Espacio topológico finito - Finite topological space

En matemáticas , un espacio topológico finito es un espacio topológico para el cual el conjunto de puntos subyacente es finito . Es decir, es un espacio topológico para el que solo hay un número finito de puntos.

Si bien la topología se ha desarrollado principalmente para espacios infinitos, los espacios topológicos finitos se utilizan a menudo para proporcionar ejemplos de fenómenos interesantes o contraejemplos de conjeturas que suenan plausibles. William Thurston ha llamado al estudio de topologías finitas en este sentido "un tema excéntrico que puede dar una buena idea de una variedad de preguntas".

Topologías en un conjunto finito

Como una subred delimitada

Una topología en un conjunto X se define como un subconjunto de P ( X ), el conjunto de potencia de X , que incluye tanto ∅ como X y está cerrado bajo intersecciones finitas y uniones arbitrarias .

Dado que el conjunto de potencias de un conjunto finito es finito, sólo puede haber un número finito de conjuntos abiertos (y sólo un número finito de conjuntos cerrados ). Por tanto, basta con comprobar que la unión de un número finito de conjuntos abiertos sea abierta. Esto conduce a una descripción más simple de topologías en un conjunto finito.

Sea X un conjunto finito. Una topología en X es un subconjunto τ de P ( X ) tal que

1. ∅ ∈ τ y X ∈ τ
2. si U y V están en τ entonces U ∪ V ∈ τ
3. si U y V están en τ entonces U ∩ V ∈ τ

Por lo tanto, una topología en un conjunto finito no es más que una subred de ( P ( X ), ⊂) que incluye tanto el elemento inferior (∅) como el elemento superior ( X ).

Cada celosía delimitada finita está completa, ya que el encuentro o unión de cualquier familia de elementos siempre se puede reducir a un encuentro o unión de dos elementos. De ello se deduce que en un espacio topológico finito la unión o intersección de una familia arbitraria de conjuntos abiertos (resp. Conjuntos cerrados) es abierta (resp. Cerrada).

Reserva de especialización

Topologías en un conjunto finito X están en correspondencia uno-a-uno con pre-ordenes en X . Recuerde que un preorden en X es una relación binaria en X que es reflexiva y transitiva .

Dado un espacio topológico X (no necesariamente finito) , podemos definir un preorden en X por

x ≤ y si y solo si x ∈ cl { y }

donde cl { y } denota el cierre del conjunto singleton { y }. Esta orden previo se llama el orden previo especialización en X . Cada conjunto abierto U de X será un conjunto superior con respecto a ≤ (es decir, si x ∈ U y x ≤ y entonces y ∈ U ). Ahora bien, si X es finito, lo contrario también es cierto: cada conjunto superior está abierto en X . Entonces, para espacios finitos, la topología en X está determinada únicamente por ≤.

Yendo en la otra dirección, suponga que ( X , ≤) es un conjunto preordenado. Defina una topología τ en X tomando los conjuntos abiertos como los conjuntos superiores con respecto a ≤. Entonces la relación ≤ será el preorden de especialización de ( X , τ). La topología definida de esta manera se denomina topología de Alexandrov determinada por ≤.

La equivalencia entre preordenes y topologías finitas puede interpretarse como una versión del teorema de representación de Birkhoff , una equivalencia entre retículas distributivas finitas (la retícula de conjuntos abiertos de la topología) y órdenes parciales (el orden parcial de clases de equivalencia del preorden). Esta correspondencia también funciona para una clase más grande de espacios llamados espacios generados finitamente . Los espacios finamente generados se pueden caracterizar como los espacios en los que se abre una intersección arbitraria de conjuntos abiertos. Los espacios topológicos finitos son una clase especial de espacios finamente generados.

Ejemplos de

0 o 1 puntos

Hay una topología única en el conjunto vacío ∅. El único conjunto abierto es el vacío. De hecho, este es el único subconjunto de ∅.

Asimismo, existe una topología única en un conjunto singleton { a }. Aquí los conjuntos abiertos son ∅ y { a }. Esta topología es a la vez discreta y trivial , aunque de alguna manera es mejor pensar en ella como un espacio discreto ya que comparte más propiedades con la familia de espacios discretos finitos.

Para cualquier espacio topológico X hay una función continua única de ∅ a X , a saber, la función vacía . También hay una función continua única de X al espacio singleton { a }, a saber, la función constante a a . En el lenguaje de la teoría de categorías, el espacio vacío sirve como objeto inicial en la categoría de espacios topológicos, mientras que el espacio singleton sirve como objeto terminal .

2 puntos

Sea X = { a , b } un conjunto con 2 elementos. Hay cuatro topologías distintas en X :

1. {∅, { a , b }} (la topología trivial )
2. {∅, { a }, { a , b }}
3. {∅, { b }, { a , b }}
4. {∅, { a }, { b }, { a , b }} (la topología discreta )

La segunda y tercera topologías anteriores se ven fácilmente como homeomorfas . La función de X a sí misma que intercambia una y b es un homeomorfismo. Un espacio topológico homeomorfo a uno de estos se llama espacio de Sierpiński . Entonces, de hecho, solo hay tres topologías desiguales en un conjunto de dos puntos: la trivial, la discreta y la topología de Sierpiński.

