p -análisis ádico - p-adic analysis
En matemáticas , el análisis p -ádico es una rama de la teoría de números que se ocupa del análisis matemático de las funciones de los números p -ádicos .
La teoría de las funciones numéricas de valores complejos sobre los números p -ádicos es parte de la teoría de los grupos localmente compactos . El significado habitual que se toma para el análisis p -ádico es la teoría de funciones con valores p -ádicos en espacios de interés.
Las aplicaciones del análisis p -ádico se han realizado principalmente en la teoría de números , donde tiene un papel importante en la geometría diofántica y la aproximación diofántica . Algunas aplicaciones han requerido el desarrollo de análisis funcional p -ádico y teoría espectral . En muchos sentidos, el análisis p -ádico es menos sutil que el análisis clásico , ya que la desigualdad ultramétrica significa, por ejemplo, que la convergencia de series infinitas de números p -ádicos es mucho más simple. Los espacios vectoriales topológicos sobre los campos p -ádicos muestran características distintivas; por ejemplo, los aspectos relacionados con la convexidad y el teorema de Hahn-Banach son diferentes.
Resultados importantes
Teorema de ostrowski
El teorema de Ostrowski, debido a Alexander Ostrowski (1916), establece que todo valor absoluto no trivial en los números racionales Q es equivalente al valor absoluto real habitual o un valor absoluto p -ádico .
Teorema de mahler
El teorema de Mahler , introducido por Kurt Mahler , expresa funciones p -ádicas continuas en términos de polinomios.
En cualquier campo de característica 0, se obtiene el siguiente resultado. Dejar
ser el operador de diferencia anticipada . Entonces, para las funciones polinomiales f , tenemos la serie de Newton :
dónde
es el k- ésimo polinomio del coeficiente binomial.
En el campo de los números reales, la suposición de que la función f es un polinomio puede debilitarse, pero no puede debilitarse hasta la mera continuidad .
Mahler demostró el siguiente resultado:
Teorema de Mahler : Si f es una función continua con valor p-ádico en los enteros p -ádicos, entonces se mantiene la misma identidad.
Lema de Hensel
El lema de Hensel, también conocido como el lema de elevación de Hensel, llamado así por Kurt Hensel , es un resultado en aritmética modular , que indica que si una ecuación polinomial tiene una raíz simple módulo un número primo p , entonces esta raíz corresponde a una raíz única de la misma ecuación módulo cualquier potencia superior de p , que se puede encontrar " elevando " iterativamente la solución módulo potencias sucesivas de p . De manera más general, se usa como un nombre genérico para los análogos de anillos conmutativos completos (incluidos los campos p -ádicos en particular) del método de Newton para resolver ecuaciones. Dado que el análisis p -ádico es de alguna manera más simple que el análisis real , existen criterios relativamente fáciles que garantizan una raíz de un polinomio.
Para establecer el resultado, sea un polinomio con coeficientes enteros (o p -enteros ádicos), y sean m , k enteros positivos tales que m ≤ k . Si r es un número entero tal que
- y
entonces existe un entero s tal que
- y
Además, este s es único módulo p k + m , y se puede calcular explícitamente como
- dónde
Aplicaciones
Mecánica cuántica p-ádica
La mecánica cuántica p-ádica es un enfoque relativamente reciente para comprender la naturaleza de la física fundamental. Es la aplicación del análisis p-ádico a la mecánica cuántica . Los números p-ádicos son un sistema aritmético intuitivo (pero geométricamente contrario a la intuición) que fue descubierto por el matemático alemán Kurt Hensel alrededor de 1899 y por el matemático alemán Ernst Kummer (1810-1893) anteriormente en forma elemental. Los adeles e ideles estrechamente relacionados fueron introducidos en la década de 1930 por Claude Chevalley y André Weil . Su estudio se ha transformado ahora en una rama importante de las matemáticas. Ocasionalmente se aplicaron a las ciencias físicas, pero no fue hasta una publicación del matemático ruso Volovich en 1987 que el tema se tomó en serio en el mundo de la física. Ahora hay cientos de artículos de investigación sobre el tema, junto con revistas internacionales.
Hay dos enfoques principales del tema. El primero considera las partículas en un pozo de potencial p-ádico, y el objetivo es encontrar soluciones con funciones de onda de valores complejos que varíen suavemente. Aquí las soluciones son tener cierta familiaridad con la vida cotidiana. El segundo considera partículas en pozos potenciales p-ádicos, y el objetivo es encontrar funciones de onda con valores p-ádicos. En este caso, la interpretación física es más difícil. Sin embargo, las matemáticas a menudo exhiben características sorprendentes, por lo que la gente continúa explorándolas. La situación fue resumida en 2005 por un científico de la siguiente manera: "Simplemente no puedo pensar en todo esto como una secuencia de accidentes divertidos y descartarlo como un 'modelo de juguete'. Creo que más trabajo en esto es necesario y vale la pena".
Principio local-global
El principio local-global de Helmut Hasse , también conocido como el principio de Hasse, es la idea de que uno puede encontrar una solución entera a una ecuación usando el teorema chino del resto para juntar soluciones módulo potencias de cada número primo diferente . Esto se maneja examinando la ecuación en las terminaciones de los números racionales : los números reales y los números p -ádicos . Una versión más formal del principio de Hasse establece que ciertos tipos de ecuaciones tienen una solución racional si y solo si tienen una solución en los números reales y en los números p -ádicos para cada primo p .
Ver también
Referencias
Otras lecturas
- Koblitz, Neal (1980). análisis p-ádico: un curso corto sobre trabajos recientes . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 46 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-28060-5. Zbl 0439.12011 .
- Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. 3 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006 .
- Chistov, Alexander; Karpinski, Marek (1997). "Complejidad de decidir la solubilidad de ecuaciones polinomiales sobre enteros p-ádicos" . Univ. De Bonn CS Reports 85183 . S2CID 120604553 .
- Karpinski, Marek ; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor (2000). "Prueba cero de polinomios p-ádicos y modulares" . Informática Teórica . 233 (1–2): 309–317. doi : 10.1016 / S0304-3975 (99) 00133-4 .( preimpresión )
- Un curso de análisis p-ádico, Alain Robert, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2
- Cálculo ultramétrico: Introducción al análisis P-Adic, WH Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2
- Ecuaciones diferenciales p-ádicas, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76879-5