Perímetro - Perimeter

El perímetro es la distancia alrededor de una forma bidimensional, una medida de la distancia alrededor de algo; la longitud del límite.

Un perímetro es un camino que abarca / rodea / delinea una forma (en dos dimensiones ) o su longitud ( unidimensional ). El perímetro de un círculo o una elipse se llama circunferencia .

El cálculo del perímetro tiene varias aplicaciones prácticas. Un perímetro calculado es la longitud de la cerca necesaria para rodear un patio o jardín. El perímetro de una rueda / círculo (su circunferencia) describe cuánto rodará en una revolución . De manera similar, la cantidad de cuerda enrollada alrededor de un carrete está relacionada con el perímetro del carrete; si la longitud de la cuerda fuera exacta, sería igual al perímetro.

Fórmulas

forma	fórmula	variables
circulo	${\ Displaystyle 2 \ pi r = \ pi d}$	donde es el radio del círculo y es el diámetro. ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle d}$
triángulo	${\ Displaystyle a + b + c \,}$	donde , y son las longitudes de los lados del triángulo. ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle c}$
cuadrado / rombo	${\ Displaystyle 4a}$	donde es la longitud del lado. ${\ Displaystyle a}$
rectángulo	${\ Displaystyle 2 (l + a)}$	donde es la longitud y es el ancho. ${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle w}$
polígono equilátero	${\ Displaystyle n \ times a \,}$	donde es el número de lados y es la longitud de uno de los lados. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle a}$
polígono regular	${\ Displaystyle 2nb \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}$	donde es el número de lados y es la distancia entre el centro del polígono y uno de los vértices del polígono. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle b}$
polígono general	${\ Displaystyle a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots + a_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$	donde es la longitud del -ésimo (1º, 2º, 3º ... nº ) lado de un polígono de n lados. ${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle i}$

cardoide (dibujar con )${\ Displaystyle \ gamma: [0,2 \ pi] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$
${\ Displaystyle a = 1}$
${\ Displaystyle x (t) = 2a \ cos (t) (1+ \ cos (t))}$
${\ Displaystyle y (t) = 2a \ sin (t) (1+ \ cos (t))}$
${\ Displaystyle L = \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} {\ sqrt {x '(t) ^ {2} + y' (t) ^ {2}}} \, \ mathrm {d } t = 16a}$

El perímetro es la distancia alrededor de una forma. Los perímetros para formas más generales se pueden calcular, como cualquier camino , con , donde es la longitud del camino y es un elemento de línea infinitesimal. Ambos deben ser reemplazados por formas algebraicas para que sean prácticamente calculados. Si el perímetro se da como una curva plana lisa a trozos cerrada con ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {L} \ mathrm {d} s}$${\ Displaystyle L}$${\ displaystyle ds}$ ${\ Displaystyle \ gamma: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {pmatrix}}}$

entonces su longitud se puede calcular de la siguiente manera: ${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle L = \ int \ limits _ {a} ^ {b} {\ sqrt {x '(t) ^ {2} + y' (t) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t }$

Una noción generalizada de perímetro, que incluye hipersuperficies limitan volúmenes en - dimensionales espacios euclídeos , se describe por la teoría de conjuntos Caccioppoli . ${\ Displaystyle n}$

Polígonos

Perímetro de un rectángulo.

Los polígonos son fundamentales para determinar los perímetros, no solo porque son las formas más simples, sino también porque los perímetros de muchas formas se calculan aproximándolos con secuencias de polígonos que tienden a estas formas. El primer matemático que se sabe que utilizó este tipo de razonamiento es Arquímedes , quien aproximó el perímetro de un círculo rodeándolo con polígonos regulares .

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados (bordes) . En particular, el perímetro de un rectángulo de ancho y largo es igual a${\ Displaystyle w}$${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle 2w + 2 \ ell.}$

Un polígono equilátero es un polígono que tiene todos los lados de la misma longitud (por ejemplo, un rombo es un polígono equilátero de 4 lados). Para calcular el perímetro de un polígono equilátero, se debe multiplicar la longitud común de los lados por el número de lados.

Un polígono regular se puede caracterizar por el número de sus lados y por su circunradio , es decir, la distancia constante entre su centro y cada uno de sus vértices . La longitud de sus lados se puede calcular mediante trigonometría . Si R es el radio de un polígono regular yn es el número de sus lados, entonces su perímetro es

${\ Displaystyle 2nR \ sin \ left ({\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} \ right).}$

Un divisor de un triángulo es un ceviano (un segmento desde un vértice hasta el lado opuesto) que divide el perímetro en dos longitudes iguales, esta longitud común se llama el semiperímetro del triángulo. Los tres divisores de un triángulo se cruzan entre sí en el punto Nagel del triángulo.

