Trayectoria - Trajectory

Ilustración que muestra la trayectoria de una bala disparada contra un objetivo cuesta arriba.

Una trayectoria o trayectoria de vuelo es la trayectoria que sigue un objeto con masa en movimiento a través del espacio en función del tiempo. En la mecánica clásica , una trayectoria es definida por la mecánica hamiltoniana a través de coordenadas canónicas ; por tanto, una trayectoria completa se define por la posición y el momento, simultáneamente.

La masa puede ser un proyectil o un satélite . Por ejemplo, puede ser una órbita : la trayectoria de un planeta , asteroide o cometa mientras viaja alrededor de una masa central .

En la teoría de control , una trayectoria es un conjunto de estados ordenados en el tiempo de un sistema dinámico (ver, por ejemplo, el mapa de Poincaré ). En matemáticas discretas , una trayectoria es una secuencia de valores calculada mediante la aplicación iterativa de un mapeo a un elemento de su fuente.

Física de trayectorias

Un ejemplo familiar de trayectoria es la trayectoria de un proyectil, como una bola o una piedra lanzada. En un modelo significativamente simplificado, el objeto se mueve solo bajo la influencia de un campo de fuerza gravitacional uniforme . Esta puede ser una buena aproximación para una roca que se lanza a distancias cortas, por ejemplo, a la superficie de la luna . En esta simple aproximación, la trayectoria toma la forma de una parábola . Generalmente, al determinar las trayectorias, puede ser necesario tener en cuenta las fuerzas gravitacionales no uniformes y la resistencia del aire ( resistencia y aerodinámica ). Este es el foco de la disciplina de balística .

Uno de los logros notables de la mecánica newtoniana fue la derivación de las leyes de Kepler . En el campo gravitacional de una masa puntual o una masa extendida esféricamente simétrica (como el Sol ), la trayectoria de un objeto en movimiento es una sección cónica , generalmente una elipse o una hipérbola . Esto concuerda con las órbitas observadas de planetas , cometas y naves espaciales artificiales en una aproximación razonablemente buena, aunque si un cometa pasa cerca del Sol, también está influenciado por otras fuerzas como el viento solar y la presión de la radiación , que modifican la temperatura. orbitan y hacen que el cometa expulse material al espacio.

La teoría de Newton se desarrolló más tarde en la rama de la física teórica conocida como mecánica clásica . Emplea las matemáticas del cálculo diferencial (que también fue iniciado por Newton en su juventud). A lo largo de los siglos, innumerables científicos han contribuido al desarrollo de estas dos disciplinas. La mecánica clásica se convirtió en la demostración más destacada del poder del pensamiento racional, es decir , la razón , tanto en la ciencia como en la tecnología. Ayuda a comprender y predecir una enorme variedad de fenómenos ; las trayectorias son solo un ejemplo.

Considere una partícula de masa que se mueve en un campo potencial . Físicamente hablando, la masa representa la inercia y el campo representa las fuerzas externas de un tipo particular conocido como "conservador". Dado en cada posición relevante, hay una manera de inferir la fuerza asociada que actuaría en esa posición, digamos de la gravedad. Sin embargo, no todas las fuerzas pueden expresarse de esta manera.

El movimiento de la partícula se describe mediante la ecuación diferencial de segundo orden

En el lado de la derecha, la fuerza está dada en términos de , el gradiente del potencial, tomada en posiciones a lo largo de la trayectoria. Ésta es la forma matemática de la segunda ley del movimiento de Newton : la fuerza es igual a la masa por la aceleración, para tales situaciones.

Ejemplos de

Gravedad uniforme, ni arrastre ni viento

Trayectorias de una masa lanzada en un ángulo de 70 °,
 sin arrastre
 con Stokes drag
 con arrastre de Newton

El caso ideal de movimiento de un proyectil en un campo gravitacional uniforme en ausencia de otras fuerzas (como la resistencia del aire) fue investigado por primera vez por Galileo Galilei . Descuidar la acción de la atmósfera en la configuración de una trayectoria habría sido considerado una hipótesis inútil por los investigadores de mentalidad práctica a lo largo de la Edad Media en Europa . Sin embargo, al anticipar la existencia del vacío , que luego sería demostrado en la Tierra por su colaborador Evangelista Torricelli , Galileo pudo iniciar la futura ciencia de la mecánica . En un vacío cercano, como resulta, por ejemplo, en la Luna , su trayectoria parabólica simplificada resulta esencialmente correcta.

