Geometría sistólica - Systolic geometry

En matemáticas , la geometría sistólica es el estudio de las invariantes sistólicas de variedades y poliedros , tal como las concibió inicialmente Charles Loewner y desarrolló Mikhail Gromov , Michael Freedman , Peter Sarnak , Mikhail Katz , Larry Guth y otros, en su aritmética, ergódica y Manifestaciones topológicas. Consulte también una Introducción más lenta a la geometría sistólica .

La noción de sístole

La sístole de un espacio métrico compacto X es un invariante métrico de X , definido como la longitud mínima de un bucle no contraíble en X (es decir, un bucle que no puede contraerse a un punto en el espacio ambiental X ). En un lenguaje más técnico, se minimiza la longitud sobre bucles libres que representan no triviales clases de conjugación en el grupo fundamental de X . Cuando X es un gráfico , la invariante se suele denominar circunferencia , desde el artículo de 1947 sobre circunferencia de WT Tutte . Posiblemente inspirado por el artículo de Tutte, Loewner comenzó a pensar en cuestiones sistólicas sobre superficies a fines de la década de 1940, lo que resultó en una tesis de 1950 de su alumno Pao Ming Pu . El término "sístole" en sí no fue acuñado hasta un cuarto de siglo después, por Marcel Berger .

Aparentemente, esta línea de investigación fue impulsada aún más por una observación de René Thom , en una conversación con Berger en la biblioteca de la Universidad de Estrasburgo durante el año académico 1961-62, poco después de la publicación de los trabajos de R. Accola y C Blatter. Refiriéndose a estas desigualdades sistólicas, Thom supuestamente exclamó: ¡ Mais c'est fondamental! [¡Estos resultados son de fundamental importancia!]

Posteriormente, Berger popularizó el tema en una serie de artículos y libros, más recientemente en la edición de marzo de 2008 de Notices of the American Mathematical Society (ver la referencia a continuación). Una bibliografía en el sitio web sobre geometría y topología sistólica contiene actualmente más de 160 artículos. La geometría sistólica es un campo en rápido desarrollo, que presenta una serie de publicaciones recientes en revistas líderes. Recientemente (véase el artículo de 2006 de Katz y Rudyak a continuación), ha surgido el vínculo con la categoría Lusternik-Schnirelmann . La existencia de tal vínculo se puede considerar como un teorema en topología sistólica .

Propiedad de un poliedro simétrico centralmente en 3 espacios

Todo poliedro convexo centralmente simétrico P en R ³ admite un par de puntos opuestos (antípodas) y una trayectoria de longitud L que los une y se encuentra en el límite ∂ P de P , satisfaciendo

${\ Displaystyle L ^ {2} \ leq {\ frac {\ pi} {4}} \ mathrm {área} (\ P parcial).}$

Una formulación alternativa es la siguiente. Cualquier cuerpo convexo centralmente simétrico de área de superficie A se puede apretar a través de una soga de longitud , con el ajuste más apretado logrado mediante una esfera. Esta propiedad es equivalente a un caso especial de desigualdad de Pu (ver más abajo), una de las primeras desigualdades sistólicas. ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ pi A}}}$

Conceptos

Para dar una idea preliminar del sabor del campo, se podrían hacer las siguientes observaciones. La idea principal de la observación de Thom a Berger citada anteriormente parece ser la siguiente. Siempre que uno encuentra una desigualdad que relaciona invariantes geométricos, tal fenómeno en sí mismo es interesante; tanto más cuando la desigualdad es aguda (es decir, óptima). La desigualdad isoperimétrica clásica es un buen ejemplo.

En cuestiones sistólicas sobre superficies, las identidades geométricas integrales juegan un papel particularmente importante. A grandes rasgos, hay un área de relación de identidad integral por un lado, y un promedio de energías de una familia adecuada de bucles por el otro. Según la desigualdad de Cauchy-Schwarz , la energía es un límite superior para la longitud al cuadrado; de ahí que se obtenga una desigualdad entre el área y el cuadrado de la sístole. Este enfoque funciona tanto para la desigualdad de Loewner

${\ Displaystyle \ mathrm {sys} ^ {2} \ leq {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ cdot \ mathrm {área}}$

para el toro , donde el caso de igualdad se logra mediante el toro plano cuyas transformaciones de cubierta forman la celosía de los enteros de Eisenstein ,

y para la desigualdad de Pu para el plano proyectivo real P ² ( R ):

${\ Displaystyle \ mathrm {sys} ^ {2} \ leq {\ frac {\ pi} {2}} \ cdot \ mathrm {área}}$,

con igualdad que caracteriza una métrica de curvatura gaussiana constante .