El preorden de especialización en el espacio de Sierpiński { a , b } con { b } abierto viene dado por: a ≤ a , b ≤ b , y a ≤ b .

3 puntos

Sea X = { a , b , c } un conjunto con 3 elementos. Hay 29 topologías distintas en X, pero solo 9 topologías no equivalentes:

1. {∅, { a , b , c }}
2. {∅, { c }, { a , b , c }}
3. {∅, { a , b }, { a , b , c }}
4. {∅, { c }, { a , b }, { a , b , c }}
5. {∅, { c }, { b , c }, { a , b , c }}
6. {∅, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }}
7. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }}
8. {∅, { b }, { c }, { a , b }, { b , c }, { a , b , c }}
9. {∅, { a }, { b }, { c }, { a , b }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }}

Los últimos 5 de estos son todos T ₀ . El primero es trivial, mientras que en 2, 3, y 4 los puntos de un y b son topológicamente indistinguible .

4 puntos

Sea X = { a , b , c , d } un conjunto con 4 elementos. Hay 355 topologías distintas en X, pero solo 33 topologías desiguales:

1. {∅, { a , b , c , d }}
2. {∅, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
3. {∅, { a }, { a , b , c , d }}
4. {∅, { a }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
5. {∅, { a , b }, { a , b , c , d }}
6. {∅, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
7. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c , d }}
8. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c , d }}
9. {∅, { a , b , c }, { d }, { a , b , c , d }}
10. {∅, { a }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
11. {∅, { a }, { a , b , c }, { d }, { a , d }, { a , b , c , d }}
12. {∅, { a }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
13. {∅, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }}
14. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
15. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }}
16. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { d }, { a , b , d }, { c , d }, { a , b , c , d }}
17. {∅, { b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
18. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
19. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
20. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
21. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
22. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
23. {∅, { a }, { a , b }, { c }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
24. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
25. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
26. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
27. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
28. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
29. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
30. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
31. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
32. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d } } ( T ₀ )
33. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { d }, { a , d } , { b , d }, { a , b , d }, { c , d }, { a , c , d }, { b , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )

Los últimos 16 de estos son todos T ₀ .

Propiedades

Compacidad y contabilidad

Todo espacio topológico finito es compacto, ya que cualquier cubierta abierta debe ser finita. De hecho, los espacios compactos a menudo se consideran una generalización de espacios finitos, ya que comparten muchas de las mismas propiedades.

Cada espacio topológico finito también es contable en segundo lugar (solo hay un número finito de conjuntos abiertos) y separable (ya que el espacio en sí es contable ).

Axiomas de separación

Si un espacio topológico finito es T ₁ (en particular, si es Hausdorff ), entonces debe, de hecho, ser discreto. Esto se debe a que el complemento de un punto es una unión finita de puntos cerrados y, por tanto, cerrada. De ello se deduce que cada punto debe estar abierto.

Por lo tanto, cualquier espacio topológico finito que no sea discreto no puede ser T ₁ , Hausdorff ni nada más fuerte.

Sin embargo, es posible que un espacio finito no discreto sea T ₀ . En general, dos puntos x y y son topológicamente indistinguible si y sólo si x ≤ y y y ≤ x , donde ≤ es el orden previo especialización en X . De ello se deduce que un espacio X es T ₀ si y solo si el preorden de especialización ≤ en X es un orden parcial . Hay numerosos órdenes parciales en un conjunto finito. Cada uno define una topología T ₀ única .

De manera similar, un espacio es R ₀ si y solo si el preorden de especialización es una relación de equivalencia. Dado cualquier relación de equivalencia en un conjunto finito X la topología asociada es la topología de partición en X . Las clases de equivalencia serán las clases de puntos topológicamente indistinguibles. Dado que la topología de la partición es pseudometrizable , un espacio finito es R ₀ si y solo si es completamente regular .

Los espacios finitos no discretos también pueden ser normales . La topología de puntos excluidos en cualquier conjunto finito es un espacio T ₀ completamente normal que no es discreto.

Conectividad

Conectividad en un espacio finito X se entiende mejor considerando el orden previo especialización ≤ en X . Podemos asociar a cualquier conjunto X preordenado un gráfico dirigido Γ tomando los puntos de X como vértices y dibujando una arista x → y siempre que x ≤ y . La conectividad de un espacio finito X se puede entender considerando la conectividad del gráfico asociado Γ.

En cualquier espacio topológico, si x ≤ y entonces hay un camino de x a y . Uno puede simplemente tomar f (0) = x y f ( t ) = y para t > 0. Es fácil verificar que f es continua. De ello se deduce que los componentes de la trayectoria de un espacio topológico finito son precisamente los componentes (débilmente) conectados del gráfico asociado Γ. Es decir, hay un camino topológico de x a y si y sólo si existe un camino no dirigida entre los correspondientes vértices de Γ.