En el análisis que sigue, derivamos la ecuación de movimiento de un proyectil medida a partir de un marco inercial en reposo con respecto al suelo. Asociado con el marco hay un sistema de coordenadas a la derecha con su origen en el punto de lanzamiento del proyectil. El eje -es tangente al suelo y el eje es perpendicular a él (paralelo a las líneas del campo gravitacional). Sea la aceleración de la gravedad . En relación con el terreno llano, sea la velocidad horizontal inicial y la velocidad vertical inicial sea . También se mostrará que el rango es y la altitud máxima es . El rango máximo para una velocidad inicial dada se obtiene cuando , es decir, el ángulo inicial es de 45 . Este rango es , y la altitud máxima en el rango máximo es .

Derivación de la ecuación de movimiento

Suponga que el movimiento del proyectil se mide desde un marco de caída libre que pasa a estar en ( x , y ) = (0,0) en  t  = 0. La ecuación de movimiento del proyectil en este marco (por el principio de equivalencia ) sería . Las coordenadas de este marco de caída libre, con respecto a nuestro marco inercial serían . Es decir .

Ahora, traduciendo de nuevo al marco inercial, las coordenadas del proyectil se convierten en Eso es:

(donde v 0 es la velocidad inicial, es el ángulo de elevación y g es la aceleración debida a la gravedad).

Alcance y altura

Trayectorias de proyectiles lanzados a diferentes ángulos de elevación pero con la misma velocidad de 10 m / s en un vacío y un campo de gravedad descendente uniforme de 10 m / s 2 . Los puntos están a intervalos de 0.05 sy la longitud de sus colas es linealmente proporcional a su velocidad. t = tiempo desde el lanzamiento, T = tiempo de vuelo, R = alcance y H = punto más alto de la trayectoria (indicado con flechas).

El rango , R , es la mayor distancia que recorre el objeto a lo largo del eje x en el sector I. La velocidad inicial , v i , es la velocidad a la que dicho objeto se lanza desde el punto de origen. El ángulo inicial , θ i , es el ángulo en el que se suelta dicho objeto. La g es la atracción gravitacional respectiva sobre el objeto dentro de un medio nulo.

La altura , h , es la mayor altura parabólica que alcanza dicho objeto dentro de su trayectoria.

Ángulo de elevación

Un ejemplo que muestra cómo calcular la trayectoria de la bala.

En términos de ángulo de elevación y velocidad inicial :

dando el rango como

Esta ecuación se puede reorganizar para encontrar el ángulo para un rango requerido

(Ecuación II: ángulo de lanzamiento del proyectil)

Tenga en cuenta que la función seno es tal que hay dos soluciones para un rango dado . El ángulo que da el rango máximo se puede encontrar considerando la derivada o con respecto a y poniéndola en cero.

que tiene una solución no trivial en , o . El rango máximo es entonces . En este ángulo , la altura máxima obtenida es .

Para encontrar el ángulo que da la altura máxima para una velocidad dada, calcule la derivada de la altura máxima con respecto a , que es cero cuando . Entonces, la altura máxima se obtiene cuando el proyectil se dispara hacia arriba.

Objetos en órbita

Si en lugar de una fuerza gravitacional descendente uniforme consideramos dos cuerpos orbitando con gravitación mutua entre ellos, obtenemos las leyes del movimiento planetario de Kepler . La derivación de estos fue una de las principales obras de Isaac Newton y proporcionó gran parte de la motivación para el desarrollo del cálculo diferencial .

Atrapar pelotas

Si un proyectil, como una pelota de béisbol o de cricket, viaja en una trayectoria parabólica, con una resistencia del aire insignificante, y si un jugador está posicionado para atraparlo mientras desciende, ve que su ángulo de elevación aumenta continuamente a lo largo de su vuelo. La tangente del ángulo de elevación es proporcional al tiempo transcurrido desde que la pelota fue lanzada al aire, generalmente al ser golpeada con un bate. Incluso cuando la pelota está realmente descendiendo, cerca del final de su vuelo, su ángulo de elevación visto por el jugador continúa aumentando. Por lo tanto, el jugador lo ve como si estuviera ascendiendo verticalmente a velocidad constante. Encontrar el lugar desde el cual la pelota parece elevarse de manera constante ayuda al jugador a posicionarse correctamente para atraparla. Si está demasiado cerca del bateador que golpeó la pelota, parecerá que se eleva a un ritmo acelerado. Si está demasiado lejos del bateador, parecerá que se ralentiza rápidamente y luego desciende.

Notas

Ver también

Referencias

enlaces externos