Cálculo funcional holomórfico - Holomorphic functional calculus

En matemáticas , el cálculo funcional holomórfico es un cálculo funcional con funciones holomórficas . Es decir, dada una función holomórfica f de un argumento complejo z y un operador T , el objetivo es construir un operador, f ( T ), que naturalmente extiende la función f de argumento complejo a argumento de operador. Más precisamente, el cálculo funcional define un homomorfismo de álgebra continua de las funciones holomórficas en una vecindad del espectro de T a los operadores acotados.

Este artículo discutirá el caso en el que T es un operador lineal acotado en algún espacio de Banach . En particular, T puede ser una matriz cuadrada con entradas complejas, un caso que se utilizará para ilustrar el cálculo funcional y proporcionar algunas ideas heurísticas para los supuestos involucrados en la construcción general.

Motivación

Necesidad de un cálculo funcional general

En esta sección , se supondrá que T es una matriz n  ×  n con entradas complejas.

Si una función f dada es de cierto tipo especial, existen formas naturales de definir f ( T ). Por ejemplo, si

${\ Displaystyle p (z) = \ sum _ {i = 0} ^ {m} a_ {i} z ^ {i}}$

es un polinomio complejo , simplemente se puede sustituir T por zy definir

${\ Displaystyle p (T) = \ sum _ {i = 0} ^ {m} a_ {i} T ^ {i}}$

donde T ⁰ = I , la matriz identidad . Este es el cálculo funcional polinomial . Es un homomorfismo del anillo de polinomios al anillo de n × n matrices.

Extendiéndose ligeramente de los polinomios, si f  : C → C es holomórfico en todas partes, es decir, una función completa , con la serie de MacLaurin

${\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} z ^ {i},}$

imitando el caso polinomial sugiere que definimos

${\ Displaystyle f (T) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} T ^ {i}.}$

Dado que la serie MacLaurin converge en todas partes, la serie anterior convergerá, en una norma de operador elegida . Un ejemplo de esto es el exponencial de una matriz. Reemplazando z por T en la serie de MacLaurin de f ( z ) = e ^z da

${\ Displaystyle f (T) = e ^ {T} = I + T + {\ frac {T ^ {2}} {2!}} + {\ frac {T ^ {3}} {3!}} + \ cdots.}$

El requisito de que la serie de MacLaurin de f converja en todas partes se puede relajar un poco. Desde anterior, es evidente que todo lo que realmente se necesita es el radio de convergencia de la serie de Maclaurin sea mayor que ǁ T ǁ, la norma del operador T . Esto amplía algo la familia de f para la que se puede definir f ( T ) utilizando el enfoque anterior. Sin embargo, no es del todo satisfactorio. Por ejemplo, es un hecho de la teoría de matriz que cada no singular T tiene un logaritmo S en el sentido de que e ^S = T . Es deseable tener un cálculo funcional que permite definir, para un no-singular T , ln ( T ) de manera que coincide con S . Esto no se puede hacer a través de series de potencias, por ejemplo, la serie logarítmica.

${\ Displaystyle \ ln (z + 1) = z - {\ frac {z ^ {2}} {2}} + {\ frac {z ^ {3}} {3}} - \ cdots,}$

converge solo en el disco de la unidad abierta. Sustituir T por z en la serie no da una expresión bien definida para ln ( T  +  I ) para T + I invertible con ǁ T ǁ ≥ 1. Por lo tanto, se necesita un cálculo funcional más general.

Cálculo funcional y espectro

Se espera que una condición necesaria para f ( T ) para hacer sentido se f se define en el espectro de T . Por ejemplo, el teorema espectral para matrices normales establece que cada matriz normal es diagonalizable unitariamente. Esto conduce a una definición de f ( T ) cuando T es normal. Uno se encuentra con dificultades si f (λ) no está definido para alguna autovalor λ de T .

Otras indicaciones también refuerzan la idea de que f ( T ) se puede definir sólo si f se define en el espectro de T . Si T no es invertible, entonces (recordando que T es una matriz nxn) 0 es un valor propio. Dado que el logaritmo natural no está definido en 0, uno esperaría que ln ( T ) no se pueda definir de forma natural. De hecho, este es el caso. Como otro ejemplo, para

${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1} {(z-2) (z-5)}}}$

la forma razonable de calcular f ( T ) parecería ser

${\ Displaystyle f (T) = (T-2I) ^ {- 1} (T-5I) ^ {- 1}. \,}$

Sin embargo, esta expresión no se define si los inversos no existen en el lado derecho, es decir, si cualquiera de 2 o 5 son valores propios de T .

