Órbita (dinámica) - Orbit (dynamics)

En matemáticas , específicamente en el estudio de sistemas dinámicos , una órbita es una colección de puntos relacionados por la función de evolución del sistema dinámico. Puede entenderse como el subconjunto del espacio de fase cubierto por la trayectoria del sistema dinámico bajo un conjunto particular de condiciones iniciales , a medida que el sistema evoluciona. Como la trayectoria del espacio de fase se determina de forma única para cualquier conjunto dado de coordenadas del espacio de fase, no es posible que diferentes órbitas se crucen en el espacio de fase, por lo tanto, el conjunto de todas las órbitas de un sistema dinámico es una partición del espacio de fase. Comprender las propiedades de las órbitas mediante el uso de métodos topológicos es uno de los objetivos de la teoría moderna de sistemas dinámicos.

Para los sistemas dinámicos de tiempo discreto , las órbitas son secuencias ; para los sistemas dinámicos reales , las órbitas son curvas ; y para los sistemas dinámicos holomórficos , las órbitas son superficies de Riemann .

Definición

Diagrama que muestra la órbita periódica de un sistema masa-resorte en movimiento armónico simple . (Aquí los ejes de velocidad y posición se han invertido de la convención estándar para alinear los dos diagramas)

Dado un sistema dinámico ( T , M , Φ) con T un grupo , M un conjunto y Φ la función de evolución

${\ Displaystyle \ Phi: U \ to M}$donde con${\ Displaystyle U \ subconjunto T \ times M}$${\ Displaystyle \ Phi (0, x) = x}$

definimos

${\ Displaystyle I (x): = \ {t \ in T: (t, x) \ in U \},}$

entonces el set

${\ Displaystyle \ gamma _ {x}: = \ {\ Phi (t, x): t \ in I (x) \} \ subconjunto M}$

se llama órbita a través de x . Una órbita que consta de un solo punto se llama órbita constante . Una órbita no constante se llama cerrada o periódica si existe una en tal que ${\ Displaystyle t \ neq 0}$${\ Displaystyle I (x)}$

${\ Displaystyle \ Phi (t, x) = x}$.

Sistema dinámico real

Dado un sistema dinámico real ( R , M , Φ), I ( x ) es un intervalo abierto en los números reales , es decir . Para cualquier x en M${\ Displaystyle I (x) = (t_ {x} ^ {-}, t_ {x} ^ {+})}$

${\ Displaystyle \ gamma _ {x} ^ {+}: = \ {\ Phi (t, x): t \ in (0, t_ {x} ^ {+}) \}}$

se llama semi-órbita positiva a través de x y

${\ Displaystyle \ gamma _ {x} ^ {-}: = \ {\ Phi (t, x): t \ in (t_ {x} ^ {-}, 0) \}}$

se llama semi-órbita negativa a través de x .

Sistema dinámico de tiempo discreto

Para sistema dinámico de tiempo discreto:

La órbita delantera de x es un conjunto:

${\ Displaystyle \ gamma _ {x} ^ {+} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ {\ Phi (t, x): t \ geq 0 \ }}$

La órbita hacia atrás de x es un conjunto:

${\ Displaystyle \ gamma _ {x} ^ {-} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ {\ Phi (-t, x): t \ geq 0 \}}$

y la órbita de x es un conjunto:

${\ Displaystyle \ gamma _ {x} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ gamma _ {x} ^ {-} \ cup \ gamma _ {x} ^ {+}}$

donde :

• ${\ Displaystyle \ Phi}$es una función de evolución que es aquí una función iterada ,${\ Displaystyle \ Phi: X \ to X}$
• el conjunto es un espacio dinámico ,${\ Displaystyle X}$
• ${\ Displaystyle t}$es el número de iteración, que es el número natural y${\ Displaystyle t \ in T}$
• ${\ Displaystyle x}$ es el estado inicial del sistema y ${\ Displaystyle x \ in X}$

Por lo general, se usa una notación diferente:

