de un círculo inicial de radio 2 bajo p _n . Estas curvas algebraicas aparecen en imágenes del conjunto de Mandelbrot calculadas utilizando el "algoritmo de tiempo de escape" mencionado a continuación. ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle c.}$

Otras propiedades

Principales bulbos cardioides y periodos

Períodos de componentes hiperbólicos

Al mirar una imagen del conjunto de Mandelbrot, uno nota inmediatamente la gran región en forma de cardioide en el centro. Este cardioide principal es la región de parámetros para los que el mapa ${\ Displaystyle c}$

{\ Displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c}

tiene un punto fijo de atracción . Consta de todos los parámetros del formulario

{\ Displaystyle c = {\ frac {\ mu} {2}} \ left (1 - {\ frac {\ mu} {2}} \ right)}

para algunos en el disco de la unidad abierta . ${\ Displaystyle \ mu}$

A la izquierda del cardioide principal, unido a él en el punto , se ve un bulbo de forma circular . Esta bombilla consta de aquellos parámetros para los que tiene un ciclo de atracción de período 2 . Este conjunto de parámetros es un círculo real, es decir, el de radio 1/4 alrededor de -1. ${\ Displaystyle c = -3 / 4}$ ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle f_ {c}}$

Hay infinitamente muchos otros bulbos tangente a la cardioide principal: para cada número racional , con p y q primos entre sí , hay una bombilla de tal manera que es tangente en el parámetro ${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$

{\ Displaystyle c _ {\ frac {p} {q}} = {\ frac {e ^ {2 \ pi i {\ frac {p} {q}}}} {2}} \ left (1 - {\ frac {e ^ {2 \ pi i {\ frac {p} {q}}}} {2}} \ derecha).}

Ciclo de atracción en 2/5 bulbos trazados sobre el conjunto de Julia (animación)

Esta bombilla se llama la bombilla del conjunto Mandelbrot. Consiste en parámetros que tienen un ciclo de atracción de período y número de rotación combinatoria . Más precisamente, los componentes periódicos de Fatou que contienen el ciclo de atracción se tocan en un punto común (comúnmente llamado punto fijo ). Si etiquetamos estos componentes en sentido antihorario, entonces mapea el componente al componente . ${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$ ${\ Displaystyle q}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$ ${\ Displaystyle q}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle U_ {0}, \ dots, U_ {q-1}}$ ${\ Displaystyle f_ {c}}$ ${\ Displaystyle U_ {j}}$ ${\ Displaystyle U_ {j + p \, (\ operatorname {mod} q)}}$

Atraer ciclos y conjuntos de Julia para parámetros en las bombillas 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 y 1/5

El cambio de comportamiento que se produce en se conoce como bifurcación : el punto fijo de atracción "choca" con un período de repulsión q -ciclo. A medida que pasamos por el parámetro de bifurcación hacia la bombilla, el punto fijo atrayente se convierte en un punto fijo repelente (el punto fijo ) y el período q -ciclo se vuelve atrayente. ${\ Displaystyle c _ {\ frac {p} {q}}}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$

Componentes hiperbólicos

Todas las bombillas que encontramos en la sección anterior eran componentes interiores del conjunto de Mandelbrot en el que los mapas tienen un atractivo ciclo periódico. Estos componentes se denominan componentes hiperbólicos . ${\ Displaystyle f_ {c}}$

Se conjetura que estas son las únicas regiones interiores de . Este problema, conocido como densidad de hiperbolicidad , puede ser el problema abierto más importante en el campo de la dinámica compleja . Los componentes hipotéticos no hiperbólicos del conjunto de Mandelbrot a menudo se denominan componentes "queer" o fantasma. En el caso de polinomios cuadráticos reales , Lyubich y Graczyk y Świątek respondieron positivamente a esta pregunta en la década de 1990 de forma independiente. (Tenga en cuenta que los componentes hiperbólicos que cruzan el eje real corresponden exactamente a ventanas periódicas en el diagrama de Feigenbaum . Por lo tanto, este resultado indica que tales ventanas existen cerca de todos los parámetros del diagrama). ${\ Displaystyle M}$

No todos los componentes hiperbólicos pueden alcanzarse mediante una secuencia de bifurcaciones directas desde el cardioide principal del conjunto de Mandelbrot. Sin embargo, tal componente puede alcanzarse mediante una secuencia de bifurcaciones directas desde el cardioide principal de una pequeña copia de Mandelbrot (ver más abajo).