Para una matriz T dada , los valores propios de T dictan hasta qué punto se puede definir f ( T ); es decir, f (λ) debe definirse para todos los valores propios lambda de T . Para un operador acotado general, esta condición se traduce en " f debe definirse en el espectro de T ". Esta suposición resulta ser una condición habilitante para que el mapa de cálculo funcional, f → f ( T ), tenga ciertas propiedades deseables.

Cálculo funcional para un operador acotado

Deje que X sea un espacio de Banach complejo, y L ( X ) denotan la familia de los operadores delimitadas en X .

Recuerde la fórmula integral de Cauchy de la teoría clásica de funciones. Sea f  : C → C holomorfa en algún conjunto abierto D ⊂ C , y Γ sea una curva de Jordan rectificable en D , es decir, una curva cerrada de longitud finita sin auto-intersecciones. Supongamos que el conjunto T de puntos que se encuentran en el interior de Γ, es decir, tal que el número de vueltas de Γ sobre z es 1, está contenido en D . La fórmula integral de Cauchy establece

${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int \ nolimits _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -z}} \, d \ zeta}$

para cualquier z en U .

La idea es extender esta fórmula a funciones que toman valores en el espacio de Banach L ( X ). La fórmula integral de Cauchy sugiere la siguiente definición (puramente formal, por ahora):

${\ Displaystyle f (T) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -T}} \, d \ zeta ,}$

donde (ζ− T ) ⁻¹ es el resolutivo de T en ζ.

Suponiendo que esta integral valorada en el espacio de Banach se defina adecuadamente, este cálculo funcional propuesto implica las siguientes condiciones necesarias:

1. Como la versión escalar de la fórmula integral de Cauchy se aplica a la holomorfa f , anticipamos que también es el caso para el caso del espacio de Banach, donde debería haber una noción adecuada de holomorfia para funciones que toman valores en el espacio de Banach L ( X ).
2. Como el mapeo resolutivo ζ → (ζ− T ) ⁻¹ no está definido en el espectro de T , σ ( T ), la curva de Jordan Γ no debe intersecar σ ( T ). Ahora, el mapeo resolutivo será holomórfico en el complemento de σ ( T ). Entonces, para obtener un cálculo funcional no trivial, Γ debe incluir (al menos parte de) σ ( T ).
3. El cálculo funcional debe estar bien definido en el sentido de que f ( T ) tiene que ser independiente de Γ.

La definición completa del cálculo funcional es la siguiente: Para T ∈ L ( X ), defina

${\ Displaystyle f (T) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int \ nolimits _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -T}} \, d \ zeta,}$

donde f es una función holomórfica definida en un conjunto abierto D ⊂ C que contiene σ ( T ), y Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } es una colección de curvas de Jordan disjuntas en D que limitan un conjunto "interior" U , tal que σ ( T ) se encuentra en U , y cada γ _i está orientado en el sentido de la frontera.

El conjunto abierto D puede variar con f y no es necesario conectarlo o simplemente conectarlo , como se muestra en las figuras de la derecha.

Las siguientes subsecciones precisan las nociones invocadas en la definición y muestran que f ( T ) está de hecho bien definida bajo determinados supuestos.

Integral valorada en el espacio de Banach

Cf. Integral de Bochner

Para una función continua g definida en una vecindad abierta de Γ y tomando valores en L ( X ), la integral de contorno ∫ _Γ g se define de la misma manera que para el caso escalar. Se puede parametrizar cada γ _i ∈ Γ mediante un intervalo real [ a , b ], y la integral es el límite de las sumas de Riemann obtenidas de particiones cada vez más finas de [ a , b ]. Las sumas de Riemann convergen en la topología de operador uniforme . Definimos

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} g = \ sum \ nolimits _ {i} \ int _ {\ gamma _ {i}} g.}$

En la definición del cálculo funcional, se supone que f es holomórfica en una vecindad abierta de Γ. A continuación se mostrará que el mapeo resolutivo es holomórfico en el conjunto resolutivo. Por tanto, la integral

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -T}} \, d \ zeta}$

tiene sentido.

