Operador normal - Normal operator

En matemáticas , especialmente el análisis funcional , un operador normal, en un complejo espacio de Hilbert H es un continuo operador lineal N  : H → H que conmuta con su operador adjunto N * , que es: NN * = N * N .

Los operadores normales son importantes porque el teorema espectral es válido para ellos. La clase de operadores normales es bien conocida. Ejemplos de operadores normales son

• operadores unitarios : N * = N ⁻¹
• Operadores hermitianos (es decir, operadores autoadjuntos): N * = N
• Operadores Skew-Hermitian : N * = - N
• operadores positivos : N = MM * para algunos M (por lo que N es autoadjunto).

Una matriz normal es la expresión matricial de un operador normal en el espacio de Hilbert C ⁿ .

Propiedades

Los operadores normales se caracterizan por el teorema espectral . Un operador normal compacto (en particular, un operador normal en un espacio lineal de dimensión finita) es unitariamente diagonalizable .

Sea un operador acotado. Los siguientes son equivalentes. ${\ Displaystyle T}$

• ${\ Displaystyle T}$ es normal.
• ${\ Displaystyle T ^ {*}}$ es normal.
• ${\ Displaystyle \ | Tx \ | = \ | T ^ {*} x \ |}$para todos (uso ).${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ | Tx \ | ^ {2} = \ langle T ^ {*} Tx, x \ rangle = \ langle TT ^ {*} x, x \ rangle = \ | T ^ {*} x \ | ^ {2}}$
• Las partes autoadjuntos y anti-autoadjuntos del viaje. Es decir, si se escribe con y luego${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T = T_ {1} + iT_ {2}}$${\ Displaystyle T_ {1}: = {\ frac {T + T ^ {*}} {2}}}$${\ Displaystyle i \, T_ {2}: = {\ frac {TT ^ {*}} {2}},}$${\ Displaystyle T_ {1} T_ {2} = T_ {2} T_ {1}.}$

Si es un operador normal, entonces y tiene el mismo kernel y el mismo rango. En consecuencia, el rango de es denso si y solo si es inyectivo. Dicho de otra manera, el núcleo de un operador normal es el complemento ortogonal de su rango. De ello se deduce que el núcleo del operador coincide con el de para cualquier. Todo valor propio generalizado de un operador normal es, por tanto, genuino. es un valor propio de un operador normal si y solo si su conjugado complejo es un valor propio de los vectores propios de un operador normal correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales, y un operador normal estabiliza el complemento ortogonal de cada uno de sus espacios propios. Esto implica el teorema espectral habitual: todo operador normal en un espacio de dimensión finita es diagonalizable por un operador unitario. También hay una versión de dimensión infinita del teorema espectral expresada en términos de medidas con valores de proyección . El espectro residual de un operador normal está vacío. ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N ^ {*}}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N ^ {k}}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle k.}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle {\ overline {\ lambda}}}$${\ Displaystyle N ^ {*}.}$

El producto de los operadores normales que viajan al trabajo vuelve a ser normal; esto no es trivial, pero se sigue directamente del teorema de Fuglede , que establece (en una forma generalizada por Putnam):

Si y son operadores normales y si es un operador lineal acotado tal que entonces .${\ Displaystyle N_ {1}}$${\ Displaystyle N_ {2}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle N_ {1} A = AN_ {2},}$${\ Displaystyle N_ {1} ^ {*} A = AN_ {2} ^ {*}}$

La norma de operador de un operador normal es igual a su radio numérico y su radio espectral .

Un operador normal coincide con su transformada Aluthge .

Propiedades en caso de dimensión finita

Si un operador normal T en un espacio de Hilbert real o complejo de dimensión finita (espacio interior del producto) H estabiliza un subespacio V , entonces también estabiliza su complemento ortogonal V ^⊥ . (Esta afirmación es trivial en el caso de que T sea ​​autoadjunto).

Prueba. Deje P _V sea la proyección ortogonal sobre V . A continuación, la proyección ortogonal sobre V ^⊥ es 1 _H - P _V . El hecho de que T estabiliza V puede expresarse como ( 1 _H - P _V ) TP _V = 0, o TP _V = P _V TP _V . El objetivo es mostrar que P _V T ( 1 _H - P _V ) = 0.

