Cardenal sucesor - Successor cardinal

En la teoría de conjuntos , se puede definir una operación sucesora en números cardinales de manera similar a la operación sucesora en números ordinales . El sucesor cardinal coincide con el sucesor ordinal para cardenales finitos, pero en el caso infinito divergen porque cada ordinal infinito y su sucesor tienen la misma cardinalidad ( se puede establecer una biyección entre los dos simplemente enviando el último elemento del sucesor a 0, 0 a 1, etc., y fijando ω y todos los elementos anteriores; al estilo del Hotel Infinity de Hilbert ). Usando la asignación cardinal de von Neumann y el axioma de elección (AC), esta operación sucesora es fácil de definir: para un número cardinal κ tenemos

${\ Displaystyle \ kappa ^ {+} = \ left | \ inf \ {\ lambda \ in \ mathrm {ON} \: \ \ kappa <\ left | \ lambda \ right | \} \ right |}$ ,

donde ON es la clase de ordinales. Es decir, el cardinal sucesor es la cardinalidad del ordinal mínimo en el que un conjunto de la cardinalidad dada se puede mapear uno a uno, pero que no se puede mapear uno a uno de nuevo en ese conjunto.

Que el conjunto anterior no está vacío se sigue del teorema de Hartogs , que dice que para cualquier cardenal bien ordenado , un cardenal más grande es construible. El mínimo existe realmente porque los ordinales están bien ordenados. Por lo tanto, es inmediato que no hay un número cardinal entre κ y κ ⁺ . Un cardenal sucesor es un cardenal que es κ ⁺ para algún cardenal κ . En el caso infinito, la operación sucesora salta muchos números ordinales; de hecho, todo cardinal infinito es un ordinal límite . Por lo tanto, la operación de sucesor en los cardinales gana mucho poder en el caso infinito (en relación con la operación de sucesión ordinal) y, en consecuencia, los números cardinales son una subclase muy "dispersa" de los ordinales. Definimos la secuencia de alephs (a través del axioma de reemplazo ) a través de esta operación, a través de todos los números ordinales de la siguiente manera:

${\ Displaystyle \ aleph _ {0} = \ omega}$

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha +1} = \ aleph _ {\ alpha} ^ {+}}$

y para λ un ordinal límite infinito,

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ lambda} = \ bigcup _ {\ beta <\ lambda} \ aleph _ {\ beta}}$

Si β es un sucesor ordinal , entonces es un sucesor cardinal. Los cardenales que no son cardenales sucesores se denominan cardenales límite ; y por la definición anterior, si λ es un límite ordinal, entonces es un límite cardinal. ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ beta}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$

La definición estándar anterior se limita al caso en el que el cardenal puede estar bien ordenado, es decir, es finito o un aleph. Sin el axioma de la elección, hay cardenales que no pueden ordenarse bien. Algunos matemáticos han definido el sucesor de tal cardinal como la cardinalidad del menos ordinal que no se puede mapear uno a uno en un conjunto de la cardinalidad dada. Es decir:

${\ Displaystyle \ kappa ^ {+} = | \ inf \ {\ lambda \ in \ mathrm {ON} \: \ | \ lambda | \ nleq \ kappa \} |}$

que es el número de Hartogs de κ .

Ver también

• Asignación cardinal

Referencias

• Paul Halmos , teoría de conjuntos ingenua . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag).
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Saltador. ISBN  3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN  0-444-86839-9 .