Dominio Prüfer - Prüfer domain

En matemáticas , un dominio de Prüfer es un tipo de anillo conmutativo que generaliza los dominios de Dedekind en un contexto no noetheriano . Estos anillos poseen las propiedades teóricas de módulo e ideales agradables de los dominios de Dedekind, pero generalmente solo para módulos generados finitamente . Los dominios de Prüfer llevan el nombre del matemático alemán Heinz Prüfer .

Ejemplos de

El anillo de funciones completas en el plano complejo abierto forma un dominio de Prüfer. El anillo de polinomios de valores enteros con coeficientes de números racionales es un dominio de Prüfer, aunque el anillo de polinomios de números enteros no lo es ( Narkiewicz 1995 , p. 56). Si bien cada anillo numérico es un dominio de Dedekind , su unión, el anillo de números enteros algebraicos , es un dominio de Prüfer. Así como un dominio Dedekind es localmente un anillo de valoración discreto , un dominio Prüfer es localmente un anillo de valoración , de modo que los dominios Prüfer actúan como análogos no noetherianos de los dominios Dedekind. De hecho, un dominio que es el límite directo de subanillos que son dominios de Prüfer es un dominio de Prüfer, ( Fuchs & Salce 2001 , pp. 93-94). ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle Z [X]}$

Muchos dominios de Prüfer también son dominios de Bézout , es decir, no solo son ideales generados finitamente proyectivos , son incluso libres (es decir, principales ). Por ejemplo, el anillo de funciones analíticas en cualquier superficie de Riemann no compacta es un dominio de Bézout ( Helmer 1940 ), y el anillo de números enteros algebraicos es Bézout.

Definiciones

Un dominio de Prüfer es un dominio integral semi-hereditario . De manera equivalente, un dominio de Prüfer puede definirse como un anillo conmutativo sin divisores cero en el que todo ideal generado finitamente distinto de cero es invertible. Se conocen muchas caracterizaciones diferentes de los dominios de Prüfer. Bourbaki enumera catorce de ellos, ( Gilmer 1972 ) tiene alrededor de cuarenta y ( Fontana, Huckaba & Papick 1997 , p. 2) abre con nueve.

Como muestra, las siguientes condiciones en un dominio integral R son equivalentes a que R sea ​​un dominio Prüfer, es decir, todo ideal de R generado finitamente es proyectivo :

Aritmética ideal

• Cada-cero no ideal generado finitamente I de R es invertible : es decir , donde y es el campo de las fracciones de R . De manera equivalente, todo ideal distinto de cero generado por dos elementos es invertible.${\ Displaystyle \ I \ cdot I ^ {- 1} = R}$${\ Displaystyle I ^ {- 1} = \ {r \ in q (R): rI \ subseteq R \}}$${\ Displaystyle \ q (R)}$
• Para cualquier ideal distinto de cero (generado finitamente) I , J , K de R , se cumple la siguiente propiedad de distributividad:

${\ Displaystyle I \ cap (J + K) = (I \ cap J) + (I \ cap K).}$

• Para cualquier ideal (generado finitamente) I , J , K de R , se cumple la siguiente propiedad de distributividad:

${\ Displaystyle I (J \ cap K) = IJ \ cap IK.}$

• Para cualquier ideal distinto de cero (generado finitamente) I , J de R , se cumple la siguiente propiedad:

${\ Displaystyle (I + J) (I \ cap J) = IJ.}$

• Para cualquier ideal generado finitamente I , J , K de R , si IJ = IK entonces J = K o I = 0.

Localizaciones

• Para cada ideal primo P de R , la localización R _P de R en P es un dominio de valoración .
• Para cada m ideal máximo en R , la localización R _m de R en m es un dominio de valoración.
• R está integralmente cerrado y cada superposición de R (es decir, un anillo contenido entre R y su campo de fracciones ) es la intersección de localizaciones de R

Llanura

• Todos los módulos R sin torsión son planos .
• Cada módulo R sin torsión es plano.
• Todo ideal de R es plano
• Cada overring de R es R -flat
• Cada submódulo de un módulo R plano es plano.
• Si M y N son módulos R libres de torsión, entonces su producto tensorial M  ⊗ _R  N es libre de torsión.
• Si I y J son dos ideales de R, entonces I  ⊗ _R  J está libre de torsión.
• El submódulo de torsión de cada módulo finitamente generado es un sumando directo ( Kaplansky 1960 ).