El mapeo resolutivo

El ζ mapeo → (ζ- T ) ^-1 se denomina mapeo resolvente de T . Se define en el complemento de σ ( T ), llamado el conjunto resolutivo de T y será denotado por ρ ( T ).

Gran parte de la teoría clásica de funciones depende de las propiedades de la integral

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {d \ zeta} {\ zeta -z}}.}$

El cálculo funcional holomórfico es similar en que el mapeo resolutivo juega un papel crucial en la obtención de las propiedades que uno requiere de un buen cálculo funcional. Esta subsección describe las propiedades del mapa resolutivo que son esenciales en este contexto.

La 1ra fórmula resolutiva

El cálculo directo muestra, para z ₁ , z ₂ ∈ ρ ( T ),

${\ Displaystyle (z_ {1} -T) ^ {- 1} - (z_ {2} -T) ^ {- 1} = (z_ {1} -T) ^ {- 1} (z_ {2} - z_ {1}) (z_ {2} -T) ^ {- 1}. \,}$

Por lo tanto,

${\ Displaystyle (z_ {1} -T) ^ {- 1} (z_ {2} -T) ^ {- 1} = {\ frac {(z_ {1} -T) ^ {- 1} - (z_ {2} -T) ^ {- 1}} {(z_ {2} -z_ {1})}}.}$

Esta ecuación se llama la primera fórmula resolutiva . La fórmula muestra ( z ₁ - T ) ⁻¹ y ( z ₂ - T ) ⁻¹ conmutados, lo que sugiere el hecho de que la imagen del cálculo funcional será un álgebra conmutativa. Dejando z ₂ → z ₁ muestra que el mapa resolutivo es (complejo-) diferenciable en cada z ₁ ∈ ρ ( T ); por lo que la integral en la expresión del cálculo funcional converge en L ( X ).

Analiticidad

Se puede hacer una declaración más fuerte que la diferenciabilidad con respecto al mapa resolutivo. El conjunto resolutivo ρ ( T ) es en realidad un conjunto abierto en el que el mapa resolutivo es analítico. Esta propiedad se utilizará en argumentos posteriores para el cálculo funcional. Para verificar esta afirmación, sea z ₁ ∈ ρ ( T ) y observe la expresión formal

${\ Displaystyle {\ frac {1} {z_ {2} -T}} = {\ frac {1} {z_ {1} -T}} \ cdot {\ frac {1} {1 - {\ frac {z_ {1} -z_ {2}} {z_ {1} -T}}}}}$

sugiere que consideremos

${\ Displaystyle (z_ {1} -T) ^ {- 1} \ sum _ {n \ geq 0} \ left ((z_ {1} -z_ {2}) (z_ {1} -T) ^ {- 1} \ derecha) ^ {n}}$

para ( z ₂ - T ) ⁻¹ . La serie anterior converge en L ( X ), lo que implica la existencia de ( z ₂ - T ) ⁻¹ , si

${\ Displaystyle | z_ {1} -z_ {2} | <{\ frac {1} {\ left \ | (z_ {1} -T) ^ {- 1} \ right \ |}}.}$

Por lo tanto, el conjunto resolutivo ρ ( T ) está abierto y la expresión de la serie de potencias en un disco abierto centrado en z ₁ ∈ ρ ( T ) muestra que el mapa resolutivo es analítico en ρ ( T ).

Serie Neumann

Otra expresión para ( z - T ) ⁻¹ también será útil. La expresión formal

${\ Displaystyle {\ frac {1} {zT}} = {\ frac {1} {z}} \ cdot {\ frac {1} {1 - {\ frac {T} {z}}}}}$

lleva a uno a considerar

${\ Displaystyle {\ frac {1} {z}} \ sum _ {n \ geq 0} \ left ({\ frac {T} {z}} \ right) ^ {n}.}$

Esta serie, la serie de Neumann , converge a ( z - T ) ⁻¹ si

${\ Displaystyle \ left \ | {\ frac {T} {z}} \ right \ | <1, \; {\ text {ie}} \; | z |> \ | T \ |.}$

Compacidad de σ ( T )

A partir de las dos últimas propiedades del resolutivo se puede deducir que el espectro σ ( T ) de un operador acotado T es un subconjunto compacto de C . Por lo tanto, para cualquier conjunto abierto D tal que σ ( T ) ⊂ D , existe un sistema suave y de orientación positiva de curvas de Jordan Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } tal que σ ( T ) está en el interior de Γ y el complemento de D está contenido en el exterior de Γ. Por lo tanto, para la definición del cálculo funcional, de hecho una familia adecuada de las curvas Jordan se puede encontrar para cada f que es holomorphic en algunos D .

