Medida de Hausdorff - Hausdorff measure

En matemáticas , la medida de Hausdorff es una generalización de las nociones tradicionales de área y volumen a dimensiones no enteras, específicamente fractales y sus dimensiones de Hausdorff . Es un tipo de medida exterior , llamado así por Felix Hausdorff , que asigna un número en [0, ∞] a cada conjunto en o, más generalmente, en cualquier espacio métrico . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

La medida de Hausdorff de dimensión cero es el número de puntos en el conjunto (si el conjunto es finito) o ∞ si el conjunto es infinito. Asimismo, la medida de Hausdorff unidimensional de una curva simple en es igual a la longitud de la curva, y la medida de Hausdorff bidimensional de un subconjunto medible de Lebesgue de es proporcional al área del conjunto. Así, el concepto de medida de Hausdorff generaliza la medida de Lebesgue y sus nociones de conteo, longitud y área. También generaliza el volumen. De hecho, existen medidas d- dimensionales de Hausdorff para cualquier d  ≥ 0, que no es necesariamente un número entero. Estas medidas son fundamentales en la teoría de medidas geométricas . Aparecen de forma natural en el análisis armónico o en la teoría del potencial . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Definición

Sea un espacio métrico . Para cualquier subconjunto , denotemos su diámetro, es decir ${\ Displaystyle (X, \ rho)}$${\ Displaystyle U \ subconjunto X}$${\ Displaystyle \ mathrm {diam} \; U}$

${\ Displaystyle \ operatorname {diam} U: = \ sup \ {\ rho (x, y): x, y \ in U \}, \ quad \ operatorname {diam} \ emptyset: = 0}$

Sea cualquier subconjunto de y un número real. Definir ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ delta> 0}$

${\ Displaystyle H _ {\ delta} ^ {d} (S) = \ inf \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} (\ operatorname {diam} U_ {i}) ^ {d} : \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} U_ {i} \ supseteq S, \ operatorname {diam} U_ {i} <\ delta \ right \},}$

donde el infimum está sobre todas las cubiertas contables de por conjuntos satisfactorios . ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle U_ {i} \ subconjunto X}$${\ Displaystyle \ operatorname {diam} U_ {i} <\ delta}$

Tenga en cuenta que es monótono y no aumenta, ya que cuanto más grande es, se permiten más colecciones de conjuntos, lo que hace que el mínimo no sea más grande. Por tanto, existe pero puede ser infinito. Dejar ${\ Displaystyle H _ {\ delta} ^ {d} (S)}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} H _ {\ delta} ^ {d} (S)}$

${\ Displaystyle H ^ {d} (S): = \ sup _ {\ delta> 0} H _ {\ delta} ^ {d} (S) = \ lim _ {\ delta \ to 0} H _ {\ delta} ^ {d} (S).}$

Se puede ver que es una medida exterior (más precisamente, es una medida exterior métrica ). Según el teorema de extensión de Carathéodory , su restricción al campo σ de conjuntos medibles de Carathéodory es una medida. Se llama el - dimensional medida de Hausdorff de . Debido a la propiedad de medida exterior métrica , todos los subconjuntos de Borel de son medibles. ${\ Displaystyle H ^ {d} (S)}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle H ^ {d}}$

En la definición anterior, los conjuntos en la cobertura son arbitrarios.

Sin embargo, podemos requerir que los conjuntos de cubiertas estén abiertos o cerrados, o en espacios normados incluso convexos, que darán los mismos números, por lo tanto, la misma medida. Al restringir los juegos de cobertura para que sean bolas se pueden cambiar las medidas pero no cambia la dimensión de los juegos medidos. ${\ Displaystyle H _ {\ delta} ^ {d} (S)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Propiedades de las medidas de Hausdorff

Tenga en cuenta que si d es un número entero positivo, la medida d de Hausdorff dimensional es un cambio de escala de la medida d- dimensional habitual de Lebesgue que se normaliza de modo que la medida de Lebesgue del cubo unitario [0,1] ^d es 1. De hecho, para cualquier conjunto de Borel E , ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {d}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {d} (E) = 2 ^ {- d} \ alpha _ {d} H ^ {d} (E),}$

donde α _d es el volumen de la unidad d -ball ; se puede expresar usando la función gamma de Euler

${\ Displaystyle \ alpha _ {d} = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {1} {2}}) ^ {d}} {\ Gamma ({\ frac {d} {2}} + 1) }} = {\ frac {\ pi ^ {d / 2}} {\ Gamma ({\ frac {d} {2}} + 1)}}.}$

Observación . Algunos autores adoptan una definición de medida de Hausdorff ligeramente diferente a la elegida aquí, con la diferencia de que está normalizada de tal manera que la medida d- dimensional de Hausdorff en el caso del espacio euclidiano coincide exactamente con la medida de Lebesgue.

