Lista de reglas de inferencia - List of rules of inference

Esta es una lista de reglas de inferencia , leyes lógicas que se relacionan con fórmulas matemáticas.

Introducción

Las reglas de inferencia son reglas de transformación sintáctica que se pueden usar para inferir una conclusión a partir de una premisa para crear un argumento. Se puede utilizar un conjunto de reglas para inferir cualquier conclusión válida si está completa, sin inferir nunca una conclusión no válida, si es sólida. Un conjunto sólido y completo de reglas no necesita incluir todas las reglas de la siguiente lista, ya que muchas de las reglas son redundantes y se pueden probar con las otras reglas.

Las reglas de descarga permiten la inferencia a partir de una subderivación basada en una suposición temporal. A continuación, la notación

${\ Displaystyle \ varphi \ vdash \ psi}$

indica tal subderivación de la suposición temporal a . ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ psi}$

Reglas para el cálculo oracional clásico

El cálculo de oraciones también se conoce como cálculo proposicional .

Reglas para negaciones

Reductio ad absurdum (o introducción a la negación )

${\ Displaystyle \ varphi \ vdash \ psi}$

${\ Displaystyle {\ subrayado {\ varphi \ vdash \ lnot \ psi}}}$

${\ Displaystyle \ lnot \ varphi}$

Reductio ad absurdum (relacionado con la ley del medio excluido )

${\ Displaystyle \ lnot \ varphi \ vdash \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ lnot \ varphi \ vdash \ lnot \ psi}}}$

${\ Displaystyle \ varphi}$

Ex contradictione quodlibet

${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ lnot \ varphi}}}$

${\ Displaystyle \ psi}$

Eliminación de la doble negación

${\ Displaystyle {\ underline {\ lnot \ lnot \ varphi}}}$

${\ Displaystyle \ varphi}$

Introducción a la doble negación

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi \ quad \ quad}}}$

${\ Displaystyle \ lnot \ lnot \ varphi}$

Reglas para condicionales

Teorema de deducción (o introducción condicional )

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi \ vdash \ psi}}}$

${\ Displaystyle \ varphi \ rightarrow \ psi}$

Modus ponens (o eliminación condicional )

${\ Displaystyle \ varphi \ rightarrow \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi \ quad \ quad \ quad}}}$

${\ Displaystyle \ psi}$

Modus tollens

${\ Displaystyle \ varphi \ rightarrow \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ lnot \ psi \ quad \ quad \ quad}}}$

${\ Displaystyle \ lnot \ varphi}$

Reglas para conjunciones

Adjunción (o Introducción de conjunción )

${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ psi \ quad \ quad \ \}}}$

${\ Displaystyle \ varphi \ land \ psi}$

Simplificación (o eliminación de conjunción )

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi \ land \ psi}}}$

${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi \ land \ psi}}}$

${\ Displaystyle \ psi}$

Reglas para disyunciones

Adición (o introducción de disyunción )

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi \ quad \ quad \ \}}}$

${\ Displaystyle \ varphi \ lor \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ psi \ quad \ quad \ \}}}$

${\ Displaystyle \ varphi \ lor \ psi}$

Análisis de casos (o prueba por casos o argumento por casos o eliminación de disyunciones )

${\ Displaystyle \ varphi \ rightarrow \ chi}$

${\ Displaystyle \ psi \ rightarrow \ chi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi \ lor \ psi}}}$

${\ Displaystyle \ chi}$

Silogismo disyuntivo

${\ Displaystyle \ varphi \ lor \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ lnot \ varphi \ quad \ quad}}}$

${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ varphi \ lor \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ lnot \ psi \ quad \ quad}}}$

${\ Displaystyle \ varphi}$

Dilema constructivo

${\ Displaystyle \ varphi \ rightarrow \ chi}$

${\ Displaystyle \ psi \ rightarrow \ xi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi \ lor \ psi}}}$

${\ Displaystyle \ chi \ lor \ xi}$

Reglas para bicondicionales

Introducción bicondicional

${\ Displaystyle \ varphi \ rightarrow \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ psi \ rightarrow \ varphi}}}$

${\ Displaystyle \ varphi \ leftrightarrow \ psi}$

Eliminación bicondicional

${\ Displaystyle \ varphi \ leftrightarrow \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi \ quad \ quad}}}$

${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ varphi \ leftrightarrow \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ psi \ quad \ quad}}}$

${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ varphi \ leftrightarrow \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ lnot \ varphi \ quad \ quad}}}$

${\ Displaystyle \ lnot \ psi}$

${\ Displaystyle \ varphi \ leftrightarrow \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ lnot \ psi \ quad \ quad}}}$