Una aplicación de la fórmula computacional para la varianza de hecho produce la siguiente versión de la desigualdad del toro de Loewner con defecto isosistólico:

${\ Displaystyle \ mathrm {área} - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ mathrm {sys} ^ {2} \ geq \ mathrm {var} (f),}$

donde f es el factor conforme de la métrica con respecto a una métrica plana de área unitaria en su clase conforme. Esta desigualdad puede considerarse análoga a la desigualdad de Bonnesen con defecto isoperimétrico, un fortalecimiento de la desigualdad isoperimétrica.

Recientemente se han descubierto una serie de nuevas desigualdades de este tipo, incluidos los límites inferiores del volumen universal. Aparecen más detalles en las sístoles de superficies .

Desigualdad sistólica de Gromov

El resultado más profundo en el campo es la desigualdad de Gromov para la homotopía 1-sístole de una n- múltiple esencial M :

${\ Displaystyle \ operatorname {sys \ pi} _ {1} {} ^ {n} \ leq C_ {n} \ operatorname {vol} (M),}$

donde C _n es una constante universal sólo en función de la dimensión de M . Aquí la sístole homotopy sysπ ₁ es por definición la menos longitud de un bucle no contratables en M . Una variedad se llama esencial si su clase fundamental [M] representa una clase no trivial en la homología de su grupo fundamental . La demostración involucra un nuevo invariante llamado radio de llenado , introducido por Gromov, definido como sigue.

Denote por A el anillo de coeficientes Z o Z ₂ , dependiendo de si M es orientable o no . Entonces, la clase fundamental , denotada [M] , de una variedad compacta n- dimensional M es un generador de . Dada una incrustación de M en el espacio euclidiano E , establecemos ${\ Displaystyle H_ {n} (M; A) = A}$

${\ Displaystyle \ mathrm {FillRad} (M \ subconjunto E) = \ inf \ left \ {\ epsilon> 0 \ left | \; \ iota _ {\ epsilon} ([M]) = 0 \ in H_ {n} (U _ {\ epsilon} M) \ derecha. \ Derecha \},}$

donde É _ε es el homomorfismo inclusión inducida por la inclusión de M en su ε-barrio U _ε M en E .

Para definir un radio de llenado absoluto en una situación en la que M está equipado con una métrica riemanniana g , Gromov procede de la siguiente manera. Se explota una incrustación debida a C. Kuratowski. Se incrusta M en el espacio de Banach L ^∞ ( M ) de funciones Borel limitadas en M , equipado con la norma sup . Es decir, asignamos un punto x ∈ M a la función f _x ∈ L ^∞ ( M ) definida por la fórmula f _x (y) = d (x, y) para todo y ∈ M , donde d es la función de distancia definida por la métrica. Por la desigualdad triangular tenemos y por lo tanto la incrustación es fuertemente isométrica, en el sentido preciso de que la distancia interna y la distancia ambiental coinciden. Una incrustación tan fuertemente isométrica es imposible si el espacio ambiental es un espacio de Hilbert, incluso cuando M es el círculo de Riemann (¡la distancia entre puntos opuestos debe ser π , no 2!). Luego establecemos E = L ^∞ ( M ) en la fórmula anterior, y definimos ${\ Displaystyle \ | \; \ |}$${\ Displaystyle d (x, y) = \ | f_ {x} -f_ {y} \ |,}$

${\ Displaystyle \ mathrm {FillRad} (M) = \ mathrm {FillRad} \ left (M \ subset L ^ {\ infty} (M) \ right).}$

Es decir, Gromov demostró una fuerte desigualdad entre la sístole y el radio de llenado,

${\ Displaystyle \ mathrm {sys \ pi} _ {1} \ leq 6 \; \ mathrm {FillRad} (M),}$

válido para todos los colectores esenciales M ; así como una desigualdad

${\ Displaystyle \ mathrm {FillRad} \ leq C_ {n} \ mathrm {vol} _ {n} {} ^ {1 / n} (M),}$

válido para todos los colectores cerrados M .

Un resumen de una demostración, basada en resultados recientes en la teoría de la medida geométrica de S. Wenger, basándose en trabajos anteriores de L. Ambrosio y B. Kirchheim, aparece en la Sección 12.2 del libro "Geometría y topología sistólica" al que se hace referencia a continuación. Larry Guth propuso recientemente un enfoque completamente diferente a la prueba de la desigualdad de Gromov .

La desigualdad estable de Gromov

Debe tenerse en cuenta una diferencia significativa entre los invariantes 1-sistólicos (definidos en términos de longitudes de bucles) y los más altos, k -invariantes sistólicos (definidos en términos de áreas de ciclos, etc.). Si bien ya se han obtenido una serie de desigualdades sistólicas óptimas, que involucran a las 1-sístoles, casi la única desigualdad óptima que involucra puramente a las k -sístoles más altas es la desigualdad 2-sistólica estable óptima de Gromov

${\ Displaystyle \ mathrm {stsys} _ {2} {} ^ {n} \ leq n! \; \ mathrm {vol} _ {2n} (\ mathbb {CP} ^ {n})}$

para el espacio proyectivo complejo , donde el límite óptimo se alcanza mediante la métrica simétrica de Fubini-Study , que apunta al vínculo con la mecánica cuántica . Aquí la 2-sístole estable de una variedad Riemanniana M se define estableciendo

${\ Displaystyle \ mathrm {stsys} _ {2} = \ lambda _ {1} \ left (H_ {2} (M, \ mathbb {Z}) _ {\ mathbb {R}}, \ | \; \ | \Derecha),}$

donde es la norma estable, mientras que λ ₁ es la norma mínima de un elemento distinto de cero de la red. Cuán excepcional es la desigualdad estable de Gromov, solo se hizo evidente recientemente. Es decir, se descubrió que, contrariamente a lo esperado, la métrica simétrica en el plano proyectivo cuaterniónico no es su métrica sistólicamente óptima, en contraste con la 2-sístole en el caso complejo. Mientras que el plano proyectivo cuaterniónico con su métrica simétrica tiene una relación sistólica estable de dimensión media de 10/3, la relación análoga para la métrica simétrica del 4-espacio proyectivo complejo da el valor 6, mientras que el mejor límite superior disponible para tal La razón de una métrica arbitraria en ambos espacios es 14. Este límite superior está relacionado con las propiedades del álgebra de Lie E7 . Si existe una variedad de 8 con una holonomía excepcional de Spin (7) y un 4º número de Betti 1, entonces el valor 14 es de hecho óptimo. Los colectores con holonomía Spin (7) han sido estudiados intensamente por Dominic Joyce . ${\ Displaystyle \ | \; \ |}$

Límites inferiores para 2 sístoles

De manera similar, casi el único límite inferior no trivial para una k -sístole con k = 2, es el resultado de un trabajo reciente en la teoría de gauge y las curvas J-holomórficas . El estudio de los límites inferiores para la 2-sístole conforme de 4-variedades ha llevado a una prueba simplificada de la densidad de la imagen del mapa del período, por Jake Solomon .

Problema de Schottky

Quizás una de las aplicaciones más llamativas de la sístoles se encuentra en el contexto del problema de Schottky , por P. Buser y P. Sarnak , quienes distinguieron las superficies jacobianas de Riemann entre las variedades abelianas principalmente polarizadas, sentando las bases para la aritmética sistólica.

Categoría Lusternik – Schnirelmann

Hacer preguntas sistólicas a menudo estimula preguntas en campos relacionados. Por lo tanto, se ha definido e investigado una noción de categoría sistólica de una variedad, que muestra una conexión con la categoría de Lusternik-Schnirelmann (categoría LS). Tenga en cuenta que la categoría sistólica (así como la categoría LS) es, por definición, un número entero. Se ha demostrado que las dos categorías coinciden tanto para superficies como para 3 colectores. Además, para 4 colectores orientables, la categoría sistólica es un límite inferior para la categoría LS. Una vez que se establece la conexión, la influencia es mutua: los resultados conocidos sobre la categoría LS estimulan las preguntas sistólicas y viceversa.

Katz y Rudyak introdujeron el nuevo invariante (ver más abajo). Dado que el invariante resulta estar estrechamente relacionado con la categoría de Lusternik-Schnirelman (categoría LS), se denominó categoría sistólica .