Bien definido

La discusión anterior ha demostrado que la integral tiene sentido, es decir, existe una colección adecuada Γ de curvas de Jordan para cada f y la integral converge en el sentido apropiado. Lo que no se ha demostrado es que la definición del cálculo funcional es inequívoca, es decir, no depende de la elección de Γ. Este problema ahora intentamos resolverlo.

Un hecho preliminar

Para una colección de curvas de Jordan Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } y un punto a ∈ C , el número de bobinado de Γ con respecto a a es la suma de los números de bobinado de sus elementos. Si definimos:

${\ Displaystyle n (\ Gamma, a) = \ sum \ nolimits _ {i} n (\ gamma _ {i}, a),}$

el siguiente teorema es de Cauchy:

Teorema. Deje que G ⊂ C sea un conjunto abierto y Γ ⊂ G . Si g  : G → C es holomorfa, y para todo a en el complemento de G , n (Γ, a ) = 0, entonces la integral de contorno de g en Γ es cero.

Necesitaremos el análogo con valores vectoriales de este resultado cuando g toma valores en L ( X ). Con este fin, sea g  : G → L ( X ) holomorfo, con los mismos supuestos en Γ. La idea es usar el espacio dual L ( X ) * de L ( X ) y pasar al teorema de Cauchy para el caso escalar.

Considere la integral

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} g \ en L (X),}$

si podemos demostrar que todo φ ∈ L ( X ) * desaparece en esta integral, entonces la integral en sí tiene que ser cero. Dado que φ está acotada y la integral converge en norma, tenemos:

${\ Displaystyle \ phi \ left (\ int _ {\ Gamma} g \ right) = \ int _ {\ Gamma} \ phi (g).}$

Pero g es holomórfico, de ahí la composición φ ( g ): G ⊂ C → C es holomórfico y por lo tanto por el teorema de Cauchy

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} \ phi (g) = 0.}$

Argumento principal

La bien definida del cálculo funcional se sigue ahora como una consecuencia fácil. Sea D un conjunto abierto que contiene σ ( T ). Suponga que Γ = {γ _i } y Ω = {ω _j } son dos colecciones (finitas) de curvas de Jordan que satisfacen el supuesto dado para el cálculo funcional. Deseamos mostrar

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -T}} \, d \ zeta = \ int _ {\ Omega} {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -T}} \, d \ zeta.}$

Sea Ω ′ obtenida de Ω invirtiendo la orientación de cada ω _j , entonces

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -T}} \, d \ zeta = - \ int _ {\ Omega '} {\ frac {f (\ zeta )} {\ zeta -T}} \, d \ zeta.}$

Considere la unión de las dos colecciones Γ ∪ Ω ′. Tanto Γ ∪ Ω ′ como σ ( T ) son compactos. Así que hay algún conjunto abierto U que contiene tales Γ ∪ Ohmio 'que σ ( T mentiras) en el complemento de T . Cualquier a en el complemento de U tiene un número de bobinado n (Γ ∪ Ω ′, a ) = 0 y la función

${\ Displaystyle \ zeta \ rightarrow {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -T}}}$

es holomorfa en U . Entonces, la versión con valores vectoriales del teorema de Cauchy da

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma \ cup \ Omega '} {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -T}} \, d \ zeta = 0}$

es decir

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -T}} \, d \ zeta + \ int _ {\ Omega '} {\ frac {f (\ zeta) } {\ zeta -T}} \, d \ zeta = \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -T}} \, d \ zeta - \ int _ {\ Omega } {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -T}} \, d \ zeta = 0.}$

Por tanto, el cálculo funcional está bien definido.

En consecuencia, si f ₁ y f ₂ son dos funciones holomórficas definidas en los vecindarios D ₁ y D ₂ de σ ( T ) y son iguales en un conjunto abierto que contiene σ ( T ), entonces f ₁ ( T ) = f ₂ ( T ). Además, aunque D ₁ puede no ser D ₂ , el operador ( f ₁ + f ₂ ) ( T ) está bien definido. Lo mismo vale para la definición de ( f ₁ · f ₂ ) ( T ).