• ${\ Displaystyle \ Phi (t, x)}$ está escrito como ${\ Displaystyle \ Phi ^ {t} (x)}$
• ${\ Displaystyle x_ {t} = \ Phi ^ {t} (x)}$donde está en la notación anterior.${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle x}$

Sistema dinámico general

Para un sistema dinámico general, especialmente en dinámica homogénea, cuando uno tiene un grupo "agradable" que actúa sobre un espacio de probabilidad de una manera que preserva la medida, una órbita se llamará periódica (o equivalentemente, cerrada) si el estabilizador es una red interna. . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Gx \ subconjunto X}$${\ Displaystyle Puñalada_ {G} (x)}$${\ Displaystyle G}$

Además, un término relacionado es una órbita acotada, cuando el conjunto es precompacto por dentro . ${\ displaystyle Gx}$${\ Displaystyle X}$

La clasificación de las órbitas puede llevar a preguntas interesantes con relaciones con otras áreas matemáticas, por ejemplo, la conjetura de Oppenheim (probada por Margulis) y la conjetura de Littlewood (probada parcialmente por Lindenstrauss) se ocupan de la cuestión de si cada órbita acotada de alguna acción natural en el espacio homogéneo es de hecho periódico, esta observación se debe a Raghunathan y en un lenguaje diferente a Cassels y Swinnerton-Dyer. Estas preguntas están íntimamente relacionadas con teoremas profundos de clasificación de medidas. ${\ Displaystyle SL_ {3} (\ mathbb {R}) \ barra invertida SL_ {3} (\ mathbb {Z})}$

Notas

A menudo ocurre que se puede entender que la función de evolución compone los elementos de un grupo , en cuyo caso las órbitas teóricas de grupo de la acción grupal son lo mismo que las órbitas dinámicas.

Ejemplos de

• 

  Órbita crítica de un sistema dinámico discreto basado en polinomio cuadrático complejo . Tiende a atraer débilmente el punto fijo con un multiplicador = 0,99993612384259

• 

  la órbita crítica tiende a atraer débilmente al punto. Se puede ver una espiral desde que atrae un punto fijo hasta que repele el punto fijo (z = 0), que es un lugar con alta densidad de curvas de nivel.

• La órbita de un punto de equilibrio es una órbita constante.

Estabilidad de órbitas

Una clasificación básica de órbitas es

• órbitas constantes o puntos fijos
• órbitas periódicas
• órbitas no constantes y no periódicas

Una órbita puede fallar al cerrarse de dos maneras. Podría ser una órbita asintóticamente periódica si converge a una órbita periódica. Tales órbitas no están cerradas porque nunca se repiten realmente, sino que se acercan arbitrariamente a una órbita repetitiva. Una órbita también puede ser caótica . Estas órbitas se acercan arbitrariamente al punto inicial, pero nunca llegan a converger a una órbita periódica. Muestran una dependencia sensible de las condiciones iniciales , lo que significa que pequeñas diferencias en el valor inicial causarán grandes diferencias en los puntos futuros de la órbita.

Hay otras propiedades de las órbitas que permiten diferentes clasificaciones. Una órbita puede ser hiperbólica si los puntos cercanos se acercan o divergen de la órbita a una velocidad exponencial.

Ver también

• Conjunto errante
• Método de espacio de fase
• Gráfico de telaraña o diagrama de Verhulst
• Puntos periódicos de asignaciones cuadráticas complejas y multiplicador de órbita
• Retrato de la órbita

Referencias

• Hale, Jack K .; Koçak, Hüseyin (1991). "Órbitas periódicas". Dinámicas y Bifurcaciones . Nueva York: Springer. págs. 365–388. ISBN 0-387-97141-6.
• Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1996). Introducción a la teoría moderna de sistemas dinámicos . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5.
• Perko, Lawrence (2001). "Órbitas periódicas, ciclos límite y ciclos separadores" . Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (Tercera ed.). Nueva York: Springer. págs. 202–211. ISBN 0-387-95116-4.