Categoría sistólica de un colector M se define en términos de los diversos k -systoles de M . A grandes rasgos, la idea es la siguiente. Dada una variedad M , se busca el producto más largo de sístoles que dan un límite inferior "libre de curvatura" para el volumen total de M (con una constante independiente de la métrica). También es natural incluir invariantes sistólicos de las cubiertas de M en la definición. El número de factores en un "producto más larga" de este tipo es, por definición, la categoría sistólica de M .

Por ejemplo, Gromov mostró que una n- múltiple esencial admite un límite inferior de volumen en términos de la n- ésima potencia de la homotopía 1-sístole (ver sección anterior). De ello se deduce que la categoría sistólica de una variedad n esencial es precisamente n . De hecho, para los n- múltiples cerrados , el valor máximo tanto de la categoría LS como de la categoría sistólica se alcanza simultáneamente.

Otro indicio de la existencia de una relación intrigante entre las dos categorías es la relación con el invariante llamado longitud de copa. Por lo tanto, la longitud de copa real resulta ser un límite inferior para ambas categorías.

La categoría sistólica coincide con la categoría LS en varios casos, incluido el caso de variedades de dimensiones 2 y 3. En la dimensión 4, se demostró recientemente que la categoría sistólica es un límite inferior para la categoría LS.

Geometría hiperbólica sistólica

El estudio del comportamiento asintótico para el gran género g de la sístole de superficies hiperbólicas revela algunas constantes interesantes. Por lo tanto, las superficies de Hurwitz Σ _g definidas por una torre de subgrupos de congruencia principal del grupo de triángulo hiperbólico (2,3,7) satisfacen el límite

${\ Displaystyle \ mathrm {sys} \ pi _ {1} (\ Sigma _ {g}) \ geq {\ frac {4} {3}} \ log g,}$

y un límite similar es válido para grupos fucsianos aritméticos más generales . Este resultado de 2007 de Katz, Schaps y Vishne generaliza los resultados de Peter Sarnak y Peter Buser en el caso de grupos aritméticos definidos sobre Q , de su artículo seminal de 1994 (ver más abajo).

Una bibliografía sobre sístoles en geometría hiperbólica cuenta actualmente con cuarenta artículos. Los ejemplos interesantes son proporcionados por la superficie de Bolza , el cuartico de Klein , la superficie de Macbeath , el primer triplete de Hurwitz .

Relación con los mapas de Abel-Jacobi

Se obtiene una familia de desigualdades sistólicas óptimas como una aplicación de las técnicas de Burago e Ivanov, explotando mapas de Abel-Jacobi adecuados , definidos a continuación.

Sea M una variedad , π = π ₁ ( M ), su grupo fundamental yf : π → π ^ab su mapa de abelianización . Sea tor el subgrupo de torsión de π ^ab . Sea g : π ^ab → π ^ab / tor el cociente por torsión. Claramente, π ^ab / tor = Z ^b , donde b = b ₁ ( M ). Sea φ: π → Z ^b el homomorfismo compuesto.

Definición: La cobertura de la variedad M correspondiente al subgrupo Ker (φ) ⊂ π se denomina cobertura abeliana libre universal (o máxima).${\ displaystyle {\ bar {M}}}$

Ahora suponga que M tiene una métrica de Riemann . Sea E el espacio de las formas armónicas 1 en M , con el doble E * identificado canónicamente con H ₁ ( M , R ). Al integrar una forma armónica integral 1 a lo largo de trayectorias desde un punto base x ₀ ∈ M , obtenemos un mapa del círculo R / Z = S ¹ .

De manera similar, para definir un mapa M → H ₁ ( M , R ) / H ₁ ( M , Z ) _R sin elegir una base para la cohomología, argumentamos lo siguiente. Deje x ser un punto de la cobertura universal de M . Por tanto, x está representado por un punto de M junto con una trayectoria c desde x ₀ hasta él. Mediante la integración a lo largo del camino c , obtenemos una forma lineal, sobre E . Obtenemos así un mapa que, además, desciende a un mapa ${\ Displaystyle {\ tilde {M}}}$${\ Displaystyle h \ to \ int _ {c} h}$${\ Displaystyle {\ tilde {M}} \ to E ^ {*} = H_ {1} (M, \ mathbf {R})}$

${\ Displaystyle {\ overline {A}} _ {M}: {\ overline {M}} \ to E ^ {*}, \; \; c \ mapsto \ left (h \ mapsto \ int _ {c} h \Derecha),}$

¿Dónde está la cubierta abeliana gratuita universal? ${\ Displaystyle {\ overline {M}}}$

Definición: La variedad Jacobi (Jacobi torus) de M es el toro J ₁ ( M ) = H ₁ ( M , R ) / H ₁ ( M , Z ) _R

Definición: El mapa de Abel – Jacobi se obtiene del mapa de arriba pasando a cocientes. El mapa de Abel-Jacobi es único hasta las traducciones del toro de Jacobi.${\ Displaystyle A_ {M}: M \ a J_ {1} (M),}$

Como ejemplo, se puede citar la siguiente desigualdad, debida a D. Burago, S. Ivanov y M. Gromov .