Suponiendo que f sea ​​holomórfica en una vecindad abierta de σ ( T )

Hasta ahora no se ha utilizado toda la fuerza de esta suposición. Para la convergencia de la integral, solo se utilizó la continuidad. Para una mejor definición, solo necesitamos que f sea ​​holomórfico en un conjunto abierto U que contenga los contornos Γ ∪ Ω ′ pero no necesariamente σ ( T ). La suposición se aplicará en su totalidad al mostrar la propiedad de homomorfismo del cálculo funcional.

Propiedades

Caso polinomial

La linealidad del mapa f ↦ f ( T ) se deriva de la convergencia de la integral y que las operaciones lineales en un espacio de Banach son continuas.

Recuperamos el cálculo funcional polinomial cuando f ( z ) = Σ _{0 ≤ i ≤ m} a _i z ⁱ es un polinomio. Para probar esto, es suficiente mostrar, para k ≥ 0 y f ( z ) = z ^k , es cierto que f ( T ) = T ^k , es decir

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {\ zeta ^ {k}} {\ zeta -T}} \, d \ zeta = T ^ { k}}$

para cualquier Γ que encierre σ ( T ). Elija Γ ser un círculo de radio mayor que la norma del operador T . Como se indicó anteriormente, en tal Γ, el mapa resolutivo admite una representación en serie de potencias

${\ Displaystyle (zT) ^ {- 1} = {\ frac {1} {z}} \ sum _ {n \ geq 0} \ left ({\ frac {T} {z}} \ right) ^ {n }.}$

Sustituyendo da

${\ Displaystyle f (T) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma} \ left (\ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {T ^ {n}} {\ zeta ^ {n + 1-k}}} \ derecha) \, d \ zeta}$

cual es

${\ Displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} T ^ {n} \ cdot {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ left (\ int _ {\ Gamma} {\ frac {d \ zeta} {\ zeta ^ {n + 1-k}}} \ right) = \ sum _ {n \ geq 0} T ^ {n} \ cdot \ delta _ {nk} = T ^ {k}.}$

El δ es el símbolo delta de Kronecker.

La propiedad del homomorfismo

Para cualquier f ₁ y f _{2 que} satisfaga los supuestos apropiados, la propiedad de homomorfismo establece

${\ Displaystyle f_ {1} (T) f_ {2} (T) = (f_ {1} \ cdot f_ {2}) (T). \,}$

Esbozamos un argumento que invoca la primera fórmula resolutiva y los supuestos colocados en f . Primero elegimos las curvas de Jordan de modo que Γ _{1 se} encuentre en el interior de Γ ₂ . La razón de esto se aclarará a continuación. Empiece por calcular directamente

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} f_ {1} (V) f_ {2} (T) & = \ left ({\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma _ {1 }} {\ frac {f_ {1} (\ zeta)} {\ zeta -T}} d \ zeta \ right) \ left ({\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma _ {2}} {\ frac {f_ {2} (\ omega)} {\ omega -T}} \, d \ omega \ right) \\ & = {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {\ Gamma _ {1}} \ int _ {\ Gamma _ {2}} {\ frac {f_ {1} (\ zeta) f_ {2} (\ omega)} { (\ zeta -T) (\ omega -T)}} \; d \ omega \, d \ zeta \\ & = {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {\ Gamma _ {1}} \ int _ {\ Gamma _ {2}} f_ {1} (\ zeta) f_ {2} (\ omega) \ left ({\ frac {(\ zeta -T) ^ { -1} - (\ omega -T) ^ {- 1}} {\ omega - \ zeta}} \ right) d \ omega \, d \ zeta && {\ text {Primera fórmula resolutiva}} \\ & = { \ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ left \ {\ left (\ int _ {\ Gamma _ {1}} {\ frac {f_ {1} (\ zeta)} { \ zeta -T}} \ left [\ int _ {\ Gamma _ {2}} {\ frac {f_ {2} (\ omega)} {\ omega - \ zeta}} d \ omega \ right] d \ zeta \ right) - \ left (\ int _ {\ Gamma _ {2}} {\ frac {f_ {2} (\ omega)} {\ omega -T}} \ left [\ int _ {\ Gamma _ {1 }} {\ frac {f_ {1} (\ zeta)} {\ omega - \ zeta}} d \ zeta \ right] d \ omega \ right) \ right \} \\ & = {\ frac {1} { (2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {\ Gamma _ {1}} {\ fr ac {f_ {1} (\ zeta)} {\ zeta -T}} \ left [\ int _ {\ Gamma _ {2}} {\ frac {f_ {2} (\ omega)} {\ omega - \ zeta}} d \ omega \ right] d \ zeta \ end {alineado}}}$

