Derivados de Wirtinger - Wirtinger derivatives

En el análisis complejo de una y varias variables complejas , las derivadas de Wirtinger (a veces también llamadas operadores de Wirtinger ), que llevan el nombre de Wilhelm Wirtinger, quien las introdujo en 1927 en el curso de sus estudios sobre la teoría de funciones de varias variables complejas , son operadores diferenciales parciales de el primer orden que se comporta de manera muy similar a las derivadas ordinarias con respecto a una variable real , cuando se aplica a funciones holomorfas , funciones antiholomorfas o funciones simplemente diferenciables en dominios complejos . Estos operadores permiten la construcción de un cálculo diferencial para tales funciones que es completamente análogo al cálculo diferencial ordinario para funciones de variables reales .

Notas históricas

Primeros días (1899-1911): obra de Henri Poincaré

Los derivados de Wirtinger se utilizaron en análisis complejos al menos ya en el artículo ( Poincaré 1899 ), como notaron brevemente Cherry y Ye (2001 , p. 31) y Remmert (1991 , págs. 66-67). De hecho, en el tercer párrafo de su artículo de 1899, Henri Poincaré primero define la variable compleja en y su conjugado complejo de la siguiente manera ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} x_ {k} + iy_ {k} = z_ {k} \\ x_ {k} -iy_ {k} = u_ {k} \ end {cases}} \ qquad 1 \ leqslant k \ leqslant n.}$

Luego escribe la ecuación que define las funciones que él llama biharmonique , previamente escrita usando derivadas parciales con respecto a las variables reales con un rango de 1 a , exactamente de la siguiente manera ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle x_ {k}, y_ {q}}$${\ Displaystyle k, q}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} V} {dz_ {k} \, du_ {q}}} = 0}$

Esto implica que usó implícitamente la definición 2 a continuación: para ver esto es suficiente comparar las ecuaciones 2 y 2 'de ( Poincaré 1899 , p. 112). Aparentemente, este artículo no fue notado por los primeros investigadores en la teoría de funciones de varias variables complejas : en los artículos de Levi-Civita (1905) , Levi (1910) (y Levi 1911 ) y de Amoroso (1912) todos los diferenciales parciales fundamentales Los operadores de la teoría se expresan directamente utilizando derivadas parciales con respecto a las partes real e imaginaria de las variables complejas involucradas. En el extenso trabajo de estudio de Osgood (1966) (publicado por primera vez en 1913), las derivadas parciales con respecto a cada variable compleja de una función holomórfica de varias variables complejas parecen entenderse como derivadas formales : de hecho, cuando Osgood expresa la operador pluriharmonic y el operador Levi , sigue la práctica establecida de Amoroso , Levi y Levi-Civita .

La obra de Dimitrie Pompeiu en 1912 y 1913: una nueva formulación

Según Henrici (1993 , p. 294), Dimitrie Pompeiu dio un nuevo paso en la definición del concepto : en el trabajo ( Pompeiu 1912 ), dada una función diferenciable valorada compleja (en el sentido de análisis real ) de una variable compleja definida en la vecindad de un punto dado define la derivada areolar como el siguiente límite ${\ Displaystyle g (z)}$ ${\ Displaystyle z_ {0} \ in \ mathbb {C},}$

${\ Displaystyle {{\ frac {\ parcial g} {\ parcial {\ bar {z}}}} (z_ {0})} {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {1} {2 \ pi ir ^ {2}}} \ oint _ {\ Gamma (z_ {0}, r)} g (z) \ mathrm {d} z,}$

donde es el límite de un disco de radio contenido enteramente en el dominio de definición de, es decir, su círculo delimitador . Evidentemente, esta es una definición alternativa de la derivada de Wirtinger con respecto a la variable conjugada compleja : es más general, ya que, como señala Henrici (1993 , p. 294), el límite puede existir para funciones que ni siquiera son diferenciables en Según Fichera (1969 , p. 28), la primera en identificar la derivada areolar como derivada débil en el sentido de Sobolev fue Ilia Vekua . En su siguiente artículo, Pompeiu (1913) utiliza este concepto recién definido para introducir su generalización de la fórmula integral de Cauchy , la ahora llamada fórmula Cauchy-Pompeiu . ${\ Displaystyle \ Gamma (z_ {0}, r) = \ parcial D (z_ {0}, r)}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle g (z),}$ ${\ Displaystyle z = z_ {0}.}$

El trabajo de Wilhelm Wirtinger

La primera introducción sistemática de derivadas de Wirtinger parece debida a Wilhelm Wirtinger en el artículo Wirtinger 1926 con el fin de simplificar los cálculos de cantidades que ocurren en la teoría de funciones de varias variables complejas : como resultado de la introducción de estos operadores diferenciales , la forma de todos los operadores diferenciales comúnmente utilizados en la teoría, como el operador de Levi y el operador de Cauchy-Riemann , se simplifican considerablemente y, en consecuencia, son más fáciles de manejar. El artículo está escrito deliberadamente desde un punto de vista formal, es decir, sin dar una derivación rigurosa de las propiedades deducidas.