La cuchilla de un triángulo es un segmento desde el punto medio de un lado de un triángulo hasta el lado opuesto, de manera que el perímetro se divide en dos longitudes iguales. Las tres cuchillas de un triángulo se cruzan entre sí en el centro de Spieker del triángulo .

Circunferencia de un círculo

Si el diámetro de un círculo es 1, su circunferencia es igual a π .

El perímetro de un círculo , a menudo llamado circunferencia, es proporcional a su diámetro y su radio . Es decir, existe un número constante pi , π (el griego p para perímetro), tal que si P es el perímetro del círculo y D su diámetro entonces,

${\ Displaystyle P = \ pi \ cdot {D}. \!}$

En términos del radio r del círculo, esta fórmula se convierte en,

${\ Displaystyle P = 2 \ pi \ cdot r.}$

Para calcular el perímetro de un círculo, basta con conocer su radio o diámetro y el número π . El problema es que π no es racional (no se puede expresar como el cociente de dos enteros ), ni es algebraico (no es la raíz de una ecuación polinomial con coeficientes racionales). Por lo tanto, obtener una aproximación precisa de π es importante en el cálculo. El cálculo de los dígitos de π es relevante para muchos campos, como el análisis matemático , la algorítmica y la informática .

Percepción del perímetro

Cuanto más se corta esta forma, menor es el área y mayor el perímetro. El casco convexo sigue siendo el mismo.

El perímetro de la fortificación de Neuf-Brisach es complicado. El camino más corto a su alrededor es a lo largo de su casco convexo .

El perímetro y el área son dos medidas principales de figuras geométricas. Confundirlos es un error común, así como creer que cuanto mayor es uno, mayor debe ser el otro. De hecho, una observación común es que una ampliación (o reducción) de una forma hace que su área crezca (o disminuya) así como su perímetro. Por ejemplo, si un campo se dibuja en un mapa a escala 1 / 10,000, el perímetro del campo real se puede calcular multiplicando el perímetro del dibujo por 10,000. El área real es 10,000 ² veces el área de la forma en el mapa. Sin embargo, no existe relación entre el área y el perímetro de una forma ordinaria. Por ejemplo, el perímetro de un rectángulo de ancho 0,001 y largo 1000 está ligeramente por encima de 2000, mientras que el perímetro de un rectángulo de ancho 0,5 y largo 2 es 5. Ambas áreas son iguales a 1.

Proclo (siglo V) informó que los campesinos griegos dividían "bastante" los campos basándose en sus perímetros. Sin embargo, la producción de un campo es proporcional a su área, no a su perímetro, por lo que muchos campesinos ingenuos pueden haber obtenido campos con perímetros largos pero áreas pequeñas (por lo tanto, pocos cultivos).

Si se quita una pieza de una figura, su área disminuye pero su perímetro puede que no. En el caso de formas muy irregulares, puede surgir confusión entre el perímetro y el casco convexo . El casco convexo de una figura puede visualizarse como la forma formada por una goma elástica estirada a su alrededor. En la imagen animada de la izquierda, todas las figuras tienen el mismo casco convexo; el primer hexágono grande .

Isoperimetría

El problema isoperimétrico es determinar una figura con el área más grande, entre las que tienen un perímetro determinado. La solución es intuitiva; es el círculo . En particular, esto se puede utilizar para explicar por qué las gotas de grasa en la superficie del caldo son circulares.

Este problema puede parecer simple, pero su demostración matemática requiere algunos teoremas sofisticados. El problema isoperimétrico a veces se simplifica restringiendo el tipo de figuras que se utilizarán. En particular, para encontrar el cuadrilátero , o el triángulo, u otra figura en particular, con el área más grande entre las que tienen la misma forma que tiene un perímetro dado. La solución al problema isoperimétrico cuadrilátero es el cuadrado , y la solución al problema del triángulo es el triángulo equilátero . En general, el polígono con n lados que tiene el área más grande y un perímetro dado es el polígono regular , que está más cerca de ser un círculo que cualquier polígono irregular con el mismo número de lados.

Etimología

La palabra proviene del griego περίμετρος perimetros de περί peri "alrededor" y μέτρον metron "medida".

Ver también

Referencias

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Perímetro" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Semiperímetro" . MathWorld .