Sea M una variedad riemanniana n- dimensional con el primer número Betti n , tal que el mapa de M a su toro de Jacobi tiene un grado distinto de cero . Entonces M satisface la desigualdad sistólica estable óptima

${\ Displaystyle \ mathrm {stsys} _ {1} {} ^ {n} \ leq \ gamma _ {n} \ mathrm {vol} _ {n} (M),}$

donde es la constante de Hermite clásica . ${\ Displaystyle \ gamma _ {n}}$

Campos relacionados, entropía de volumen

Se ha demostrado que los fenómenos asintóticos de la sístole de superficies de géneros grandes están relacionados con fenómenos ergódicos interesantes y con las propiedades de los subgrupos de congruencia de los grupos aritméticos .

La desigualdad de Gromov de 1983 para la sístole de homotopía implica, en particular, un límite inferior uniforme para el área de una superficie asférica en términos de su sístole. Tal límite generaliza las desigualdades de Loewner y Pu, aunque de una manera no óptima.

El artículo seminal de Gromov de 1983 también contiene límites asintóticos que relacionan la sístole y el área, que mejoran el límite uniforme (válido en todas las dimensiones).

Recientemente se descubrió (ver artículo de Katz y Sabourau a continuación) que la entropía de volumen h , junto con la desigualdad óptima de A. Katok para h , es el intermediario "correcto" en una prueba transparente de la cota asintótica de M. Gromov para la relación sistólica de superficies de géneros grandes.

El resultado clásico de A. Katok establece que toda métrica en una superficie cerrada M con característica de Euler negativa satisface una desigualdad óptima que relaciona la entropía y el área.

Resulta que la entropía mínima de una superficie cerrada puede estar relacionada con su proporción sistólica óptima. Es decir, hay un límite superior para la entropía de una superficie sistólicamente extrema, en términos de su sístole. Al combinar este límite superior con el límite inferior óptimo de Katok en términos de volumen, se obtiene una prueba alternativa más simple de la estimación asintótica de Gromov para la proporción sistólica óptima de superficies de géneros grandes. Además, tal enfoque produce una constante multiplicativa mejorada en el teorema de Gromov.

Como aplicación, este método implica que cada métrica en una superficie de género al menos 20 satisface la desigualdad del toro de Loewner. Esto mejora la mejor estimación anterior de 50 que siguió a una estimación de Gromov.

Conjetura del área de llenado

La conjetura del área de llenado de Gromov ha sido probada en un entorno hiperelíptico (ver la referencia de Bangert et al. A continuación).

La conjetura del área de relleno afirma que entre todos los rellenos posibles del círculo de Riemann de longitud 2π por una superficie con la propiedad fuertemente isométrica, el hemisferio redondo tiene el área mínima. Aquí el círculo de Riemann se refiere a la única variedad de Riemannian unidimensional cerrada de un volumen total 2π y un diámetro de Riemannian π.

Para explicar la conjetura, comenzamos con la observación de que el círculo ecuatorial de la unidad 2-esfera, S ² ⊂ R ³ , es un círculo de Riemann S ¹ de longitud 2π y diámetro π.

Más precisamente, la función de distancia Riemanniana de S ¹ es la restricción de la distancia Riemanniana ambiental en la esfera. Esta propiedad no se satisface con la incrustación estándar del círculo unitario en el plano euclidiano, donde un par de puntos opuestos están a una distancia 2, no π.

Consideramos todos los rellenos de S ¹ por una superficie, de modo que la métrica restringida definida por la inclusión del círculo como límite de la superficie es la métrica de Riemann de un círculo de longitud 2π. La inclusión del círculo como límite se denomina entonces incrustación fuertemente isométrica del círculo.

En 1983, Gromov conjeturó que el hemisferio redondo ofrece la "mejor" forma de llenar el círculo entre todas las superficies de relleno.