Cada uno de los componentes hiperbólicos tiene un centro , que es un punto c tal que el dominio interno de Fatou tiene un ciclo de súper atracción, es decir, que la atracción es infinita (vea la imagen aquí ). Esto significa que el ciclo contiene el punto crítico 0, por lo que 0 se repite a sí mismo después de algunas iteraciones. Por lo tanto, tenemos eso para algunos n . Si llamamos a este polinomio (dejando que dependa de c en lugar de z ), tenemos eso y que el grado de es . Por tanto, podemos construir los centros de los componentes hiperbólicos resolviendo sucesivamente las ecuaciones . El número de nuevos centros producidos en cada paso viene dado por el OEIS de Sloane : A000740 . ${\ Displaystyle f_ {c} (z)}$ ${\ Displaystyle f_ {c} ^ {n} (0) = 0}$ ${\ Displaystyle Q ^ {n} (c)}$ ${\ Displaystyle Q ^ {n + 1} (c) = Q ^ {n} (c) ^ {2} + c}$ ${\ Displaystyle Q ^ {n} (c)}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {n-1}}$ ${\ Displaystyle Q ^ {n} (c) = 0, n = 1,2,3, ...}$

Conectividad local

Se conjetura que el conjunto de Mandelbrot está conectado localmente . Esta famosa conjetura se conoce como MLC (por Mandelbrot conectado localmente ). Según el trabajo de Adrien Douady y John H. Hubbard , esta conjetura daría como resultado un modelo abstracto simple de "disco pellizcado" del conjunto de Mandelbrot. En particular, implicaría la importante conjetura de hiperbolicidad mencionada anteriormente.

El trabajo de Jean-Christophe Yoccoz estableció la conectividad local del conjunto de Mandelbrot en todos los parámetros finitamente renormalizables ; es decir, en términos generales, los contenidos sólo en un número finito de copias pequeñas de Mandelbrot. Desde entonces, la conectividad local se ha probado en muchos otros puntos de , pero la conjetura completa aún está abierta. ${\ Displaystyle M}$

Auto-semejanza

La autosimilitud en el conjunto de Mandelbrot se muestra al hacer zoom en una característica redonda mientras se realiza una panorámica en la dirección x negativa . El centro de la pantalla se desplaza desde (-1, 0) a (-1,31, 0) mientras que la vista se amplía desde 0,5 × 0,5 a 0,12 × 0,12 para aproximarse a la relación de Feigenbaum .

{\ Displaystyle \ delta}

El conjunto de Mandelbrot es auto-similar bajo aumento en las cercanías de las puntas Misiurewicz . También se conjetura que es auto-similar alrededor de puntos de Feigenbaum generalizados (por ejemplo, −1,401155 o −0,1528 + 1,0397 i ), en el sentido de converger a un conjunto límite. El conjunto de Mandelbrot en general no es estrictamente auto-similar, pero es casi auto-similar, ya que se pueden encontrar pequeñas versiones ligeramente diferentes de sí mismo a escalas arbitrariamente pequeñas. Estas pequeñas copias del conjunto de Mandelbrot son ligeramente diferentes, principalmente debido a los delgados hilos que las conectan al cuerpo principal del conjunto.

Resultados adicionales

La dimensión de Hausdorff del límite del conjunto de Mandelbrot es igual a 2 según lo determinado por un resultado de Mitsuhiro Shishikura . No se sabe si el límite del conjunto de Mandelbrot tiene una medida de Lebesgue plana positiva .

En el modelo de cómputo real de Blum-Shub-Smale , el conjunto de Mandelbrot no es computable, pero su complemento es computablemente enumerable . Sin embargo, muchos objetos simples ( por ejemplo , la gráfica de potenciación) tampoco son computables en el modelo BSS. En la actualidad, se desconoce si el conjunto de Mandelbrot es computable en modelos de computación real basados en análisis computable , que se corresponden más estrechamente con la noción intuitiva de "graficar el conjunto por computadora". Hertling ha demostrado que el conjunto de Mandelbrot es computable en este modelo si la conjetura de hiperbolicidad es cierta.