La última línea se deriva del hecho de que ω ∈ Γ _{2 se} encuentra fuera de Γ ₁ y f ₁ es holomórfica en algún vecindario abierto de σ ( T ) y, por lo tanto, el segundo término desaparece. Por tanto, tenemos:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} f_ {1} (V) f_ {2} (T) & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma _ {1}} { \ frac {f_ {1} (\ zeta)} {\ zeta -T}} \ left [{\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma _ {2}} {\ frac { f_ {2} (\ omega)} {\ omega - \ zeta}} d \ omega \ right] d \ zeta \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma _ {1}} {\ frac {f_ {1} (\ zeta)} {\ zeta -T}} \ left [f_ {2} (\ zeta) \ right] d \ zeta && {\ text {Fórmula integral de Cauchy} } \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma _ {1}} {\ frac {f_ {1} (\ zeta) f_ {2} (\ zeta)} {\ zeta -T}} d \ zeta \\ & = (f_ {1} \ cdot f_ {2}) (T) \ end {alineado}}}$

Continuidad con respecto a la convergencia compacta

Deje que G ⊂ C sea abierto con σ ( T ) ⊂ G . Suponga que una secuencia { f _k } de funciones holomórficas en G converge uniformemente en subconjuntos compactos de G (esto a veces se llama convergencia compacta ). Entonces { f _k ( T )} es convergente en L ( X ):

Suponga por simplicidad que Γ consta de una sola curva de Jordan. Estimamos

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ | f_ {k} (T) -f_ {l} (T) \ right \ | & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left \ | \ int _ {\ Gamma} {\ frac {(f_ {k} -f_ {l}) (\ zeta)} {\ zeta -T}} d \ zeta \ right \ | \\ & \ leq {\ frac { 1} {2 \ pi}} \ int _ {\ Gamma} \ left | (f_ {k} -f_ {l}) (\ zeta) \ right | \ cdot \ left \ | (\ zeta -T) ^ { -1} \ right \ | d \ zeta \ end {alineado}}}$

Al combinar el supuesto de convergencia uniforme y varias consideraciones de continuidad, vemos que lo anterior tiende a 0 cuando k , l → ∞. Entonces { f _k ( T )} es Cauchy, por lo tanto convergente.

Unicidad

Para resumir, hemos demostrado que el cálculo funcional holomórfico, f → f ( T ), tiene las siguientes propiedades:

1. Amplía el cálculo funcional polinomial.
2. Es un homomorfismo de álgebra del álgebra de funciones holomorfas definidas en un vecindario de σ ( T ) a L ( X )
3. Conserva la convergencia uniforme en conjuntos compactos.

Se puede demostrar que un cálculo que satisfaga las propiedades anteriores es único.

Observamos que, todo lo discutido hasta ahora es válido literalmente si la familia de operadores acotados L ( X ) se reemplaza por un álgebra A de Banach . El cálculo funcional se puede definir exactamente de la misma manera para un elemento en una .

Consideraciones espectrales

Teorema de mapeo espectral

Se sabe que el teorema de mapeo espectral es válido para el cálculo funcional polinomial: para cualquier polinomio p , σ ( p ( T )) = p ( σ ( T )). Esto se puede extender al cálculo holomórfico. Para mostrar f ( σ ( T )) ⊂ σ ( f ( T )), sea μ cualquier número complejo. Como resultado del análisis complejo, existe una función g holomórfica en una vecindad de σ ( T ) tal que

${\ Displaystyle f (z) -f (\ mu) = (z- \ mu) g (z). \,}$

Según la propiedad del homomorfismo, f ( T ) -  f ( μ ) = ( T  -  μ ) g ( T ). Por lo tanto, μ ∈ σ ( T ) implica f ( μ ) ∈ σ ( f ( T )).