${\ Displaystyle \ lnot \ varphi}$

${\ Displaystyle \ varphi \ leftrightarrow \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ psi \ lor \ varphi}}}$

${\ Displaystyle \ psi \ land \ varphi}$

${\ Displaystyle \ varphi \ leftrightarrow \ psi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ lnot \ psi \ lor \ lnot \ varphi}}}$

${\ Displaystyle \ lnot \ psi \ land \ lnot \ varphi}$

Reglas del cálculo de predicados clásico

En las siguientes reglas, es exactamente igual, excepto por tener el término donde tenga la variable libre . ${\ Displaystyle \ varphi (\ beta / \ alpha)}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ alpha}$

Generalización universal (o introducción universal )

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi {(\ beta / \ alpha)}}}}$

${\ Displaystyle \ forall \ alpha \, \ varphi}$

Restricción 1: es una variable que no ocurre en . Restricción 2: no se menciona en ninguna hipótesis o supuestos no descargados. ${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ varphi}$
${\ Displaystyle \ beta}$

Instanciación universal (o eliminación universal )

${\ Displaystyle \ forall \ alpha \, \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ varphi {(\ beta / \ alpha)}}}}$

Restricción: Ninguna ocurrencia libre de in cae dentro del alcance de un cuantificador que cuantifica una variable que ocurre en . ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ beta}$

Generalización existencial (o introducción existencial )

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi (\ beta / \ alpha)}}}$

${\ Displaystyle \ existe \ alpha \, \ varphi}$

Restricción: Ninguna ocurrencia libre de in cae dentro del alcance de un cuantificador que cuantifica una variable que ocurre en . ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ beta}$

Instanciación existencial (o eliminación existencial )

${\ Displaystyle \ existe \ alpha \, \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ varphi (\ beta / \ alpha) \ vdash \ psi}}}$

${\ Displaystyle \ psi}$

Restricción 1: es una variable que no ocurre en . Restricción 2: No hay ocurrencia, libre o limitada, de in . Restricción 3: no se menciona en ninguna hipótesis o supuestos no descargados. ${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ varphi}$
${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ psi}$
${\ Displaystyle \ beta}$

Reglas de lógica subestructural

Los siguientes son casos especiales de generalización universal y eliminación existencial; estos ocurren en lógicas subestructurales, como la lógica lineal .

Regla de debilitamiento (o monotonicidad de vinculación ) (también conocido como teorema de no clonación )

${\ Displaystyle \ alpha \ vdash \ beta}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ alpha, \ alpha \ vdash \ beta}}}$

Regla de contracción (o idempotencia de vinculación ) (también conocido como teorema de no eliminación )

${\ Displaystyle {\ underline {\ alpha, \ alpha, \ gamma \ vdash \ beta}}}$

${\ Displaystyle \ alpha, \ gamma \ vdash \ beta}$

Tabla: Reglas de inferencia

Las reglas anteriores se pueden resumir en la siguiente tabla. La columna " Tautología " muestra cómo interpretar la notación de una regla determinada.