Sea X = P _V T ( 1 _H - P _V ). Dado que ( A , B ) ↦ tr ( AB * ) es un producto interno en el espacio de endomorfismos de H , es suficiente mostrar que tr ( XX * ) = 0. Primero observamos que

${\ Displaystyle XX ^ {*} = P_ {V} T ({\ boldsymbol {1}} _ {H} -P_ {V}) ^ {2} T ^ {*} P_ {V} = P_ {V} T ({\ boldsymbol {1}} _ {H} -P_ {V}) T ^ {*} P_ {V} = P_ {V} TT ^ {*} P_ {V} -P_ {V} TP_ {V } T ^ {*} P_ {V}}$.

Ahora usando las propiedades de la traza y de las proyecciones ortogonales tenemos:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {tr} (XX ^ {*}) & = \ operatorname {tr} \ left (P_ {V} TT ^ {*} P_ {V} -P_ {V} TP_ {V} T ^ {*} P_ {V} \ right) \\ & = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*} P_ {V}) - \ operatorname {tr} (P_ {V} TP_ {V} T ^ {*} P_ {V}) \\ & = \ operatorname {tr} (P_ {V} ^ {2} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (P_ {V} ^ {2} TP_ {V} T ^ {*}) \\ & = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (P_ {V} TP_ {V} T ^ {*}) \\ & = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (TP_ {V} T ^ {*}) && {\ text {usando la hipótesis de que }} T {\ text {estabiliza}} V \\ & = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (P_ {V} T ^ {*} T) \ \ & = \ operatorname {tr} (P_ {V} (TT ^ {*} - T ^ {*} T)) \\ & = 0. \ end {alineado}}}$

El mismo argumento se aplica a los operadores normales compactos en espacios de Hilbert de dimensión infinita, donde se hace uso del producto interno de Hilbert-Schmidt , definido por tr ( AB * ) interpretado adecuadamente. Sin embargo, para los operadores normales limitados, el complemento ortogonal a un subespacio estable puede no ser estable. De ello se deduce que, en general, el espacio de Hilbert no puede ser generado por vectores propios de un operador normal. Considere, por ejemplo, el cambio bilateral (o cambio de dos lados) que actúa , que es normal, pero no tiene valores propios. ${\ Displaystyle \ ell ^ {2}}$

Los subespacios invariantes de un desplazamiento que actúa sobre el espacio de Hardy se caracterizan por el teorema de Beurling .

Elementos normales de álgebras

La noción de operadores normales se generaliza a un álgebra involutiva:

Se dice que un elemento x de un álgebra involutiva es normal si xx * = x * x .

Los elementos autoadjuntos y unitarios son normales.

El caso más importante es cuando tal álgebra es un álgebra C * .

Operadores normales ilimitados

La definición de operadores normales se generaliza naturalmente a alguna clase de operadores ilimitados. Explícitamente, se dice que un operador cerrado N es normal si

${\ Displaystyle N ^ {*} N = NN ^ {*}.}$

Aquí, la existencia del adjunto N * requiere que el dominio de N sea ​​denso, y la igualdad incluye la afirmación de que el dominio de N * N es igual al de NN * , lo que no es necesariamente el caso en general.

Operadores equivalentes normales son precisamente aquellos para los que

${\ Displaystyle \ | Nx \ | = \ | N ^ {*} x \ | \ qquad}$

con

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (N) = {\ mathcal {D}} (N ^ {*}).}$

El teorema espectral todavía se aplica a los operadores ilimitados (normales). Las pruebas funcionan por reducción a operadores limitados (normales).

Generalización

El éxito de la teoría de los operadores normales condujo a varios intentos de generalización al debilitar el requisito de conmutatividad. Las clases de operadores que incluyen operadores normales son (en orden de inclusión)

• Operadores cuasinormales
• Operadores subnormales
• Operadores hiponormales
• Operadores paranormales
• Normaloides

Notas

Referencias