Definicion formal

A pesar de su uso omnipresente, parece que no hay ningún texto que enumere todas las propiedades de los derivados de Wirtinger: sin embargo, referencias bastante completas son el curso corto sobre análisis complejo multidimensional de Andreotti (1976 , pp. 3-5), la monografía de Gunning y Rossi (1965 , págs. 3-6), y la monografía de Kaup & Kaup (1983 , pág. 2,4) que se utilizan como referencias generales en esta y las siguientes secciones.

Funciones de una variable compleja

Definición 1. Considere el plano complejo Las derivadas de Wirtinger se definen como los siguientes operadores diferenciales parciales lineales de primer orden: ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ equiv \ mathbb {R} ^ {2} = \ {(x, y) \ mid x, y \ in \ mathbb {R} \}.}$

${\ estilo de visualización {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial} {\ parcial z}} & = {\ frac {1} {2}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} -i {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} \ derecha) \\ {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {z}}}} & = {\ frac {1} {2} } \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} + i {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} \ derecha) \ end {alineado}}}$

Claramente, el dominio natural de definición de estos operadores diferenciales parciales es el espacio de funciones en un dominio pero, dado que estos operadores son lineales y tienen coeficientes constantes , pueden extenderse fácilmente a cada espacio de funciones generalizadas . ${\ Displaystyle C ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2},}$

Funciones de n > 1 variables complejas

Definición 2. Considere el espacio euclidiano en el campo complejo Las derivadas de Wirtinger se definen como los siguientes operadores diferenciales parciales lineales de primer orden: ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {2n} = \ left \ {\ left (\ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ right) = \ left (x_ { 1}, \ ldots, x_ {n}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n} \ right) \ mid \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {n} \Derecha\}.}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ Particular} {\ Partical Z_ {1}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ Partical} {\ Partical x_ {1}}} - yo {\ frac {\ parcial} {\ parcial y_ {1}}} \ derecha) \\\ qquad \ vdots \\ {\ frac {\ parcial} {\ parcial z_ {n}}} = {\ frac {1} {2}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {n}}} - i {\ frac {\ parcial} {\ parcial y_ {n}}} \ derecha ) \\\ final {casos}}, \ qquad {\ begin {casos} {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {z}} _ {1}}} = {\ frac {1} {2 }} \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {1}}} + i {\ frac {\ parcial} {\ parcial y_ {1}}} \ derecha) \\\ qquad \ vdots \\ {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {z}} _ {n}}} = {\ frac {1} {2}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {n }}} + i {\ frac {\ parcial} {\ parcial y_ {n}}} \ derecha) \\\ end {casos}}.}$

En cuanto a las derivadas de Wirtinger para funciones de una variable compleja, el dominio natural de definición de estos operadores diferenciales parciales es nuevamente el espacio de funciones en un dominio y nuevamente, dado que estos operadores son lineales y tienen coeficientes constantes , pueden extenderse fácilmente a cada espacio de funciones generalizadas . ${\ Displaystyle C ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {2n},}$

Propiedades básicas

En la presente sección y en las siguientes se asume que es un vector complejo y que donde son vectores reales , con n  ≥ 1: también se asume que el subconjunto se puede pensar como un dominio en el espacio euclidiano real o en su contraparte compleja isomorfa Todas las demostraciones son consecuencias fáciles de la definición 1 y la definición 2 y de las propiedades correspondientes de las derivadas (ordinarias o parciales ). ${\ Displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle z \ equiv (x, y) = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n})}$${\ Displaystyle x, y}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$

Linealidad

Lema 1. Si y son números complejos , entonces, para las siguientes igualdades, se cumple ${\ Displaystyle f, g \ en C ^ {1} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ alpha, \ beta}$${\ Displaystyle i = 1, \ dots, n}$

${\ estilo de visualización {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial} {\ parcial z_ {i}}} \ izquierda (\ alpha f + \ beta g \ derecha) & = \ alpha {\ frac {\ parcial f} { \ parcial z_ {i}}} + \ beta {\ frac {\ parcial g} {\ parcial z_ {i}}} \\ {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {z}} _ {i }}} \ izquierda (\ alpha f + \ beta g \ derecha) & = \ alpha {\ frac {\ parcial f} {\ parcial {\ bar {z}} _ {i}}} + \ beta {\ frac { \ parcial g} {\ parcial {\ bar {z}} _ {i}}} \ end {alineado}}}$