Cierre integral

• Cada overring de está integralmente cerrado${\ Displaystyle R}$
• ${\ Displaystyle R}$está integralmente cerrado y hay algún número entero positivo tal que para cada , en uno tiene .${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle (a, b) ^ {n} = (a ^ {n}, b ^ {n})}$
• ${\ Displaystyle R}$es integralmente cerrado y cada elemento del campo cociente de es una raíz de un polinomio en cuyos coeficientes se generan como un módulo – ( Gilmer & Hoffmann 1975 , p. 81).${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R [x]}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

Propiedades

• Un anillo conmutativo es un dominio de Dedekind si y solo si es un dominio de Prüfer y noetheriano .
• Aunque los dominios de Prüfer no necesitan ser noetherianos, deben ser coherentes , ya que los módulos proyectivos generados finitamente están finitamente relacionados .
• Aunque los ideales de los dominios de Dedekind pueden ser generados por dos elementos, para cada entero positivo n , existen dominios de Prüfer con ideales generados finitamente que no pueden ser generados por menos de n elementos ( Swan 1984 ). Sin embargo, los ideales máximos de dominios de Prüfer generados de forma finita se generan en dos ( Fontana, Huckaba y Papick 1997 , p. 31).
• Si R es un dominio de Prüfer y K es su campo de fracciones , entonces cualquier anillo S tal que R ⊆ S ⊆ K sea ​​un dominio de Prüfer.
• Si R es un dominio de Prüfer, K es su campo de fracciones y L es un campo de extensión algebraica de K , entonces el cierre integral de R en L es un dominio de Prüfer ( Fuchs & Salce 2001 , p. 93).
• Un módulo M generado de forma finita sobre un dominio Prüfer es proyectivo si y solo si está libre de torsión. De hecho, esta propiedad caracteriza a los dominios Prüfer.
• (Teorema de Gilmer-Hoffmann) Suponga que es un dominio integral, su campo de fracciones, y es el cierre integral de en . Entonces es un dominio de Prüfer si y solo si cada elemento de es una raíz de un polinomio en al menos uno de cuyos coeficientes es una unidad de ( Gilmer & Hoffmann 1975 , Teorema 2).${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle R [X]}$${\ Displaystyle R}$
• Un dominio conmutativo es un dominio de Dedekind si y solo si el submódulo de torsión es un sumando directo siempre que esté acotado ( M es acotado significa rM = 0 para algún r en R ), ( Chase 1960 ). De manera similar, un dominio conmutativo es un dominio de Prüfer si y solo si el submódulo de torsión es un sumando directo siempre que se genere de manera finita ( Kaplansky 1960 ).

Generalizaciones

Más en general un anillo de Prüfer es un anillo conmutativo en el que cada no cero finito ideales que consiste solamente de los no-cero divisores es invertible (es decir, proyectiva).

Se dice que un anillo conmutativo es aritmético si para cada ideal máximo m en R , la localización R _m de R en m es un anillo de cadena . Con esta definición, un dominio aritmético es un dominio Prüfer.

Los dominios semihereditarios derechos o izquierdos no conmutativos también podrían considerarse como generalizaciones de los dominios de Prüfer.

Ver también

• Dominio dividido

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1998) [1989], Álgebra conmutativa. Capítulos 1 a 7 , Elementos de las matemáticas (Berlín), Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64239-0
• Chase, Stephen U. (1960), "Direct products of modules", Transactions of the American Mathematical Society , 97 (3): 457–473, doi : 10.2307 / 1993382 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1993382 , MR  0120260
• Fontana, Marco; Huckaba, James A .; Papick, Ira J. (1997), dominios Prüfer , monografías y libros de texto en matemáticas puras y aplicadas, 203 , Nueva York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-9816-1, Señor  1413297
• Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Módulos sobre dominios no noetherianos , Encuestas y monografías matemáticas, 84 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0, Señor  1794715
• Gilmer, Robert (1972), Teoría del ideal multiplicativo , Nueva York: Marcel Dekker Inc., MR  0427289
• Gilmer, Robert; Hoffmann, Joseph F. (1975), "Una caracterización de los dominios de Prüfer en términos de polinomios" , Pacific J. Math. , 60 (1): 81–85, doi : 10.2140 / pjm.1975.60.81 , ISSN  0030-8730 , MR  0412175 .
• Helmer, Olaf (1940), "Propiedades de divisibilidad de funciones integrales" , Duke Mathematical Journal , 6 (2): 345–356, doi : 10.1215 / S0012-7094-40-00626-3 , ISSN  0012-7094 , MR  0001851
• Kaplansky, Irving (1960), "Una caracterización de los anillos de Prufer", J. Indian Math. Soc. , Serie nueva, 24 : 279–281, MR  0125137
• Lam, TY (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98428-3
• Narkiewicz, Władysław (1995), Mapeos de polinomios , Lecture Notes in Mathematics, 1600 , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-59435-2, Zbl  0829.11002
• Swan, Richard G. (1984), "ideales de n-generador en dominios de Prüfer" , Pacific Journal of Mathematics , 111 (2): 433–446, doi : 10.2140 / pjm.1984.111.433 , ISSN  0030-8730 , MR  0734865