Disfenoide - Disphenoid

Los difenoides tetragonales y digonales se pueden colocar dentro de un cuboide que biseca dos caras opuestas. Ambos tienen cuatro bordes iguales que rodean los lados. El digonal tiene dos pares de caras de triángulos isósceles congruentes, mientras que el tetragonal tiene cuatro caras de triángulos isósceles congruentes.

Un esfenoide rómbico tiene caras de triángulos escalenos congruentes y puede caber diagonalmente dentro de un cuboide . Tiene tres conjuntos de longitudes de borde, que existen como pares opuestos.

En geometría , un disphenoid (del griego sphenoeides, "en forma de cuña") es un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos congruentes de ángulos agudos. También se puede describir como un tetraedro en el que cada dos bordes opuestos entre sí tienen la misma longitud. Otros nombres de la misma forma son esfenoides , bisphenoid , isósceles tetraedro , tetraedro equifacial , tetraedro casi normal , y tetramonohedron .

Todos los ángulos sólidos y las figuras de los vértices de un difenoide son iguales, y la suma de los ángulos de las caras en cada vértice es igual a dos ángulos rectos . Sin embargo, un difenoide no es un poliedro regular porque, en general, sus caras no son polígonos regulares y sus aristas tienen tres longitudes diferentes.

Casos especiales y generalizaciones

Si las caras de un difenoide son triángulos equiláteros , se trata de un tetraedro regular con simetría tetraédrica T _d , aunque normalmente no se le llama difenoide. Cuando las caras de un difenoide son triángulos isósceles , se denomina difenoide tetragonal . En este caso tiene simetría diédrica D _2d . Un esfenoide con triángulos escalenos en sus caras se llama un esfenoide rómbico y tiene simetría diédrica D ₂ . A diferencia del difenoide tetragonal, el esfenoide rómbico no tiene simetría de reflexión , por lo que es quiral . Ambos disphenoids tetragonales y disphenoids romboidales son isohedra : además de ser congruentes entre sí, todas sus caras son simétricas entre sí.

No es posible construir un difenoide con caras de triángulos rectángulos o triángulos obtusos . Cuando los triángulos rectángulos se pegan juntos en el patrón de un difenoide, forman una figura plana (un rectángulo doblemente cubierto) que no encierra ningún volumen. Cuando los triángulos obtusos se pegan de esta manera, la superficie resultante se puede plegar para formar un difenoide (según el teorema de la unicidad de Alexandrov ) pero uno con caras de triángulos agudos y con bordes que en general no se encuentran a lo largo de los bordes de los triángulos obtusos dados.

Dos tipos más de tetraedro generalizan el esfenoides y tienen nombres similares. El difenoide digonal tiene caras con dos formas diferentes, ambos triángulos isósceles, con dos caras de cada forma. El difenoide fílico también tiene caras con dos formas de triángulos escalenos.

Los disfenoides también pueden verse como antiprismas digonales o como prismas cuadriláteros alternos .

Caracterizaciones

Un tetraedro es un esfenoide si y solo si su paralelepípedo circunscrito tiene un ángulo recto.

También tenemos que un tetraedro es un difenoide si y solo si el centro en la esfera circunscrita y la esfera inscrita coinciden.

Otra caracterización establece que si d ₁ , d ₂ y d ₃ son las perpendiculares comunes de AB y CD ; AC y BD ; y AD y BC respectivamente en un tetraedro ABCD , entonces el tetraedro es un difenoide si y solo si d ₁ , d ₂ y d ₃ son pares perpendiculares .

Los esfenoides son los únicos poliedros que tienen un número infinito de geodésicas cerradas que no se intersecan por sí mismas . En un disphenoid, todas las geodésicas cerradas no se intersecan por sí mismas.

Los difenoides son los tetraedros en los que las cuatro caras tienen el mismo perímetro , los tetraedros en los que las cuatro caras tienen la misma área y los tetraedros en los que los defectos angulares de los cuatro vértices son iguales a π . Son los poliedros que tienen una red en forma de triángulo agudo, divididos en cuatro triángulos similares por segmentos que conectan los puntos medios de los bordes.

Fórmulas métricas

El volumen de un disphenoid con bordes opuestos de longitud l , m y n está dado por

${\ Displaystyle V = {\ sqrt {\ frac {(l ^ {2} + m ^ {2} -n ^ {2}) (l ^ {2} -m ^ {2} + n ^ {2}) (-l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2})} {72}}}.}$

La esfera circunscrita tiene radio (el circunradio)

${\ Displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2}} {8}}}}$

y la esfera inscrita tiene radio

${\ Displaystyle r = {\ frac {3V} {4T}}}$

donde V es el volumen del esfenoides y T es el área de cualquier cara, que viene dada por la fórmula de Heron . También existe la siguiente relación interesante que conecta el volumen y el radio de circunferencia:

${\ Displaystyle \ Displaystyle 16T ^ {2} R ^ {2} = l ^ {2} m ^ {2} n ^ {2} + 9V ^ {2}.}$

Los cuadrados de las longitudes de los bimedianos son

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (l ^ {2} + m ^ {2} -n ^ {2}), \ quad {\ tfrac {1} {2}} (l ^ {2 } -m ^ {2} + n ^ {2}), \ quad {\ tfrac {1} {2}} (- l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2}).}$

Otras propiedades

Si las cuatro caras de un tetraedro tienen el mismo perímetro, entonces el tetraedro es un esfenoide.

Si las cuatro caras de un tetraedro tienen la misma área, entonces es un difenoide.

Los centros de las esferas circunscritas e inscritas coinciden con el centroide del esfenoides.

Los bimedianos son perpendiculares a los bordes que conectan y entre sí.

Panales y cristales

Un difenoide tetraédrico que llena el espacio dentro de un cubo. Dos aristas tienen ángulos diedros de 90 ° y cuatro aristas tienen ángulos diedros de 60 °.

Algunos esfenoides tetragonales formarán panales . El disphenoid cuyos cuatro vértices son (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) y (0, 1, -1) es un disphenoid. Cada una de sus cuatro caras es un triángulo isósceles con aristas de longitudes √ 3 , √ 3 y 2. Puede teselar el espacio para formar el panal tetraédrico difenoide . Como describe Gibb (1990) , se puede plegar sin cortar ni solapar a partir de una sola hoja de papel a4 .

"Disphenoid" también se usa para describir dos formas de cristal :

• Una forma de cristal en forma de cuña del sistema tetragonal u ortorrómbico . Tiene cuatro caras triangulares que son iguales y que corresponden en posición a caras alternas de la bipirámide tetragonal u ortorrómbica . Es simétrico con respecto a cada uno de los tres ejes de simetría de diada mutuamente perpendiculares en todas las clases, excepto el tetragonal-difenoidal, en el que la forma se genera mediante un eje de simetría de tétrada inversa.
• Forma de cristal delimitada por ocho triángulos escalenos dispuestos en pares, que constituyen un escalenoedro tetragonal .

Otros usos

Seis difenoides tetragonales unidos de extremo a extremo en un anillo construyen un caleidociclo , un juguete de papel que puede rotar en 4 conjuntos de caras en un hexágono.

Ver también

• Tetraedro ortocéntrico
• Disfenoide desaire : un sólido de Johnson con 12 caras de triángulos equiláteros y simetría D _2d .
• Tetraedro trirrectangular

Referencias

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Disphenoid" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Tetraedro isósceles" . MathWorld .