Regla del producto

Lema 2. Si entonces para el producto se cumple la regla${\ Displaystyle f, g \ en C ^ {1} (\ Omega),}$${\ Displaystyle i = 1, \ dots, n}$

${\ estilo de visualización {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial} {\ z_ parcial {i}}} (f \ cdot g) & = {\ frac {\ f parcial} {\ z parcial_ {i}}} \ cdot g + f \ cdot {\ frac {\ parcial g} {\ parcial z_ {i}}} \\ {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {z}} _ {i}}} ( f \ cdot g) & = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial {\ bar {z}} _ {i}}} \ cdot g + f \ cdot {\ frac {\ parcial g} {\ parcial { \ bar {z}} _ {i}}} \ end {alineado}}}$

Esta propiedad implica que las derivadas de Wirtinger son derivaciones desde el punto de vista del álgebra abstracta , exactamente como lo son las derivadas ordinarias .

Cadena de reglas

Esta propiedad toma dos formas diferentes respectivamente para funciones de una y varias variables complejas : para el caso n  > 1, para expresar la regla de la cadena en su generalidad completa es necesario considerar dos dominios y y dos mapas y tener requisitos de suavidad natural . ${\ Displaystyle \ Omega '\ subseteq \ mathbb {C} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ Omega '' \ subseteq \ mathbb {C} ^ {p}}$ ${\ Displaystyle g: \ Omega '\ a \ Omega}$${\ Displaystyle f: \ Omega \ a \ Omega ''}$

Funciones de una variable compleja

Lema 3.1 Si y entonces se cumple la regla de la cadena${\ Displaystyle f, g \ en C ^ {1} (\ Omega),}$${\ Displaystyle g (\ Omega) \ subseteq \ Omega,}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ Particular} {\ Partical Z}} (f \ circ g) & = \ left ({\ frac {\ Particular F} {\ Partical z}} \ circ g \ derecha) {\ frac {\ g parcial} {\ z parcial}} + \ izquierda ({\ frac {\ f parcial} {\ parcial {\ bar {z}}}} \ circ g \ derecha) {\ frac {\ parcial {\ bar {g}}} {\ parcial z}} \\ {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {z}}}} (f \ circ g) & = \ left ({ \ frac {\ parcial f} {\ parcial z}} \ circ g \ derecha) {\ frac {\ parcial g} {\ parcial {\ bar {z}}}} + \ izquierda ({\ frac {\ parcial f } {\ parcial {\ bar {z}}}} \ circ g \ derecha) {\ frac {\ parcial {\ bar {g}}} {\ parcial {\ bar {z}}}} \ end {alineado} }}$

Funciones de n > 1 variables complejas

Lema 3.2 Si y entonces para la siguiente forma de la regla de la cadena se cumple ${\ Displaystyle g \ in C ^ {1} (\ Omega ', \ Omega)}$${\ Displaystyle f \ in C ^ {1} (\ Omega, \ Omega ''),}$${\ Displaystyle i = 1, \ dots, m}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial} {\ parcial z_ {i}}} \ left (f \ circ g \ right) & = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ izquierda ({\ frac {\ parcial f} {\ parcial z_ {j}}} \ circ g \ derecha) {\ frac {\ parcial g_ {j}} {\ parcial z_ {i}}} + \ sum _ { j = 1} ^ {n} \ izquierda ({\ frac {\ parcial f} {\ parcial {\ bar {z}} _ {j}}} \ circ g \ derecha) {\ frac {\ parcial {\ bar {g}} _ {j}} {\ parcial z_ {i}}} \\ {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {z}} _ {i}}} \ izquierda (f \ circ g \ right) & = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ parcial f} {\ parcial z_ {j}}} \ circ g \ right) {\ frac {\ parcial g_ {j}} {\ partial {\ bar {z}} _ {i}}} + \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {j}}} \ circ g \ right) {\ frac {\ partial {\ bar {g}} _ {j}} {\ partial {\ bar {z}} _ {i}}} \ end {alineado}}}$

Conjugación

Lema 4. Si entonces para las siguientes igualdades se cumple ${\ Displaystyle f \ en C ^ {1} (\ Omega),}$${\ Displaystyle i = 1, \ dots, n}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ overline {\ left ({\ frac {\ parcial f} {\ parcial z_ {i}}} \ derecha)}} & = {\ frac {\ parcial {\ bar { f}}} {\ parcial {\ bar {z}} _ {i}}} \\ {\ overline {\ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {i }}} \ derecha)}} & = {\ frac {\ parcial {\ bar {f}}} {\ parcial z_ {i}}} \ end {alineado}}}$

Ver también

• Función CR
• Complejo Dolbeault
• Operador Dolbeault
• Función pluriharmónica

Notas

Referencias