Constante de Hermite - Hermite constant

En matemáticas , la constante de Hermite , llamada así por Charles Hermite , determina qué tan corto puede ser un elemento de una celosía en el espacio euclidiano .

La constante γ _n para números enteros n > 0 se define como sigue. Para un enrejado L en espacio euclídeo R ⁿ covolumen unidad, es decir, vol ( R ⁿ / L ) = 1, y mucho λ ₁ ( L ) denota el menos longitud de un elemento no nulo de L . Entonces √ gamma _n es el máximo de λ ₁ ( L ) sobre toda celosías tales L .

La raíz cuadrada en la definición de la constante de Hermite es una cuestión de convención histórica.

Alternativamente, la constante de Hermite γ _n se puede definir como el cuadrado de la sístole máxima de un toro plano n- dimensional de volumen unitario.

Ejemplo

La constante de Hermite se conoce en las dimensiones 1–8 y 24.

norte	1	2	3	4	5	6	7	8	24
${\ Displaystyle \ gamma _ {n} ^ {n}}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle {\ frac {4} {3}}}$	${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle 4}$	${\ Displaystyle 8}$	${\ Displaystyle {\ frac {64} {3}}}$	${\ displaystyle 64}$	${\ Displaystyle 2 ^ {8}}$	${\ Displaystyle 4 ^ {24}}$

Para n = 2, uno tiene γ ₂ = 2 / √ 3 . Este valor se obtiene mediante la red hexagonal de los enteros de Eisenstein .

Estimados

Se sabe que

${\ Displaystyle \ gamma _ {n} \ leq \ left ({\ frac {4} {3}} \ right) ^ {\ frac {n-1} {2}}.}$

Una estimación más sólida debida a Hans Frederick Blichfeldt es

${\ Displaystyle \ gamma _ {n} \ leq \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) \ Gamma \ left (2 + {\ frac {n} {2}} \ right) ^ { \ frac {2} {n}},}$

donde está la función gamma . ${\ Displaystyle \ Gamma (x)}$

Ver también

• Desigualdad del toroide de Loewner

Referencias

• Cassels, JWS (1997). Introducción a la geometría de los números . Classics in Mathematics (Reimpresión de 1971 ed.). Springer-Verlag . ISBN   978-3-540-61788-4 .
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas cuadráticas . Cambridge Tracts in Mathematics. 106 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN   0-521-40475-4 . Zbl   0785.11021 .
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Apuntes de clase en matemáticas. 1467 (2ª ed.). Springer-Verlag . pag. 9. ISBN   3-540-54058-X . Zbl   0754.11020 .