Relación con Julia establece

Como consecuencia de la definición del conjunto de Mandelbrot, existe una estrecha correspondencia entre la geometría del conjunto de Mandelbrot en un punto dado y la estructura del conjunto de Julia correspondiente . Por ejemplo, un punto está en el conjunto de Mandelbrot exactamente cuando el conjunto de Julia correspondiente está conectado.

Este principio se explota en prácticamente todos los resultados profundos del conjunto de Mandelbrot. Por ejemplo, Shishikura demostró que, para un conjunto denso de parámetros en el límite del conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia tiene la dimensión dos de Hausdorff y luego transfiere esta información al plano de parámetros. De manera similar, Yoccoz primero demostró la conectividad local de los conjuntos de Julia, antes de establecerla para el conjunto de Mandelbrot en los parámetros correspondientes. Adrien Douady expresa este principio como:

Arar en el plano dinámico y cosechar en el espacio de parámetros.

Geometría

Por cada número racional , donde p y q son primos entre sí , un componente hiperbólico del periodo q se bifurca desde el cardioide principal. La parte del conjunto de Mandelbrot conectada al cardioide principal en este punto de bifurcación se llama extremidad p / q . Los experimentos informáticos sugieren que el diámetro de la extremidad tiende a cero . La mejor estimación actual conocida es la desigualdad de Yoccoz , que establece que el tamaño tiende a cero como . ${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {q ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {q}}}$

Una extremidad de período- q tendrá q - 1 "antenas" en la parte superior de su extremidad. Por lo tanto, podemos determinar el período de una bombilla dada contando estas antenas. También podemos encontrar el numerador del número de rotación, p , numerando cada antena en sentido antihorario desde la extremidad de 1 a q - 1 y encontrando qué antena es la más corta.

Pi en el set de Mandelbrot

En un intento de demostrar que el grosor de la extremidad p / q es cero, David Boll llevó a cabo un experimento informático en 1991, donde calculó el número de iteraciones necesarias para que la serie divergiera para z = -3/4+ es (-3/4siendo la ubicación del mismo). Como la serie no diverge para el valor exacto de z = -3/4, el número de iteraciones necesarias aumenta con un pequeño ε . Resulta que multiplicar el valor de ε por el número de iteraciones requeridas produce una aproximación de π que se vuelve mejor para ε más pequeños . Por ejemplo, para ε = 0,0000001, el número de iteraciones es 31415928 y el producto es 3,1415928. En 2001, Aaron Klebanoff demostró el descubrimiento de Boll.

Secuencia de Fibonacci en el conjunto de Mandelbrot

Se puede demostrar que la secuencia de Fibonacci se ubica dentro del Conjunto de Mandelbrot y que existe una relación entre el cardioide principal y el Diagrama de Farey . Al mapear el cardioide principal a un disco, uno puede notar que la cantidad de antenas que se extiende desde el siguiente componente hiperbólico más grande, y que se encuentra entre los dos componentes seleccionados previamente, sigue el ejemplo de la secuencia de Fibonacci. La cantidad de antenas también se correlaciona con el diagrama de Farey y las cantidades del denominador dentro de los valores fraccionarios correspondientes, de los cuales se relacionan con la distancia alrededor del disco. Ambas partes de estos valores fraccionarios se pueden sumar juntas después para producir la ubicación del siguiente componente hiperbólico dentro de la secuencia. Por lo tanto, la secuencia de Fibonacci de 1, 2, 3, 5, 8, 13 y 21 se puede encontrar dentro del conjunto de Mandelbrot. ${\ Displaystyle {\ frac {1} {3}}}$

Galería de imágenes de una secuencia de zoom

El conjunto de Mandelbrot muestra detalles más intrincados cuanto más de cerca se mira o aumenta la imagen, generalmente llamado "acercamiento". El siguiente ejemplo de una secuencia de imágenes con zoom a un valor c seleccionado da una impresión de la riqueza infinita de diferentes estructuras geométricas y explica algunas de sus reglas típicas.