Para la otra inclusión, si μ no está en f ( σ ( T )), entonces el cálculo funcional es aplicable a

${\ Displaystyle g (z) = {\ frac {1} {f (z) - \ mu}}.}$

Así g ( T ) ( f ( T ) - μ ) = I . Por lo tanto, μ no se encuentra en σ ( f ( T )).

Proyecciones espectrales

La idea subyacente es la siguiente. Suponga que K es un subconjunto de σ ( T ) y U , V son vecindarios disjuntos de K y σ ( T ) \  K respectivamente. Definir e ( z ) = 1 si z ∈ U y e ( z ) = 0 si z ∈ V . Entonces e es una función holomórfica con [ e ( z )] ² = e ( z ) y así, para un contorno adecuado Γ que se encuentra en U ∪ V y que encierra σ ( T ), el operador lineal

${\ Displaystyle e (T) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {e (z)} {zT}} \, dz}$

será una proyección acotada que conmuta con T y proporciona una gran cantidad de información útil.

Resulta que este escenario es posible si y solo si K está abierto y cerrado en la topología del subespacio en σ ( T ). Además, el conjunto V se puede ignorar con seguridad ya que e es cero en él y, por lo tanto, no contribuye a la integral. La proyección e ( T ) se llama proyección espectral de T en K y se denota por P ( K ; T ). Por lo tanto, cada subconjunto K de σ ( T ) que está abierto y cerrado en la topología del subespacio tiene una proyección espectral asociada dada por

${\ Displaystyle P (K; T) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int \ nolimits _ {\ Gamma} {\ frac {dz} {zT}}}$

donde Γ es un contorno que encierra K pero no otros puntos de σ ( T ).

Dado que P = P ( K ; T ) está acotado y conmuta con T , permite que T se exprese en la forma U ⊕ V donde U = T | _PX y V = T | _{(1- P ) X} . Tanto PX y (1 -  P ) X son subespacios invariables de T por otra parte σ ( U ) = K y σ ( V ) = σ ( T ) \  K . Una propiedad clave es la ortogonalidad mutua. Si L es otro conjunto abierto y cerrado en la topología subespacial en σ ( T ), entonces P ( K ; T ) P ( L ; T ) = P ( L ; T ) P ( K ; T ) = P ( K ∩ L ; T ) que es cero siempre que K y L estén disjuntos.

Las proyecciones espectrales tienen numerosas aplicaciones. Cualquier punto aislado de σ ( T ) es tanto abierto como cerrado en la topología subespacial y, por lo tanto, tiene una proyección espectral asociada. Cuando X tiene una dimensión finita, σ ( T ) consta de puntos aislados y las proyecciones espectrales resultantes conducen a una variante de la forma normal de Jordan en la que se consolidan todos los bloques de Jordan correspondientes al mismo valor propio. En otras palabras, hay precisamente un bloque por valor propio distinto. La siguiente sección considera esta descomposición con más detalle.

A veces, las proyecciones espectrales heredan propiedades de sus operadores principales. Por ejemplo, si T es una matriz positiva con radio espectral r, entonces el teorema de Perron-Frobenius afirma que r ∈ σ ( T ). La proyección espectral asociada P = P ( r ; T ) también es positiva y, por ortogonalidad mutua, ninguna otra proyección espectral puede tener una fila o columna positiva. De hecho TP = rP y ( T / r ) ⁿ → P cuando n → ∞ por lo que esta proyección P (que se llama proyección de Perron) se aproxima a ( T / r ) ⁿ cuando n aumenta, y cada una de sus columnas es un vector propio de  T .

Más en general, si T es un operador compacto entonces todos los no-cero puntos en σ ( T son aisladas) y por lo que cualquier subconjunto finito de ellos se puede utilizar para descomponer T . La proyección espectral asociada siempre tiene rango finito. Los operadores en L ( X ) con características espectrales similares se conocen como operadores de Riesz . Muchas clases de operadores de Riesz (incluidos los operadores compactos) son ideales en L ( X ) y proporcionan un campo rico para la investigación. Sin embargo, si X es un espacio de Hilbert, hay exactamente un ideal cerrado intercalado entre los operadores de Riesz y los de rango finito.

Gran parte de la discusión anterior se puede establecer en el contexto más general de un álgebra de Banach compleja . Aquí, las proyecciones espectrales se denominan idempotentes espectrales, ya que puede que ya no haya un espacio sobre el que proyectar.

