Fórmula de Heron - Heron's formula

Un triángulo de lados a , b y c

En geometría , la fórmula de Heron (a veces llamada fórmula de Hero ), que lleva el nombre de Hero of Alexandria , da el área de un triángulo cuando se conoce la longitud de los tres lados. A diferencia de otras fórmulas de áreas de triángulos, no es necesario calcular ángulos u otras distancias en el triángulo primero.

Formulación

La fórmula de Heron establece que el área de un triángulo cuyos lados tienen longitudes una , b , y c es

donde s es el semiperímetro del triángulo; es decir,

La fórmula de Heron también se puede escribir como

Ejemplo

Sea ABC el triángulo de lados a = 4 , b = 13 y c = 15 . El semiperímetro de este triángulo es

s = 1/2( a + b + c ) =1/2(4 + 13 + 15) = 16 , y el área es

En este ejemplo, las longitudes de los lados y el área son números enteros , lo que lo convierte en un triángulo heroniano . Sin embargo, la fórmula de Heron funciona igualmente bien en los casos en que una o más de las longitudes de los lados no son números enteros.

Historia

La fórmula se le atribuye a Garza (o héroe) de Alejandría , y se puede encontrar una prueba en su libro Métrica , escrito alrededor del 60 d.C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, y dado que Métrica es una colección de el conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo.

Una fórmula equivalente a la de Heron, a saber,

fue descubierto por los chinos. Fue publicado en Mathematical Treatise in Nine Sections ( Qin Jiushao , 1247).

Pruebas

Hay muchas formas diferentes de probar la fórmula de Heron, por ejemplo, usando la trigonometría como se muestra a continuación, o el incentro y un excirculo del triángulo, o como un caso especial del teorema de De Gua (para el caso particular de triángulos agudos).

Prueba trigonométrica usando la ley de los cosenos

A continuación se presenta una demostración moderna, que usa álgebra y es bastante diferente de la proporcionada por Heron (en su libro Métrica). Sean a , b , c los lados del triángulo y α , β , γ los ángulos opuestos a esos lados. Aplicando la ley de los cosenos obtenemos

De esta demostración, obtenemos el enunciado algebraico de que

La altitud del triángulo en la base a tiene una longitud b sin γ , y sigue

La factorización de la diferencia de dos cuadrados se utilizó en dos pasos diferentes.

Prueba algebraica usando el teorema de Pitágoras

Triángulo con altitud h cortando la base c en d + ( c - d )

La siguiente prueba es muy similar a la dada por Raifaizen. Según el teorema de Pitágoras , tenemos b 2 = h 2 + d 2 y a 2 = h 2 + ( c - d ) 2 de acuerdo con la figura de la derecha. Restar estos da como resultado a 2 - b 2 = c 2 - 2 cd . Esta ecuación nos permite expresar d en términos de los lados del triángulo:

Para la altura del triángulo tenemos que h 2 = b 2 - d 2 . Reemplazando d con la fórmula dada arriba y aplicando la identidad de diferencia de cuadrados obtenemos

Ahora aplicamos este resultado a la fórmula que calcula el área de un triángulo a partir de su altura:

Prueba trigonométrica usando la ley de los cotangentes

Significado geométrico de s - a , s - b y s - c . Vea la ley de los cotangentes para el razonamiento detrás de esto.

De la primera parte de la prueba de la ley de los cotangentes , tenemos que el área del triángulo es a la vez

y A = rs , pero, dado que la suma de los medios ángulos es π / 2, se aplica la identidad cotangente triple , por lo que el primero de ellos es

Combinando los dos, obtenemos

de donde se sigue el resultado.

Estabilidad numérica

La fórmula de Heron como se indica arriba es numéricamente inestable para triángulos con un ángulo muy pequeño cuando se usa aritmética de punto flotante. Una alternativa estable implica disponer las longitudes de los lados de modo que abcy calcular

Los corchetes en la fórmula anterior son necesarios para evitar inestabilidad numérica en la evaluación.

Otras fórmulas de área que se asemejan a la fórmula de Heron

Otras tres fórmulas de área tienen la misma estructura que la fórmula de Heron pero se expresan en términos de diferentes variables. En primer lugar, que denota las medianas de los lados un , b , y c , respectivamente, como m un , m b , y m c y su semi-suma1/2( m a + m b + m c ) como σ , tenemos

Siguiente, denotando las altitudes de los lados un , b , y c , respectivamente, como h una , h b y h c , y denota la semi-suma de los recíprocos de las altitudes como H =1/2( h−1
a
+ h−1
b
+ h−1
c
)
tenemos

Finalmente, denotando la semi-suma de los senos de los ángulos como S =1/2(sin α + sin β + sin γ ) , tenemos

donde D es el diámetro del círculo circunferencial: D =a/pecado α = B/pecado β = C/pecado γ.

Generalizaciones

La fórmula de Heron es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico . La fórmula de Heron y la fórmula de Brahmagupta son casos especiales de la fórmula de Bretschneider para el área de un cuadrilátero . La fórmula de Heron se puede obtener de la fórmula de Brahmagupta o de la fórmula de Bretschneider estableciendo uno de los lados del cuadrilátero en cero.

La fórmula de Heron también es un caso especial de la fórmula para el área de un trapecio o trapecio basado solo en sus lados. La fórmula de Heron se obtiene poniendo a cero el lado paralelo más pequeño.

Expresando la fórmula de Heron con un determinante de Cayley-Menger en términos de los cuadrados de las distancias entre los tres vértices dados,

ilustra su similitud con la fórmula de Tartaglia para el volumen de un tres simplex .

David P. Robbins descubrió otra generalización de la fórmula de Heron a pentágonos y hexágonos inscritos en un círculo .

Fórmula tipo garza para el volumen de un tetraedro

Si U , V , W , u , v , w son longitudes de los bordes del tetraedro (los primeros tres forman un triángulo; u opuesto a U y así sucesivamente), entonces

dónde

Ver también

Referencias

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enlaces externos