El aumento de la última imagen en relación con la primera es de aproximadamente 10 ¹⁰ a 1. En relación con un monitor ordinario, representa una sección de un conjunto de Mandelbrot con un diámetro de 4 millones de kilómetros. Su borde mostraría un número astronómico de diferentes estructuras fractales.

Comienzo. Conjunto de Mandelbrot con ambiente de colores continuos.
Espacio entre la "cabeza" y el "cuerpo", también llamado "valle de los caballitos de mar"
Espirales dobles a la izquierda, "caballitos de mar" a la derecha
"Caballito de mar" al revés

El "cuerpo" del caballito de mar está compuesto por 25 "radios" que constan de dos grupos de 12 "radios" cada uno y un "radio" que se conecta al cardioide principal. Estos dos grupos pueden atribuirse por algún tipo de metamorfosis a los dos "dedos" de la "mano superior" del conjunto de Mandelbrot; por lo tanto, el número de "rayos" aumenta de un "caballito de mar" al siguiente en 2; el "centro" es un llamado punto Misiurewicz . Entre la "parte superior del cuerpo" y la "cola" se puede reconocer una pequeña copia distorsionada del conjunto de Mandelbrot llamada satélite.

El punto final central de la "cola de caballito de mar" es también un punto Misiurewicz .
Parte de la "cola": solo hay un camino que consta de estructuras delgadas que atraviesan toda la "cola". Esta trayectoria en zigzag pasa por los "ejes" de los objetos grandes con 25 "rayos" en el borde interior y exterior de la "cola"; por lo tanto, el conjunto de Mandelbrot es un conjunto simplemente conectado , lo que significa que no hay islas ni caminos circulares alrededor de un agujero.
Satélite. Las dos "colas de caballito de mar" son el comienzo de una serie de coronas concéntricas con el satélite en el centro. Abra esta ubicación en un visor interactivo.
Cada una de estas coronas consta de "colas de caballito de mar" similares; su número aumenta con potencias de 2, un fenómeno típico en el entorno de los satélites. El camino único hacia el centro de la espiral pasa por el satélite desde el surco del cardioide hasta la parte superior de la "antena" en la "cabeza".
"Antena" del satélite. Se pueden reconocer varios satélites de segundo orden.
El "valle de los caballitos de mar" del satélite. Reaparecen todas las estructuras desde el inicio del zoom.
Espirales dobles y "caballitos de mar": a diferencia de la segunda imagen del principio, tienen apéndices que consisten en estructuras como "colas de caballito de mar"; esto demuestra la vinculación típica de n + 1 estructuras diferentes en el entorno de satélites del orden n , aquí para el caso más simple n = 1.
Espirales dobles con satélites de segundo orden: de manera análoga a los "caballitos de mar", las espirales dobles pueden interpretarse como una metamorfosis de la "antena".
En la parte exterior de los apéndices, se pueden reconocer islas de estructuras; tienen una forma como los conjuntos de Julia J _c ; el más grande de ellos se puede encontrar en el centro del "gancho doble" en el lado derecho
Parte del "doble gancho"
Islas
Detalle de una isla
Detalle de la espiral. Abra esta ubicación en un visor interactivo.

Las islas en el penúltimo paso parecen constar de un número infinito de partes, como conjuntos de Cantor , como es en realidad el caso del conjunto de Julia correspondiente J _c . Sin embargo, están conectados por estructuras diminutas, por lo que el conjunto representa un conjunto simplemente conectado. Las diminutas estructuras se encuentran en un satélite en el centro que es demasiado pequeño para ser reconocido con este aumento. El valor de c para el correspondiente J _c no es el del centro de la imagen pero, en relación con el cuerpo principal del conjunto de Mandelbrot, tiene la misma posición que el centro de esta imagen en relación con el satélite que se muestra en el sexto paso de zoom.

Generalizaciones

Reproducir medios

Animaciones del Multibrot establecido para d de 0 a 5 (izquierda) y de 0,05 a 2 (derecha).

Un conjunto 4D de Julia puede proyectarse o seccionarse en 3D, y debido a esto también es posible un 4D Mandelbrot.

