Modelo de Hodgkin-Huxley - Hodgkin–Huxley model

Componentes básicos de los modelos tipo Hodgkin-Huxley. Los modelos de tipo Hodgkin-Huxley representan la característica biofísica de las membranas celulares. La bicapa lipídica se representa como una capacitancia ( C m ). Los canales iónicos de fuga y dependientes de voltaje están representados por conductancias no lineales ( g n ) y lineales ( g L ), respectivamente. Los gradientes electroquímicos que impulsan el flujo de iones están representados por baterías (E), y las bombas e intercambiadores de iones están representados por fuentes de corriente ( I p ).

El modelo de Hodgkin-Huxley , o modelo basado en conductancia , es un modelo matemático que describe cómo se inician y propagan los potenciales de acción en las neuronas . Es un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales que se aproxima a las características eléctricas de células excitables como neuronas y miocitos cardíacos . Es un sistema dinámico de tiempo continuo .

Alan Hodgkin y Andrew Huxley describieron el modelo en 1952 para explicar los mecanismos iónicos subyacentes al inicio y propagación de los potenciales de acción en el axón gigante del calamar . Recibieron el Premio Nobel de Fisiología o Medicina de 1963 por este trabajo.

Componentes básicos

El modelo típico de Hodgkin-Huxley trata cada componente de una célula excitable como un elemento eléctrico (como se muestra en la figura). La bicapa lipídica se representa como una capacitancia (C m ). Los canales iónicos activados por voltaje están representados por conductancias eléctricas ( g n , donde n es el canal iónico específico) que dependen tanto del voltaje como del tiempo. Los canales de fuga están representados por conductancias lineales ( g L ). Los gradientes electroquímicos que impulsan el flujo de iones están representados por fuentes de voltaje ( E n ) cuyos voltajes están determinados por la relación de las concentraciones intra y extracelulares de las especies iónicas de interés. Finalmente, las bombas de iones están representadas por fuentes de corriente ( I p ). El potencial de membrana se denota por V m .

Matemáticamente, la corriente que fluye a través de la bicapa lipídica se escribe como

y la corriente a través de un canal iónico dado es el producto

donde es el potencial de inversión del i -ésimo canal iónico. Así, para una célula con canales de sodio y potasio, la corriente total a través de la membrana viene dada por:

donde I es la corriente total de la membrana por unidad de área, C m es la capacitancia de la membrana por unidad de área, g K y g Na son las conductancias de potasio y sodio por unidad de área, respectivamente, V K y V Na son los potenciales de inversión de potasio y sodio , respectivamente, yg l y V l son la conductancia de fuga por unidad de área y el potencial de inversión de fuga, respectivamente. Los elementos dependientes del tiempo de esta ecuación son V m , g Na y g K , donde las dos últimas conductancias también dependen explícitamente del voltaje.

Caracterización de la corriente iónica

En los canales iónicos activados por voltaje, la conductancia del canal es una función tanto del tiempo como del voltaje ( en la figura), mientras que en los canales de fuga es una constante ( en la figura). La corriente generada por las bombas de iones depende de las especies iónicas específicas de esa bomba. Las siguientes secciones describirán estas formulaciones con más detalle.

Canales iónicos activados por voltaje

Utilizando una serie de experimentos de fijación de voltaje y variando las concentraciones extracelulares de sodio y potasio, Hodgkin y Huxley desarrollaron un modelo en el que las propiedades de una célula excitable se describen mediante un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias . Junto con la ecuación para la corriente total mencionada anteriormente, estos son:

donde I es la corriente por unidad de área, y y son constantes de velocidad para el i -ésimo canal iónico, que dependen del voltaje pero no del tiempo. es el valor máximo de la conductancia. n , m , y h son magnitudes adimensionales entre 0 y 1 que se asocian con la activación del canal de potasio, la activación del canal de sodio, y la inactivación del canal de sodio, respectivamente. Para , y toma la forma

y son los valores de estado estacionario para la activación y la inactivación, respectivamente, y generalmente se representan mediante las ecuaciones de Boltzmann como funciones de . En el artículo original de Hodgkin y Huxley, las funciones y están dadas por

donde denota la despolarización negativa en mV.

Mientras que en muchos programas de software actuales, los modelos del tipo Hodgkin-Huxley generalizan y al

Para caracterizar los canales activados por voltaje, las ecuaciones se ajustan a los datos de la pinza de voltaje. Para obtener una derivación de las ecuaciones de Hodgkin-Huxley bajo tensión-pinza, consulte. Brevemente, cuando el potencial de membrana se mantiene a un valor constante (es decir, pinza de voltaje), para cada valor del potencial de membrana, las ecuaciones de activación no lineal se reducen a ecuaciones de la forma:

Por lo tanto, para cada valor de potencial de membrana, las corrientes de sodio y potasio pueden describirse mediante

Para llegar a la solución completa de un potencial de acción propagado, se debe escribir el término actual I en el lado izquierdo de la primera ecuación diferencial en términos de V , de modo que la ecuación se convierta en una ecuación solo para voltaje. La relación entre I y V se puede derivar de la teoría del cable y está dada por

donde una es el radio de la axón , R es la resistencia específica de la axoplasm , y x es la posición a lo largo de la fibra nerviosa. La sustitución de esta expresión por I transforma el conjunto original de ecuaciones en un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales , porque el voltaje se convierte en una función tanto de x como de t .