Reglas de inferencia	Tautología	Nombre
${\ displaystyle {\ begin {alineado} p \\ p \ rightarrow q \\\ por lo tanto {\ overline {q \ quad \ quad \ quad}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle (p \ wedge (p \ rightarrow q)) \ rightarrow q}$	Modus ponens
${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ neg q \\ p \ rightarrow q \\\ por lo tanto {\ overline {\ neg p \ quad \ quad \ quad}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle (\ neg q \ wedge (p \ rightarrow q)) \ rightarrow \ neg p}$	Modus tollens
${\ Displaystyle {\ begin {alineado} (p \ vee q) \ vee r \\\ por lo tanto {\ overline {p \ vee (q \ vee r)}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle ((p \ vee q) \ vee r) \ rightarrow (p \ vee (q \ vee r))}$	De asociación
${\ Displaystyle {\ begin {alineado} p \ wedge q \\\ por lo tanto {\ overline {q \ wedge p}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle (p \ wedge q) \ rightarrow (q \ wedge p)}$	Conmutativa
${\ displaystyle {\ begin {alineado} p \ rightarrow q \\ q \ rightarrow p \\\ por lo tanto {\ overline {p \ leftrightarrow q}} \\\ end {alineado}}}$	${\ displaystyle ((p \ rightarrow q) \ wedge (q \ rightarrow p)) \ rightarrow (\ p \ leftrightarrow q)}$	Ley de proposiciones bicondicionales
${\ displaystyle {\ begin {alineado} (p \ wedge q) \ rightarrow r \\\ por lo tanto {\ overline {p \ rightarrow (q \ rightarrow r)}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle ((p \ wedge q) \ rightarrow r) \ rightarrow (p \ rightarrow (q \ rightarrow r))}$	Exportación
${\ displaystyle {\ begin {alineado} p \ rightarrow q \\\ por lo tanto {\ overline {\ neg q \ rightarrow \ neg p}} \\\ end {alineado}}}$	${\ displaystyle (p \ rightarrow q) \ rightarrow (\ neg q \ rightarrow \ neg p)}$	Ley de transposición o contraposición
${\ displaystyle {\ begin {alineado} p \ rightarrow q \\ q \ rightarrow r \\\ por lo tanto {\ overline {p \ rightarrow r}} \\\ end {alineado}}}$	${\ displaystyle ((p \ rightarrow q) \ wedge (q \ rightarrow r)) \ rightarrow (p \ rightarrow r)}$	Silogismo hipotético
${\ displaystyle {\ begin {alineado} p \ rightarrow q \\\ por lo tanto {\ overline {\ neg p \ vee q}} \\\ end {alineado}}}$	${\ displaystyle (p \ rightarrow q) \ rightarrow (\ neg p \ vee q)}$	Implicación material
${\ Displaystyle {\ begin {alineado} (p \ vee q) \ wedge r \\\ por lo tanto {\ overline {(p \ wedge r) \ vee (q \ wedge r)}} \\\ end {alineado}} }$	${\ Displaystyle ((p \ vee q) \ wedge r) \ rightarrow ((p \ wedge r) \ vee (q \ wedge r))}$	Distributivo
${\ displaystyle {\ begin {alineado} p \ rightarrow q \\\ por lo tanto {\ overline {p \ rightarrow (p \ wedge q)}} \\\ end {alineado}}}$	${\ displaystyle (p \ rightarrow q) \ rightarrow (p \ rightarrow (p \ wedge q))}$	Absorción
${\ displaystyle {\ begin {alineado} p \ vee q \\\ neg p \\\ por lo tanto {\ overline {q \ quad \ quad \ quad}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle ((p \ vee q) \ wedge \ neg p) \ rightarrow q}$	Silogismo disyuntivo
${\ displaystyle {\ begin {alineado} p \\\ por lo tanto {\ overline {p \ vee q}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle p \ rightarrow (p \ vee q)}$	Adición
${\ Displaystyle {\ begin {alineado} p \ wedge q \\\ por lo tanto {\ overline {p \ quad \ quad \ quad}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle (p \ wedge q) \ rightarrow p}$	Simplificación
${\ Displaystyle {\ begin {alineado} p \\ q \\\ por lo tanto {\ overline {p \ wedge q}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle ((p) \ wedge (q)) \ rightarrow (p \ wedge q)}$	Conjunción
${\ Displaystyle {\ begin {alineado} p \\\ por lo tanto {\ overline {\ neg \ neg p}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle p \ rightarrow (\ neg \ neg p)}$	Doble negación
${\ Displaystyle {\ begin {alineado} p \ vee p \\\ por lo tanto {\ overline {p \ quad \ quad \ quad}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle (p \ vee p) \ rightarrow p}$	Simplificación disyuntiva
${\ displaystyle {\ begin {alineado} p \ vee q \\\ neg p \ vee r \\\ por lo tanto {\ overline {q \ vee r}} \\\ end {alineado}}}$	${\ Displaystyle ((p \ vee q) \ wedge (\ neg p \ vee r)) \ rightarrow (q \ vee r)}$	Resolución
${\ displaystyle {\ begin {alineado} p \ rightarrow q \\ r \ rightarrow q \\ p \ vee r \\\ por lo tanto {\ overline {q \ quad \ quad \ quad}} \\\ end {alineado}} }$	${\ displaystyle ((p \ rightarrow q) \ wedge (r \ rightarrow q) \ wedge (p \ vee r)) \ rightarrow q}$	Eliminación de disyunciones