Conjuntos multibrot

Los conjuntos multibrot son conjuntos acotados que se encuentran en el plano complejo para los miembros de la familia de recursiones polinomiales univariadas monic general

{\ Displaystyle z \ mapsto z ^ {d} + c. \}

Para un entero d, estos conjuntos son loci de conectividad para los conjuntos de Julia construidos a partir de la misma fórmula. También se ha estudiado el locus de conexión cúbica completa; aquí se considera la recursividad de dos parámetros , cuyos dos puntos críticos son las raíces cuadradas complejas del parámetro k . Un parámetro está en el locus de conectividad cúbica si ambos puntos críticos son estables. Para familias generales de funciones holomórficas , el límite del conjunto de Mandelbrot se generaliza al lugar de bifurcación , que es un objeto natural para estudiar incluso cuando el lugar de conexión no es útil. ${\ Displaystyle z \ mapsto z ^ {3} + 3kz + c}$

El conjunto Multibrot se obtiene variando el valor del exponente d . El artículo tiene un video que muestra el desarrollo de d = 0 a 7, momento en el que hay 6, es decir, ( d - 1) lóbulos alrededor del perímetro . Un desarrollo similar con exponentes negativos da como resultado (1 - d ) fisuras en el interior de un anillo.

Mayores dimensiones

No existe una extensión perfecta del conjunto de Mandelbrot en 3D. Esto se debe a que no existe un análogo 3D de los números complejos para que pueda iterar. Sin embargo, hay una extensión de los números complejos en 4 dimensiones, llamadas cuaterniones , que crea una extensión perfecta del conjunto de Mandelbrot y el conjunto de Julia en 4 dimensiones. A continuación, se pueden cortar o proyectar en una estructura 3D. Sin embargo, el conjunto de Mandelbrot cuaternión (4 dimensiones) es simplemente un sólido de revolución del conjunto de Mandelbrot bidimensional (en el plano jk) y, por lo tanto, es poco interesante de observar, ya que no tiene ninguna de las propiedades que se esperaría de un fractal de 4 dimensiones. Tomar una sección transversal tridimensional en d = 0 (q = a + bi + cj + dk) da como resultado un sólido de revolución del conjunto de Mandelbrot bidimensional alrededor del eje real.

Otras asignaciones no analíticas

Imagen del fractal Tricorn / Mandelbar

De particular interés es el fractal tricornio , el locus de conexión de la familia anti-holomórfica.

{\ Displaystyle z \ mapsto {\ bar {z}} ^ {2} + c.}

El tricornio (también llamado a veces Mandelbar ) fue encontrado por Milnor en su estudio de porciones de parámetros de polinomios cúbicos reales . Se no conectado localmente. Esta propiedad es heredada por el locus de conectividad de los polinomios cúbicos reales.

Otra generalización no analítica es el fractal Burning Ship , que se obtiene iterando lo siguiente:

{\ Displaystyle z \ mapsto (| \ Re \ left (z \ right) | + i | \ Im \ left (z \ right) |) ^ {2} + c.}

Dibujos de computadora

Existe una multitud de varios algoritmos para trazar el conjunto de Mandelbrot a través de un dispositivo informático. Aquí, se demostrará el algoritmo más utilizado y más simple, a saber, el ingenuo "algoritmo de tiempo de escape". En el algoritmo de tiempo de escape, se realiza un cálculo repetido para cada punto x , y en el área de la gráfica y, según el comportamiento de ese cálculo, se elige un color para ese píxel.

Las x y Y ubicaciones de cada punto se utilizan como valores iniciales en un cálculo de repetición, o iterar (descrito en detalle a continuación). El resultado de cada iteración se utiliza como valores iniciales para la siguiente. Los valores se comprueban durante cada iteración para ver si han alcanzado una condición crítica de "escape" o "rescate". Si se alcanza esa condición, se detiene el cálculo, se dibuja el píxel y se examina el siguiente punto x , y .

El color de cada punto representa la rapidez con la que los valores alcanzaron el punto de escape. A menudo, el negro se usa para mostrar valores que no logran escapar antes del límite de iteración, y los colores gradualmente más brillantes se usan para los puntos que escapan. Esto proporciona una representación visual de cuántos ciclos se necesitaron antes de alcanzar la condición de escape.

Para renderizar tal imagen, la región del plano complejo que estamos considerando se subdivide en un cierto número de píxeles . Para colorear cualquiera de esos píxeles, sea el punto medio de ese píxel. Ahora iteramos el punto crítico 0 debajo , comprobando en cada paso si el punto de la órbita tiene un radio mayor que 2. Cuando este es el caso, sabemos que no pertenece al conjunto de Mandelbrot, y coloreamos nuestro píxel de acuerdo con el número de iteraciones utilizadas para averiguarlo. De lo contrario, seguimos iterando hasta un número fijo de pasos, después de lo cual decidimos que nuestro parámetro está "probablemente" en el conjunto de Mandelbrot, o al menos muy cerca de él, y coloreamos el píxel de negro. ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle f_ {c}}$ ${\ Displaystyle c}$

En pseudocódigo , este algoritmo se vería de la siguiente manera. El algoritmo no usa números complejos y simula manualmente operaciones con números complejos usando dos números reales, para aquellos que no tienen un tipo de datos complejo . El programa puede simplificarse si el lenguaje de programación incluye operaciones de tipo de datos complejos .

for each pixel (Px, Py) on the screen do
    x0 := scaled x coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot X scale (-2.00, 0.47))
    y0 := scaled y coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot Y scale (-1.12, 1.12))
    x := 0.0
    y := 0.0
    iteration := 0
    max_iteration := 1000
    while (x*x + y*y ≤ 2*2 AND iteration < max_iteration) do
        xtemp := x*x - y*y + x0
        y := 2*x*y + y0
        x := xtemp
        iteration := iteration + 1
    
    color := palette[iteration]
    plot(Px, Py, color)

Aquí, en relación a la pseudocódigo , y : ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle z}$ ${\ Displaystyle f_ {c}}$

${\ Displaystyle z = x + iy \}$
${\ Displaystyle z ^ {2} = x ^ {2} + i2xy-y ^ {2} \}$
${\ Displaystyle c = x_ {0} + iy_ {0} \}$

y así, como puede verse en el pseudocódigo en el cómputo de x y y :

${\ Displaystyle x = \ mathop {\ mathrm {Re}} (z ^ {2} + c) = x ^ {2} -y ^ {2} + x_ {0}}$ y ${\ Displaystyle y = \ mathop {\ mathrm {Im}} (z ^ {2} + c) = 2xy + y_ {0}. \}$

Para obtener imágenes coloridas del conjunto, la asignación de un color a cada valor del número de iteraciones ejecutadas se puede hacer usando una de una variedad de funciones (lineal, exponencial, etc.).

Referencias en cultura popular

El conjunto de Mandelbrot es considerado por muchos como el fractal más popular y ha sido mencionado varias veces en la cultura popular .

La canción de Jonathan Coulton "Mandelbrot Set" es un tributo tanto al fractal en sí como al hombre que lleva su nombre, Benoit Mandelbrot.
El segundo libro de la serie Mode de Piers Anthony , Fractal Mode , describe un mundo que es un modelo 3D perfecto del set.
La novela de Arthur C. Clarke El fantasma de los grandes bancos presenta un lago artificial hecho para replicar la forma del set de Mandelbrot.
Benoit Mandelbrot y el conjunto del mismo nombre fueron los sujetos del Doodle de Google el 20 de noviembre de 2020 (el 96 cumpleaños del difunto Benoit Mandelbrot).
La banda de rock estadounidense Heart tiene una imagen de un Mandelbrot en la portada de su álbum de 2004, Jupiters Darling .
La serie de televisión Dirk Gently's Holistic Detective Agency (2016) presenta de manera destacada el set de Mandelbrot en relación con las visiones del personaje Amanda. En la segunda temporada, su chaqueta tiene una imagen grande del fractal en la espalda.

Ver también

Referencias

Otras lecturas

Milnor, John W. (2006). Dinámica en una variable compleja . Anales de estudios matemáticos. 160 (Tercera ed.). Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-12488-4.
(Apareció por primera vez en 1990 como Stony Brook IMS Preprint , disponible como arXiV: math.DS / 9201272 )
Lesmoir-Gordon, Nigel (2004). Los colores del infinito: la belleza, el poder y el sentido de los fractales . ISBN 1-904555-05-5.
(incluye un DVD con Arthur C. Clarke y David Gilmour )
Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut ; Saupe, Dietmar (2004) [1992]. Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-20229-3.

Languages

In other projects