Contenido de Minkowski - Minkowski content

El contenido de Minkowski (llamado así por Hermann Minkowski ), o la medida de límite , de un conjunto es un concepto básico que usa conceptos de geometría y teoría de medidas para generalizar las nociones de longitud de una curva suave en el plano y área de una superficie suave. en el espacio , a conjuntos mensurables arbitrarios .

Normalmente se aplica a los límites fractales de dominios en el espacio euclidiano , pero también se puede utilizar en el contexto de espacios de medida métrica general .

Está relacionado, aunque es diferente, a la medida de Hausdorff .

Definición

Para , y cada entero m con , el contenido de Minkowski superior m -dimensional es ${\ Displaystyle A \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle 0 \ leq m \ leq n}$

${\ Displaystyle M ^ {* m} (A) = \ limsup _ {r \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ mu (\ {x: d (x, A) <r \})} { \ alpha (nm) r ^ {nm}}}}$

y el contenido de Minkowski inferior m -dimensional se define como

${\ Displaystyle M _ {*} ^ {m} (A) = \ liminf _ {r \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ mu (\ {x: d (x, A) <r \}) } {\ alpha (nm) r ^ {nm}}}}$

donde es el volumen de la ( n - m ) -ball de radio r y es un -dimensional medida de Lebesgue . ${\ Displaystyle \ alpha (nm) r ^ {nm}}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle n}$

Si el contenido de Minkowski superior e inferior m- dimensional de A son iguales, entonces su valor común se llama contenido de Minkowski M ^m ( A ).

Propiedades

• El contenido de Minkowski (generalmente) no es una medida. En particular, el contenido de Minkowski m -dimensional en R ⁿ no es una medida a menos que m  = 0, en cuyo caso es la medida de conteo . De hecho, es evidente que el contenido de Minkowski asigna el mismo valor al conjunto A , así como a su cierre .
• Si A es un conjunto cerrado m - rectificable en R ⁿ , dado como la imagen de un conjunto acotado de R ^m bajo una función de Lipschitz , entonces el contenido m -dimensional de Minkowski de A existe, y es igual a la medida m -dimensional de Hausdorff de A .

Ver también

• Desigualdad isoperimétrica gaussiana
• Teoría de la medida geométrica
• Desigualdad isoperimétrica en dimensiones superiores
• Dimensión de Minkowski-Bouligand

Notas al pie

Referencias

• Federer, Herbert (1969), Teoría de medidas geométricas , Springer-Verlag, ISBN   3-540-60656-4 .
• Krantz, Steven G .; Parks, Harold R. (1999), La geometría de los dominios en el espacio , Textos avanzados de Birkhäuser: Basler Lehrbücher, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN   0-8176-4097-5 , MR   1730695 .