Todas las reglas utilizan los operadores lógicos básicos. Una tabla completa de "operadores lógicos" se muestra mediante una tabla de verdad , dando definiciones de todas las posibles (16) funciones de verdad de 2 variables booleanas ( p , q ):

pag	q		0	1	2	3	4	5	6	7		8	9	10	11	12	13	14	15
T	T		F	F	F	F	F	F	F	F		T	T	T	T	T	T	T	T
T	F		F	F	F	F	T	T	T	T		F	F	F	F	T	T	T	T
F	T		F	F	T	T	F	F	T	T		F	F	T	T	F	F	T	T
F	F		F	T	F	T	F	T	F	T		F	T	F	T	F	T	F	T

donde T = verdadero y F = falso, y las columnas son los operadores lógicos: 0 , falso, contradicción ; 1 , NOR, NOR lógico (flecha de Peirce); 2 , no implicación inversa ; 3 , ¬p , negación ; 4 , no implicación material ; 5 , ¬q , negación; 6 , XOR, disyunción exclusiva ; 7 , NAND, NAND lógico (trazo de Sheffer); 8 , Y, conjunción lógica ; 9 , XNOR, Si y solo si , Bicondicional lógico ; 10 , q , función de proyección ; 11 , si / entonces, implicación lógica ; 12 , p , función de proyección; 13 , entonces / si, implicación inversa ; 14 , OR, disyunción lógica ; 15 , cierto, tautología .

Cada operador lógico puede usarse en una afirmación sobre variables y operaciones, mostrando una regla básica de inferencia. Ejemplos:

• El operador de la columna 14 (OR), muestra la regla de la suma : cuando p = T (la hipótesis selecciona las dos primeras líneas de la tabla), vemos (en la columna 14) que p ∨ q = T.

  Podemos ver también que, con la misma premisa, son válidas otras conclusiones: las columnas 12, 14 y 15 son T.

• El operador de columna 8 (Y), muestra la regla de simplificación : cuando p ∧ q = T (primera línea de la tabla), vemos que p = T.

  Con esta premisa, también concluimos que q = T, p ∨ q = T, etc. como se muestra en las columnas 9-15.

• El operador de la columna 11 (SI / ENTONCES), muestra la regla de Modus ponens : cuando p → q = T yp = T solo una línea de la tabla de verdad (la primera) satisface estas dos condiciones. En esta línea, q también es cierto. Por lo tanto, siempre que p → q sea verdadero y p sea verdadero, q también debe ser cierto.

Las máquinas y las personas bien capacitadas utilizan este enfoque de mirar tabla para hacer inferencias básicas y para verificar si se pueden obtener otras inferencias (para las mismas premisas).

Ejemplo 1

Considere las siguientes suposiciones: "Si llueve hoy, entonces no iremos en canoa hoy. Si no hacemos un viaje en canoa hoy, entonces iremos en un viaje en canoa mañana. Por lo tanto (símbolo matemático para" por lo tanto " es ), si hoy llueve, mañana saldremos en canoa ". Para hacer uso de las reglas de inferencia de la tabla anterior, dejemos que la proposición "Si llueve hoy", sea ​​"No iremos en canoa hoy" y sea ​​"Mañana saldremos en canoa". Entonces este argumento tiene la forma: ${\ Displaystyle \ por lo tanto}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} p \ rightarrow q \\ q \ rightarrow r \\\ por lo tanto {\ overline {p \ rightarrow r}} \\\ end {alineado}}}$

Ejemplo 2

Considere un conjunto de supuestos más complejo: "Hoy no hace sol y hace más frío que ayer". "Iremos a nadar solo si hace sol", "Si no vamos a nadar, haremos una barbacoa" y "Si tendremos una barbacoa, estaremos en casa al atardecer", lleva a la conclusión. Estaremos en casa al atardecer ". Prueba por reglas de inferencia: Sea la proposición "Hace sol hoy", la proposición "Hace más frío que ayer", la proposición "Iremos a nadar", la proposición "Haremos una barbacoa" y la proposición " Estaremos en casa al atardecer ". Entonces las hipótesis se convierten en y . Usando nuestra intuición, conjeturamos que la conclusión podría ser . Usando la tabla de Reglas de Inferencia podemos probar la conjetura fácilmente: ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle \ neg p \ wedge q, r \ rightarrow p, \ neg r \ rightarrow s}$${\ displaystyle s \ rightarrow t}$${\ Displaystyle t}$

Paso	Razón
1.${\ Displaystyle \ neg p \ wedge q}$	Hipótesis
2. ${\ Displaystyle \ neg p}$	Simplificación mediante el paso 1
3. ${\ Displaystyle r \ rightarrow p}$	Hipótesis
4. ${\ Displaystyle \ neg r}$	Modus tollens usando los pasos 2 y 3
5. ${\ Displaystyle \ neg r \ rightarrow s}$	Hipótesis
6. ${\ Displaystyle s}$	Modus ponens usando los pasos 4 y 5
7. ${\ displaystyle s \ rightarrow t}$	Hipótesis
8. ${\ Displaystyle t}$	Modus ponens usando los pasos 6 y 7

Referencias

Ver también

Lista de sistemas lógicos