Descomposición subespacial invariante

Si el espectro σ ( T ) no está conectado, X se puede descomponer en subespacios invariantes de T usando el cálculo funcional. Sea σ ( T ) una unión disjunta

${\ Displaystyle \ sigma (T) = \ bigcup _ {i = 1} ^ {m} F_ {i}.}$

Defina e _i como 1 en algún vecindario que contenga solo el componente F _i y 0 en el resto. Por la propiedad del homomorfismo, e _i ( T ) es una proyección para todo i . De hecho, es solo la proyección espectral P ( F _i ; T ) descrita anteriormente. La relación e _i ( T ) T = T e _i ( T ) significa el rango de cada e _i ( T ), denotado por X _i , es un subespacio invariable de T . Ya que

${\ Displaystyle \ sum _ {i} e_ {i} (T) = I, \,}$

X se puede expresar en términos de estos subespacios complementarios:

${\ Displaystyle X = \ sum _ {i} X_ {i}. \,}$

De manera similar, si T _i es T restringido a X _i , entonces

${\ Displaystyle T = \ sum _ {i} T_ {i}. \,}$

Considere la suma directa

${\ Displaystyle X '= \ bigoplus _ {i} X_ {i}.}$

Con la norma

${\ Displaystyle \ left \ | \ bigoplus _ {i} x_ {i} \ right \ | = \ sum _ {i} \ | x_ {i} \ |,}$

X ' es un espacio de Banach. El mapeo R : X ' → X definido por

${\ Displaystyle R \ left (\ bigoplus _ {i} x_ {i} \ right) = \ sum _ {i} x_ {i}}$

es un isomorfismo espacial de Banach, y vemos que

${\ Displaystyle RTR ^ {- 1} = \ bigoplus _ {i} T_ {i}.}$

Esto puede ser visto como un bloque de diagonalización T .

Cuando X es de dimensión finita, σ ( T ) = { λ _i } es un conjunto finito de puntos en el plano complejo. Elija e _i para que sea 1 en un disco abierto que contenga solo λ _i del espectro. La matriz diagonal de bloque correspondiente

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i} T_ {i}}$

es la forma canónica de Jordan de T .

Resultados relacionados

Con supuestos más sólidos, cuando T es un operador normal que actúa en un espacio de Hilbert , el dominio del cálculo funcional se puede ampliar. Al comparar los dos resultados, se puede hacer una analogía aproximada con la relación entre el teorema espectral para matrices normales y la forma canónica de Jordan. Cuando T es un operador normal, se puede obtener un cálculo funcional continuo , es decir, se puede evaluar f ( T ) siendo f una función continua definida en σ ( T ). Usando la maquinaria de la teoría de la medida, esto se puede extender a funciones que solo son mensurables (ver cálculo funcional de Borel ). En ese contexto, si E ⊂ σ ( T ) es un conjunto de Borel y E ( x ) es la función característica de E , el operador de proyección E ( T ) es un refinamiento de e _i ( T ) discutido anteriormente.

El cálculo funcional de Borel se extiende a operadores autoadjuntos ilimitados en un espacio de Hilbert.

En un lenguaje un poco más abstracto, el cálculo funcional holomórfico puede extenderse a cualquier elemento del álgebra de Banach , utilizando esencialmente los mismos argumentos que antes. De manera similar, el cálculo funcional continuo es válido para elementos normales en cualquier álgebra C * y el cálculo funcional medible para elementos normales en cualquier álgebra de von Neumann .

Operadores ilimitados

Un cálculo funcional holomórfico se puede definir de manera similar para operadores cerrados ilimitados con un conjunto resolutivo no vacío.

Ver también

• Formalismo resolutivo
• Forma canónica de Jordan , donde el caso de dimensión finita se discute con cierto detalle.

Referencias

• N. Dunford y JT Schwartz, Operadores lineales, Parte I: Teoría general , Interscience, 1958.
• Steven G Krantz. Diccionario de álgebra, aritmética y trigonometría . CRC Press, 2000. ISBN  1-58488-052-X .
• Israel Gohberg, Seymour Goldberg y Marinus A. Kaashoek, Clases de operadores lineales: Volumen 1 . Birkhauser, 1991. ISBN  978-0817625313 .