Kernel (teoría de conjuntos) - Kernel (set theory)

En teoría de conjuntos , el núcleo de una función f (o núcleo de equivalencia ) puede tomarse como

• la relación de equivalencia en el dominio de la función que expresa aproximadamente la idea de "equivalente en la medida en que la función f pueda decir", o
• la partición correspondiente del dominio.

Definición

Para la definición formal, permiten X e Y sean conjuntos y dejar que f sea una función de X a Y . Elementos x ₁ y x ₂ de X son equivalentes si f ( x ₁ ) y f ( x ₂ ) son iguales , es decir, son el mismo elemento de Y . El núcleo de f es la relación de equivalencia así definida.

Cocientes

Como cualquier relación de equivalencia, el núcleo se puede modificar para formar un conjunto de cocientes , y el conjunto de cocientes es la partición:

${\ Displaystyle \ left \ {\, \ left \ {\, w \ in X \ mid f (x) = f (w) \, \ right \} \ mid x \ in X \, \ right \}.}$

Este conjunto de cocientes X / = _f se denomina coimagen de la función f , y se denota como coim f (o una variación). La coimagen es naturalmente isomórfica (en el sentido teórico de conjuntos de una biyección ) a la imagen , im f ; específicamente, la clase de equivalencia de x en X (que es un elemento de coim f ) corresponde af ( x ) en Y (que es un elemento de im f ).

Como un subconjunto del cuadrado

Al igual que cualquier relación binaria , el núcleo de una función puede ser pensado como un subconjunto del producto cartesiano X × X . De esta forma, el kernel puede denotarse ker f (o una variación) y puede definirse simbólicamente como

${\ Displaystyle \ operatorname {ker} f: = \ {(x, x ') \ mid f (x) = f (x') \}}$.

El estudio de las propiedades de este subconjunto puede arrojar luz sobre f .

En estructuras algebraicas

Si X e Y son estructuras algebraicas de algún tipo fijo (como grupos , anillos o espacios vectoriales ), y si la función f de X a Y es un homomorfismo , entonces ker f es una relación de congruencia (que es una relación de equivalencia que es compatible con la estructura algebraica), y la coimage de f es un cociente de X . La biyección entre la coimagen y la imagen de f es un isomorfismo en sentido algebraico; esta es la forma más general del primer teorema del isomorfismo . Consulte también Kernel (álgebra) .

En espacios topológicos

Si X y Y son espacios topológicos y f es una función continua entre ellos, entonces las propiedades topológicas de ker f puede arrojar luz sobre los espacios X y Y . Por ejemplo, si Y es un espacio de Hausdorff , ker f debe ser un conjunto cerrado . Por el contrario, si X es un espacio de Hausdorff y ker f es un conjunto cerrado, entonces la coimagen de f , si se le da la topología espacial del cociente , también debe ser un espacio de Hausdorff.

Referencias

Fuentes

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Teoría de categorías . Guías lógicas de Oxford. 49 (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-923718-0.