Relación con la dimensión de Hausdorff

Resulta que puede tener un valor finito distinto de cero para como máximo uno . Es decir, la medida de Hausdorff es cero para cualquier valor por encima de cierta dimensión e infinito por debajo de cierta dimensión, análoga a la idea de que el área de una línea es cero y la longitud de una forma 2D es en cierto sentido infinita. Esto conduce a una de varias posibles definiciones equivalentes de la dimensión de Hausdorff: ${\ Displaystyle H ^ {d} (S)}$${\ Displaystyle d}$

${\ Displaystyle \ dim _ {\ mathrm {Haus}} (S) = \ inf \ {d \ geq 0: H ^ {d} (S) = 0 \} = \ sup \ left (\ {d \ geq 0 : H ^ {d} (S) = \ infty \} \ cup \ {0 \} \ right),}$

donde llevamos

${\ Displaystyle \ inf \ emptyset = \ infty.}$

Tenga en cuenta que no se garantiza que la medida de Hausdorff deba ser finita y distinta de cero para algún d y, de hecho, la medida en la dimensión de Hausdorff puede seguir siendo cero; en este caso, la dimensión de Hausdorff todavía actúa como un punto de inflexión entre medidas de cero e infinito.

Generalizaciones

En la teoría de medidas geométricas y campos relacionados, el contenido de Minkowski se usa a menudo para medir el tamaño de un subconjunto de un espacio de medidas métricas. Para dominios adecuados en el espacio euclidiano, las dos nociones de tamaño coinciden, hasta normalizaciones generales según convenciones. Más precisamente, un subconjunto de se dice que es -rectifiable si se trata de la imagen de un conjunto acotado en virtud de una función Lipschitz . Si , entonces el contenido de Minkowski -dimensional de un subconjunto rectificable cerrado de es igual a veces la medida de Hausdorff -dimensional ( Federer 1969 , Teorema 3.2.29). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle m <n}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle 2 ^ {- m} \ alpha _ {m}}$${\ Displaystyle m}$

En geometría fractal , algunos fractales con dimensión de Hausdorff tienen una medida de Hausdorff de dimensión cero o infinita . Por ejemplo, es casi seguro que la imagen del movimiento browniano plano tiene dimensión 2 de Hausdorff y su medida de Hausdorff bidimensional es cero. Para "medir" el "tamaño" de tales conjuntos, los matemáticos han considerado la siguiente variación en la noción de la medida de Hausdorff: ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle d}$

En la definición de la medida se reemplaza por donde cualquier función de conjunto creciente monótona satisface${\ Displaystyle (\ operatorname {diam} U_ {i}) ^ {d}}$${\ Displaystyle \ phi (U_ {i}),}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ phi (\ emptyset) = 0.}$

Esta es la medida de Hausdorff con función de calibre o medida -Hausdorff. Un conjunto dimensional puede satisfacer pero con un ejemplo apropiado de funciones de calibre incluyen ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ phi,}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle H ^ {d} (S) = 0,}$${\ Displaystyle H ^ {\ phi} (S) \ in (0, \ infty)}$${\ Displaystyle \ phi.}$

${\ Displaystyle \ phi (t) = t ^ {2} \ log \ log {\ frac {1} {t}} \ quad {\ text {o}} \ quad \ phi (t) = t ^ {2} \ log {\ frac {1} {t}} \ log \ log \ log {\ frac {1} {t}}.}$

El primero da casi con seguridad una medida positiva y finita al camino browniano en cuándo , y el segundo en cuándo . ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle n> 2}$${\ Displaystyle n = 2}$

Ver también

• Dimensión de Hausdorff
• Teoría de la medida geométrica
• Teoría de la medida
• Medida exterior

Referencias

• Evans, Lawrence C .; Gariepy, Ronald F. (1992), Teoría de la medida y propiedades finas de las funciones , CRC Press.
• Federer, Herbert (1969), Teoría de medidas geométricas , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
• Hausdorff, Felix (1918), "Dimension und äusseres Mass" (PDF) , Mathematische Annalen , 79 (1–2): 157–179, doi : 10.1007 / BF01457179.
• Morgan, Frank (1988), Teoría de la medida geométrica , Academic Press.
• Rogers, CA (1998), medidas de Hausdorff , Cambridge Mathematical Library (3a ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-62491-6
• Szpilrajn, E (1937), "La dimension et la mesure" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 28 : 81–89, doi : 10.4064 / fm-28-1-81-89.

enlaces externos

• Dimensión de Hausdorff en Encyclopedia of Mathematics
• Medida de Hausdorff en Encyclopedia of Mathematics