El caso de empastes simplemente conectados es equivalente a la desigualdad de Pu . Recientemente, el caso de los empastes del género -1 también se resolvió afirmativamente (ver la referencia de Bangert et al. A continuación). Es decir, resulta que se puede explotar una fórmula de J. Hersch de hace medio siglo a partir de la geometría integral. Es decir, considere la familia de bucles en forma de 8 en una pelota de fútbol, ​​con el punto de auto-intersección en el ecuador (vea la figura al comienzo del artículo). La fórmula de Hersch expresa el área de una métrica en la clase conforme del fútbol, ​​como un promedio de las energías de los bucles en forma de 8 de la familia. Una aplicación de la fórmula de Hersch al cociente hiperelíptico de la superficie de Riemann demuestra la conjetura del área de llenado en este caso.

Se han identificado otras ramificaciones sistólicas de hiperelipticidad en el género 2.

Encuestas

Las encuestas en el campo incluyen la encuesta de M. Berger (1993), la encuesta de Gromov (1996), el libro de Gromov (1999), el libro panorámico de Berger (2003), así como el libro de Katz (2007). Estas referencias pueden ayudar a un principiante a ingresar al campo. También contienen problemas abiertos en los que trabajar.

Ver también

• Sístoles de superficies
• Desigualdad del toroide de Loewner
• La desigualdad de Pu
• Conjetura del área de llenado
• La desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo
• Desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales
• Primer triplete de Hurwitz
• Lista de temas de geometría diferencial
• Libertad sistólica
• Circunferencia (análisis funcional)

Notas

Referencias

• Bangert, V .; Croke, C .; Ivanov, S .; Katz, M .: Conjetura del área de llenado y superficies hiperelípticas reales sin óvalo. Análisis geométrico y funcional (GAFA) 15 (2005), no. 3, 577–597.
• Berger, M .: Systoles et applications selon Gromov. (Francés. Resumen francés) [Sístoles y sus aplicaciones según Gromov] Séminaire Bourbaki, vol. 1992/93. Astérisque No. 216 (1993), Exp. Núm. 771, 5, 279-310.
• Berger, M .: Una vista panorámica de la geometría de Riemann. Springer-Verlag, Berlín, 2003.
• Berger, M .: ¿Qué es ... una sístole? Avisos de la AMS 55 (2008), no. 3, 374–376.
• Buser, P .; Sarnak, P .: En la matriz de período de una superficie de Riemann de un género grande. Con un apéndice de JH Conway y NJA Sloane. Inventar. Matemáticas. 117 (1994), núm. 1, 27—56.
• Gromov, M .: Llenado de colectores de Riemann, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1-147.
• Gromov, M. Sístoles y desigualdades interesistólicas. (Resumen en inglés, francés) Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992), 291—362, Sémin. Congr., 1, Soc. Matemáticas. Francia, París, 1996.
• Gromov, M. Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos . Basado en el original francés de 1981. Con apéndices de Mikhail Katz , Pierre Pansu y Stephen Semmes . Traducido del francés por Sean Michael Bates. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, Massachusetts, 1999.
• Katz, M .: El radio de llenado de espacios homogéneos de dos puntos. Journal of Differential Geometry 18, Número 3 (1983), 505-511.
• Katz, M. Geometría y topología sistólica. Con un apéndice de J. Solomon. Encuestas y monografías de matemáticas, volumen 137. American Mathematical Society , 2007.
• Katz, M .; Rudyak, Y .: categoría sistólica y categoría de Lusternik-Schnirelman de variedades de baja dimensión. Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas 59 ('06), 1433–1456.
• Katz, M .; Sabourau, S .: Entropía de superficies sistólicamente extremas y límites asintóticos. Es decir. Th. Dynam. Sys. 25 (2005), 1209–1220.
• Katz, M .; Schaps, M .; Vishne, U .: Crecimiento logarítmico de la sístole de superficies aritméticas de Riemann a lo largo de subgrupos de congruencia. J. Geom diferencial. 76 (2007), núm. 3, 399–422. Disponible en arXiv : math / 0505007
• Pu, PM: Algunas desigualdades en ciertas variedades de Riemann no orientables. Pacific J. Math. 2 (1952), 55-71.

enlaces externos

• Página web de AMS para el libro de Mikhail Katz.
• Sitio web de topología y geometría sistólica