asignación cardinal de von Neumann - von Neumann cardinal assignment

La asignación cardinal de von Neumann es una asignación cardinal que usa números ordinales . Para un conjunto U bien ordenable , definimos su número cardinal como el número ordinal más pequeño equinumérico a U , utilizando la definición de von Neumann de un número ordinal. Más precisamente:

${\ Displaystyle | U | = \ mathrm {tarjeta} (U) = \ inf \ {\ alpha \ in \ mathrm {ON} \ | \ \ alpha = _ {c} U \},}$

donde ON es la clase de ordinales. Este ordinal también se llama ordinal inicial del cardenal.

Que tal ordinal existe y es único está garantizado por el hecho de que U se puede ordenar bien y que la clase de ordinales está bien ordenada, utilizando el axioma de reemplazo . Con el axioma completo de elección , cada juego se puede ordenar bien, por lo que cada juego tiene un cardinal; ordenamos los cardenales usando el orden heredado de los números ordinales. Se encuentra fácilmente que esto coincide con el pedido a través de ≤ _c . Este es un buen orden de los números cardinales.

Ordinal inicial de un cardenal

Cada ordinal tiene asociado un cardinal , su cardinalidad, que se obtiene simplemente olvidando el orden. Cualquier conjunto bien ordenado que tenga ese ordinal como tipo de orden tiene la misma cardinalidad. El ordinal más pequeño que tiene un cardinal dado como cardinalidad se denomina ordinal inicial de ese cardinal. Todo ordinal finito ( número natural ) es inicial, pero la mayoría de los ordinales infinitos no son iniciales. El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que todo conjunto puede estar bien ordenado, es decir, que todo cardinal tiene un ordinal inicial. En este caso, es tradicional identificar el número cardinal con su ordinal inicial, y decimos que el ordinal inicial es cardinal.

Se escribe el -ésimo ordinal inicial infinito . Su cardinalidad está escrita (el -ésimo número aleph ). Por ejemplo, la cardinalidad de es decir , que también es la cardinalidad de , y (todos son contables ordinales). Entonces nos identificamos con , excepto que la notación se usa para escribir cardinales y para escribir ordinales. Esto es importante porque la aritmética en cardinales es diferente de la aritmética en ordinales , por ejemplo  =  mientras que  >  . Además, ¿ es el ordinal incontable más pequeño (para ver que existe, considere el conjunto de clases de equivalencia de ordenamientos de pozo de los números naturales; cada ordenamiento de pozo define un ordinal contable, y es el tipo de orden de ese conjunto), es el ordinal más pequeño cuya cardinalidad es mayor que , y así sucesivamente, y es el límite de para los números naturales (cualquier límite de cardinales es un cardinal, por lo que este límite es de hecho el primer cardinal después de todo el ). ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ omega _ {0} = \ omega}$${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$${\ Displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$${\ Displaystyle \ epsilon _ {0}}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ omega _ {2}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ omega}}$${\ Displaystyle \ omega _ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ omega _ {n}}$

Los ordinales iniciales infinitos son ordinales límite. El uso de aritmética ordinal implica , y 1 ≤ α <ω _β implica α  · ω _β = ω _β , y 2 ≤ α <ω _β implica α ^{ω _β} = ω _β . Usando la jerarquía de Veblen , β ≠ 0 y α <ω _β implican y Γ _{ω β} = ω _β . De hecho, se puede ir mucho más allá de esto. Entonces, como ordinal, un ordinal inicial infinito es un tipo de límite extremadamente fuerte. ${\ Displaystyle \ alpha <\ omega _ {\ beta}}$${\ Displaystyle \ alpha + \ omega _ {\ beta} = \ omega _ {\ beta}}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ alpha} (\ omega _ {\ beta}) = \ omega _ {\ beta} \,}$

Ver también

• Número de Aleph

Referencias

• Notas de YN Moschovakis sobre la teoría de conjuntos (Springer 1994) p. 198