Cada espacio finito está conectado a una ruta local desde que el conjunto

${\ Displaystyle \ mathop {\ uparrow} x = \ {y \ in X: x \ leq y \}}$

es un vecindario abierto de x conectado a un camino que está contenido en todos los demás vecindarios. En otras palabras, este conjunto único forma una base local en x .

Por lo tanto, un espacio finito está conectado si y solo si está conectado por una ruta. Los componentes conectados son precisamente los componentes de la ruta. Cada uno de tales componentes es tanto cerrado y abierto en X .

Los espacios finitos pueden tener propiedades de conectividad más fuertes. Un espacio finito X es

• hiperconectados si y solo si hay un elemento mayor con respecto al preorden de especialización. Este es un elemento cuyo cierre es todo el espacio X .
• ultraconectado si y solo si hay un elemento mínimo con respecto al preorden de especialización. Este es un elemento cuyo único barrio es todo el espacio X .

Por ejemplo, la topología de puntos particular en un espacio finito está hiperconectada mientras que la topología de puntos excluidos está ultraconectada. El espacio de Sierpiński es ambos.

Estructura adicional

Un espacio topológico finito es pseudometrizable si y solo si es R ₀ . En este caso, una pseudométrica posible viene dada por

${\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & x \ equiv y \\ 1 & x \ not \ equiv y \ end {cases}}}$

donde x ≡ Y medios x y y son topológicamente indistinguible . Un espacio topológico finito es metrizable si y solo si es discreto.

Asimismo, un espacio topológico es uniformizable si y solo si es R ₀ . La estructura uniforme será la uniformidad pseudométrica inducida por la pseudométrica anterior.

Topología algebraica

Quizás sorprendentemente, hay espacios topológicos finitos con grupos fundamentales no triviales . Un ejemplo simple es el pseudocírculo , que es el espacio X con cuatro puntos, dos de los cuales están abiertos y dos cerrados. Hay un mapa continuo desde el círculo unitario S ¹ a X que es una equivalencia de homotopía débil (es decir, induce un isomorfismo de grupos de homotopía ). De ello se deduce que el grupo fundamental del pseudocírculo es cíclico infinito .

De manera más general, se ha demostrado que para cualquier complejo simplicial abstracto finito K , existe un espacio topológico finito X _K y una equivalencia de homotopía débil f  : | K | → X _K donde | K | es la realización geométrica de K . De ello se deduce que los grupos de homotopía de | K | y X _K son isomorfos. De hecho, el conjunto subyacente de X _K puede tomarse como el propio K , con la topología asociada al orden parcial de inclusión.

Número de topologías en un conjunto finito

Como se discutió anteriormente, las topologías en un conjunto finito están en correspondencia uno a uno con los pedidos anticipados en el conjunto, y las topologías T ₀ están en correspondencia uno a uno con los pedidos parciales . Por lo tanto, el número de topologías en un conjunto finito es igual al número de preordenes y el número de topologías T ₀ es igual al número de órdenes parciales.

La siguiente tabla enumera el número de topologías distintas (T ₀ ) en un conjunto con n elementos. También enumera el número de topologías no equivalentes (es decir, no homeomórficas ).

Número de topologías en un conjunto con n puntos

norte	Topologías distintas	Topologías T 0 distintas	Topologías inequivalentes	No equivalentes T 0 topologías
0	1	1	1	1
1	1	1	1	1
2	4	3	3	2
3	29	19	9	5
4	355	219	33	dieciséis
5	6942	4231	139	63
6	209527	130023	718	318
7	9535241	6129859	4535	2045
8	642779354	431723379	35979	16999
9	63260289423	44511042511	363083	183231
10	8977053873043	6611065248783	4717687	2567284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

Sea T ( n ) el número de topologías distintas en un conjunto con n puntos. No existe una fórmula simple conocida para calcular T ( n ) para n arbitrario . La Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros actualmente enumera T ( n ) para n ≤ 18.

El número de topologías T ₀ distintas en un conjunto con n puntos, denotado T ₀ ( n ), está relacionado con T ( n ) por la fórmula

${\ Displaystyle T (n) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) \, T_ {0} (k)}$

donde S ( n , k ) denota el número de Stirling del segundo tipo .

Ver también

• Geometría finita
• Espacio métrico finito
• Combinatoria topológica

Referencias

• Stong, Robert E. (1966). "Espacios topológicos finitos" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 123 : 325–340. doi : 10.1090 / s0002-9947-1966-0195042-2 . Señor   0195042 .
• Grupos de homología singular y grupos de homotopía de espacios topológicos finitos, Michael C. McCord, Duke Math. J. Volumen 33, Número 3 (1966), 465-474.
• Barmak, Jonathan (2011). Topología algebraica de espacios y aplicaciones topológicas finitas . Saltador. ISBN   978-3-642-22002-9 .
• Merrifield, Richard; Simmons, Howard E. (1989). Métodos topológicos en química . Wiley. ISBN   978-0-471-83817-3 .

enlaces externos

• Notas y material de lectura sobre espacios topológicos finitos , JP MAY