El algoritmo de Levenberg-Marquardt se usa a menudo para ajustar estas ecuaciones a los datos de fijación de voltaje.

Si bien los experimentos originales trataron solo los canales de sodio y potasio, el modelo de Hodgkin-Huxley también se puede ampliar para tener en cuenta otras especies de canales iónicos .

Canales de fuga

Los canales de fuga dan cuenta de la permeabilidad natural de la membrana a los iones y toman la forma de la ecuación de los canales activados por voltaje, donde la conductancia es una constante. Por tanto, la corriente de fuga debida a los canales de iones de fuga pasivos en el formalismo de Hodgkin-Huxley es .

Bombas e intercambiadores

El potencial de membrana depende del mantenimiento de gradientes de concentración iónica a través de él. El mantenimiento de estos gradientes de concentración requiere el transporte activo de especies iónicas. Los intercambiadores de sodio-potasio y sodio-calcio son los más conocidos de éstos. Algunas de las propiedades básicas del intercambiador Na / Ca ya están bien establecidas: la estequiometría del intercambio es 3 Na + : 1 Ca 2+ y el intercambiador es electrogénico y sensible al voltaje. El intercambiador Na / K también se ha descrito en detalle, con una estequiometría 3 Na + : 2 K + .

Propiedades matematicas

El modelo de Hodgkin-Huxley puede ser pensado como una ecuación diferencial sistema con cuatro variables de estado , y , que el cambio con respecto al tiempo . El sistema es difícil de estudiar porque es un sistema no lineal y no se puede resolver analíticamente. Sin embargo, existen muchos métodos numéricos disponibles para analizar el sistema. Se puede demostrar la existencia de ciertas propiedades y comportamientos generales, como los ciclos límite .

Una simulación del modelo de Hodgkin-Huxley en el espacio de fase, en términos de voltaje v (t) y variable de activación de potasio n (t). La curva cerrada se conoce como ciclo límite .

Colector central

Debido a que hay cuatro variables de estado, visualizar la ruta en el espacio de fase puede resultar difícil. Por lo general, se eligen dos variables, el voltaje y la variable de activación de potasio , lo que permite visualizar el ciclo límite . Sin embargo, uno debe tener cuidado porque este es un método ad-hoc para visualizar el sistema de 4 dimensiones. Esto no prueba la existencia del ciclo límite.

Se puede construir una mejor proyección a partir de un análisis cuidadoso del jacobiano del sistema, evaluado en el punto de equilibrio . Específicamente, los valores propios del jacobiano son indicativos de la existencia de la variedad central . Asimismo, los vectores propios del jacobiano revelan la orientación de la variedad central . El modelo de Hodgkin-Huxley tiene dos valores propios negativos y dos valores propios complejos con partes reales ligeramente positivas. Los autovectores asociados con los dos autovalores negativos se reducirán a cero a medida que aumenta el tiempo t . Los dos vectores propios complejos restantes definen la variedad central. En otras palabras, el sistema de 4 dimensiones colapsa sobre un plano de 2 dimensiones. Cualquier solución que parta del colector central decaerá hacia el colector central. Además, el ciclo límite está contenido en el colector central.

El voltaje v ( t ) (en milivoltios) del modelo de Hodgkin-Huxley, representado en una gráfica de 50 milisegundos. La corriente inyectada varía de -5 nanoamperios a 12 nanoamperios. El gráfico pasa por tres etapas: una etapa de equilibrio, una etapa de pico único y una etapa de ciclo límite.

Bifurcaciones

Si la corriente inyectada se utilizó como parámetro de bifurcación , entonces el modelo de Hodgkin-Huxley experimenta una bifurcación de Hopf . Como ocurre con la mayoría de los modelos neuronales, el aumento de la corriente inyectada aumentará la velocidad de disparo de la neurona. Una consecuencia de la bifurcación de Hopf es que existe una tasa de disparo mínima. Esto significa que la neurona no está disparando en absoluto (correspondiente a la frecuencia cero) o disparando a la tasa de disparo mínima. Debido al principio de todo o nada , no hay un aumento suave en la amplitud del potencial de acción , sino que hay un "salto" repentino en la amplitud. La transición resultante se conoce como bulo .

Mejoras y modelos alternativos

El modelo de Hodgkin-Huxley se considera uno de los grandes logros de la biofísica del siglo XX. No obstante, los modelos modernos de tipo Hodgkin-Huxley se han ampliado de varias formas importantes:

  • Se han incorporado poblaciones de canales de iones adicionales basándose en datos experimentales.
  • El modelo de Hodgkin-Huxley se ha modificado para incorporar la teoría del estado de transición y producir modelos termodinámicos de Hodgkin-Huxley.
  • Los modelos a menudo incorporan geometrías altamente complejas de dendritas y axones , a menudo basados ​​en datos de microscopía.
  • Modelos estocásticos de comportamiento de los canales iónicos que conducen a sistemas híbridos estocásticos.
  • El modelo de Poisson-Nernst-Planck (PNP) se basa en una aproximación de campo medio de interacciones iónicas y descripciones continuas de concentración y potencial electrostático.

También se han desarrollado varios modelos neuronales simplificados (como el modelo de FitzHugh-Nagumo ), que facilitan la simulación eficiente a gran escala de grupos de neuronas, así como la comprensión matemática de la dinámica de la generación del potencial de acción.

Ver también

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos