Ciclo límite - Limit cycle

Ciclo de límite estable (mostrado en negrita) y otras dos trayectorias en espiral hacia él

Ciclo de límite estable (mostrado en negrita) para el oscilador Van der Pol

En matemáticas , en el estudio de sistemas dinámicos con espacio de fase bidimensional , un ciclo límite es una trayectoria cerrada en el espacio de fase que tiene la propiedad de que al menos otra trayectoria entra en espiral a medida que el tiempo se acerca al infinito o cuando el tiempo se acerca al infinito negativo. Tal comportamiento se exhibe en algunos sistemas no lineales . Los ciclos límite se han utilizado para modelar el comportamiento de una gran cantidad de sistemas oscilatorios del mundo real. Henri Poincaré (1854-1912) inició el estudio de los ciclos límite .

Definición

Consideramos un sistema dinámico bidimensional de la forma

{\ Displaystyle x '(t) = V (x (t))}

dónde

{\ Displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}

es una función suave. Una trayectoria de este sistema es una función suave con valores en los que satisface esta ecuación diferencial. Tal trayectoria se llama cerrada (o periódica ) si no es constante pero regresa a su punto de partida, es decir, si existe alguna tal que para todos . Una órbita es la imagen de una trayectoria, un subconjunto de . Una órbita cerrada , o ciclo , es la imagen de una trayectoria cerrada. Un ciclo límite es un ciclo que es el conjunto límite de alguna otra trayectoria. ${\ Displaystyle x (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle t_ {0}> 0}$ ${\ Displaystyle x (t + t_ {0}) = x (t)}$ ${\ Displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Propiedades

Según el teorema de la curva de Jordan , cada trayectoria cerrada divide el plano en dos regiones, el interior y el exterior de la curva.

Dado un ciclo límite y una trayectoria en su interior que se acerca al ciclo límite para el tiempo que se aproxima , entonces hay una vecindad alrededor del ciclo límite de tal manera que todas las trayectorias en el interior que comienzan en la vecindad se acercan al ciclo límite para el tiempo que se acerca . La declaración correspondiente es válida para una trayectoria en el interior que se acerca al ciclo límite para el tiempo que se aproxima , y también para las trayectorias en el exterior que se acercan al ciclo límite. ${\ Displaystyle + \ infty}$ ${\ Displaystyle + \ infty}$ ${\ Displaystyle - \ infty}$

Ciclos límite estables, inestables y semiestables

En el caso de que todas las trayectorias vecinas se acerquen al ciclo límite a medida que el tiempo se acerca al infinito, se denomina ciclo límite estable o atractivo (ciclo límite ω). Si, en cambio, todas las trayectorias vecinas se acercan a él a medida que el tiempo se acerca al infinito negativo, entonces es un ciclo límite inestable (ciclo límite α). Si hay una trayectoria vecina que gira en espiral hacia el ciclo límite cuando el tiempo se acerca al infinito, y otra que gira en espiral hacia él cuando el tiempo se acerca al infinito negativo, entonces es un ciclo límite semi-estable . También hay ciclos límite que no son estables, inestables ni semi-estables: por ejemplo, una trayectoria vecina puede acercarse al ciclo límite desde el exterior, pero el interior del ciclo límite es abordado por una familia de otros ciclos (que no se acercarían). t ser ciclos límite).

Los ciclos límite estables son ejemplos de atractores . Implican oscilaciones autosostenidas : la trayectoria cerrada describe el comportamiento periódico perfecto del sistema, y cualquier pequeña perturbación de esta trayectoria cerrada hace que el sistema vuelva a ella, haciendo que el sistema se adhiera al ciclo límite.

Encontrar ciclos límite

Toda trayectoria cerrada contiene dentro de su interior un punto estacionario del sistema, es decir, un punto donde . El teorema de Bendixson-Dulac y el teorema de Poincaré-Bendixson predicen la ausencia o existencia, respectivamente, de ciclos límite de sistemas dinámicos no lineales bidimensionales. ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle V (p) = 0}$

Problemas abiertos

Encontrar ciclos límite, en general, es un problema muy difícil. El número de ciclos límite de una ecuación diferencial polinomial en el plano es el objeto principal de la segunda parte del decimosexto problema de Hilbert . Se desconoce, por ejemplo, si existe algún sistema en el plano donde ambos componentes de son polinomios cuadráticos de las dos variables, de modo que el sistema tenga más de 4 ciclos límite. ${\ Displaystyle x '= V (x)}$ ${\ Displaystyle V}$

Aplicaciones

Ejemplos de ciclos límite que se ramifican desde puntos fijos cerca de la bifurcación de Hopf . Trayectorias en rojo, estructuras estables en azul oscuro, estructuras inestables en azul claro. La elección del parámetro determina la ocurrencia y la estabilidad de los ciclos límite.

Los ciclos límite son importantes en muchas aplicaciones científicas donde se modelan sistemas con oscilaciones autosostenidas. Algunos ejemplos incluyen:

Oscilaciones aerodinámicas de ciclo límite
El modelo de Hodgkin-Huxley para potenciales de acción en neuronas .
El modelo de glucólisis de Sel'kov .
Las oscilaciones diarias en la expresión génica, los niveles hormonales y la temperatura corporal de los animales, que forman parte del ritmo circadiano .
La migración de células cancerosas en microambientes confinados sigue oscilaciones de ciclo límite.
Algunos circuitos eléctricos no lineales exhiben oscilaciones de ciclo límite, que inspiraron el modelo original de Van der Pol .
El control de la respiración y la hematopoyesis, como aparece en las ecuaciones de Mackey-Glass .

Ver también

Referencias

Otras lecturas

Steven H. Strogatz (2014). Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, biología, química e ingeniería . Avalon. ISBN 9780813349114.
M. Vidyasagar (2002). Análisis de sistemas no lineales (Segunda ed.). SIAM. ISBN 9780898715262.
Philip Hartman, "Ecuación diferencial ordinaria", Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 2002.
Witold Hurewicz, "Conferencias sobre ecuaciones diferenciales ordinarias", Dover, 2002.
Solomon Lefschetz, "Ecuaciones diferenciales: teoría geométrica", Dover, 2005.
Lawrence Perko, "Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos", Springer-Verlag, 2006.
Arthur Mattuck, Limit Cycles: Existencia y no existencia Criterios, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

enlaces externos

"ciclo límite" . planetmath.org . Consultado el 6 de julio de 2019 .

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